 |
อธิบายให้ฟังก็ได้
กฎ: มีไพ่สองใบ ใบแรกมีสีดำทั้งสองด้าน อีกใบมีสีดำหนึ่งด้านและสีขาวหนึ่งด้าน
ฝ่ายนางเอกเลือก "สีขาว" และฝ่ายตัวร้ายเลือก "สีดำ" กฎก็คือว่า ให้หยิบไพ่ออกมา 1 ใบโดยให้เป็นด้านที่มีสีดำหันขึ้น หลังจากนั้นพลิกไปอีกด้าน ถ้าเป็นสีขาวนางเอกชนะ ถ้าเป็นสีดำตัวร้ายชนะ นับเป็น 1 ตา ใครชนะถึง 10 ตาก่อนจะชนะ
การคำนวณ: เกมนี้เหมือนกับว่าเป็นเกมที่แฟร์ เพราะมีโอกาสที่จะพลิกได้สีดำและสีขาว 50-50 ซึ่งจริงๆ แล้วไม่ใช่
เหตุผลคือว่า ตอนแรกสุดก่อนก่อนที่เราจะพลิกไพ่ขึ้นมาว่าเป็นขาวหรือดำนั้น เราจะต้องหันหน้าสีดำออกก่อนเสมอ หากเราลองนึกภาพไพ่ในถุง เรามีโอกาสหยิบไพ่ออกมาได้สี่แบบ คือ 1. ด้านสีดำด้านแรกของใบที่1 2. ด้านสีดำดอีกด้านของใบที่1 3.ด้านสีดำของใบที่2 และ 4. ด้านสีขาวของใบที่2 ถ้าเป็นสองกรณีแรกเราก็จะได้ว่าฝ่ายสีดำชนะ ถ้าเป็นกรณีที่ 3 เราจะได้ว่าสีขาวชนะ (เพราะพลิกขึ้นมาได้สีขาว) ส่วนกรณีสุดท้าย ถ้าหยิบออกมาเป็นสีขาวขึ้นหน้าเลย เราจะต้องหยิบขึ้นมาใหม่ (เริ่มใหม่ทั้งหมด) เท่ากับว่า โอกาสได้ไพ่ที่มีแต่สีดำทั้งสองด้านเป็น 2 เท่าของโอกาสที่จะได้ใบสีขาวขึ้นมา เพราะฉะนั้นโอกาสที่ฝ่ายสีขาวจะชนะในแต่ละตา มีเพียง 1/3 เท่านั้น
ขั้นที่สอง: หากเรามีโอกาสชนะแต่ละเกมเพียง 1/3 โอกาสที่เราจะชนะได้ครบ 10 ตาก่อนอีกฝ่ายมีเท่าไร (ซึ่งอีกฝ่ายมีโอกาสชนะในแต่ละเกมเท่ากับ 2/3)
บทแทรก:
หากไม่รู้เรื่อง probability มากพอให้ข้ามส่วนนี้ไป
หากให้ X เป็นจำนวนเกมที่ต้องเล่นก่อนที่เราจะชนะครั้งที่ 10 โดยโอกาสที่เราชนะแต่ละตาเท่ากับ 1/3
จะได้ว่า X มีการกระจายตัวแบบ Negative Binomial Distribution นอกจากนี้เราจะได้ว่า X = NB(10, 1/3) หากเราต้องการหาโอกาสที่เราจะชนะภายในสิบตา แสดงว่าจำนวนเกมที่เล่นจะมีได้มากที่สุดเท่ากับ 18 เกมก่อนที่เราจะชนะครั้งสุดท้าย (เราชนะมาแล้ว 9 เค้าชนะมาแล้ว 9 ครั้งสุดท้ายเราชนะ) เราก็หาเพียง P(X<=18) ซึ่งคำนวนได้จาก cumulative density function (CDF) ของ negative binomial distribution ซึ่งเป็น regularized incomplete beta function อาจใช้คอมพิวเตอร์ช่วยคำนวณ
การคำนวณแบบถึกๆ
กลับมาที่คำถามเดิม: หากโอกาสที่เราชนะเท่ากับ 1/3 ในแต่ละตา โอกาสที่เราจะชนะครบ 10 ตาก่อนอีกฝ่ายเป็นเท่าไร อันนี้เราต้องแยกแต่ละกรณีซึ่งมีทั้งหมด 10 กรณี
1. อีกฝ่ายไม่ชนะเลย เราชนะ 9 เกม แล้วเราก็ชนะครั้งที่ 10 ปิดท้าย
2. อีกฝ่ายชนะ 1 เกม เราชนะ 9 เกม แล้วเราก็ชนะคร้งที่ 10 ปิดท้าย
3. อีกฝ่ายชนะ 2 เกม เราชนะ 9 เกม แล้วเราก็ชนะครั้งที่ 10 ปิดท้าย
...
10. อีกฝ่ายชนะ 9 เกม เราชนะ 9 เกม แล้วเราก็ชนะครั้งที่ 10 ปิดท้าย
เราก็เอา 10 พจน์นี้มารวมกัน
ยกตัวอย่างการคำนวณแต่ละพจน์ ยกตัวอย่างกรณีที่ 5 อีกฝ่ายชนะมาแล้ว 4 เกม เราชนะมาแล้ว 9 เกม แล้วเราชนะครั้งที่ 10 ปิดท้าย เท่ากับว่าเราชนะ 10 เค้าชนะ 4 รวมทั้งหมด 14 เกม เรารู้แน่ชัดว่าเกมสุดท้ายเราชนะ จึงจบเกมได้ แต่ 13 ครั้งก่อนหน้านั้น เรารู้เพียงว่าเค้าชนะเรา 4 เราชนะ 9 แต่ลำดับการชนะสับเปลี่ยนกันได้ เราจึงต้องเรียงสับเปลี่ยน ได้ 13!/(4!9!) วิธี หลังจากนั้นจึงคูณกับโอกาสการชนะ 9 เกมของเราและ 4 เกมของเขา และคูณ 1/3 ซึ่งเป็นโอกาสการชนะครั้งสุดท้ายของเรา จึงได้ 13!/(4!9!) *(1/3)^10*(2/3)^4
เพราะฉะนั้น คำตอบของข้อนี้เราจะต้องเอาทั้ง 10 พจน์มารวมกัน ได้ว่า โอกาสที่เราชนะครบ 10 ตาก่อนเท่ากับ
9!/(0!9!)*(1/3)^10*(2/3)^0 +10!/(1!9!)*(1/3)^10*(2/3)^1 +11!/(2!9!)*(1/3)^10*(2/3)^2 +12!/(3!9!)*(1/3)^10*(2/3)^3 +13!/(4!9!)*(1/3)^10*(2/3)^4 +14!/(5!9!)*(1/3)^10*(2/3)^5
+15!/(6!*9!)*(1/3)^10*(2/3)^6 +16!/(7!*9!)*(1/3)^10*(2/3)^7 +17!/(8!*9!)*(1/3)^10*(2/3)^8 +18!/(9!*9!)*(1/3)^10*(2/3)^9
= 75275227/1162261467
ใช่แล้ว 75 ล้านกว่าๆ ส่วนด้วย 1162 ล้านกว่าๆ หรือประมาณ 0.064766 = 6.4766%
แน่นอนว่าคิดในใจไม่ได้ การ์ตูนก็งี้แหละ
| จากคุณ |
:
Terngeniuz 
|
| เขียนเมื่อ |
:
19 พ.ค. 55 07:02:02
|
|
|
|
|
6% ใน Liar Game... (spoil)
