ความคิดเห็นที่ 1 อืมมม ถ้าใน GIS ก็จะเรียกวงกลมของเจ้าของกระทู้ว่าเป็น raster ส่วนวงกลมเส้นโค้งก็เป็น vector จากคุณ : vandyman - [ 13 มิ.ย. 51 06:29:48 ]

ความคิดเห็นที่ 2 เคยคิดเหมือนกันกับ จขกท ครับ แล้วก็คิดด้วยว่าการที่คิดลงไปขนาดนั้น มันก็ไปเกี่ยวข้องกับการสมมุติกับการรับรู้ของมนุษย์ครับ เลยเลิกคิดดีกว่า มีอะไรให้ จขกท เอาไปคิดเล่นๆ ครับ สมัยเด็กๆ เราเรียนกันว่า เส้นตรงเกิดจากจุดต่อๆๆๆ กันไป จำได้ไหม ขอถามว่า แล้วจุดนี่มันมีขนาดกว้างยาวเท่าไหร่นะ เออ แล้วเส้นตรงที่มันยาวๆ นี่มันมีความกว้างหรือความหนามั้ยนะ ลองคิดดูเล่นๆ ก่อนที่จะเลื่อนลงไปดูคำใบ้ผมข้างล่างนะครับ . . . . . . . . . . . . . . จุดเป็นสิ่งสมมุติที่ไร้มิติ ส่วนเส้นตรงเป็นสิ่งสมมุติ 1 มิติ รู้คำตอบแล้วใช่มั้ยครับ? จากคุณ : Iron-Spider - [ 13 มิ.ย. 51 06:57:44 ]

ความคิดเห็นที่ 3 นิยามของวงกลมคือ ระยะห่างระหว่างจุดใดๆไปยังจุดจุดหนึ่ง มีค่าเท่ากัน ไม่เหลี่ยมแน่นอน จากคุณ : เซียนแห่งmath - [ 13 มิ.ย. 51 07:49:54 ]

ความคิดเห็นที่ 4 ยืนยันคำตอบของคห 2 น่าจะคิดเหมือนผมนะ จากคุณ : เซียนแห่งmath - [ 13 มิ.ย. 51 07:55:03 ]

ความคิดเห็นที่ 5 เหอๆ เคยคิด เหมือนเจ้าของ กระทู้.... แต่เลิกคิดไปเพราะ มันไม่มีเหลี่ยมครับ ..... ถ้ามีแล้วมันจะผิดนิยามวงกลม ครับ จากคุณ : ginosty - [ 13 มิ.ย. 51 08:15:54 ]

ความคิดเห็นที่ 6 ผมเคยสงสัยตอนสมัยเรียน ว่า จุด ไม่มีขนาด แต่เส้น เกิดจากจุด เรียงต่อกัน อ้าว! ไหนบอกว่าจุดไม่มีขนาดไง เอามาเรียงต่อกันเป็นเส้น แล้วขนาดของเส้นมันมาจากไหน หรือผมเข้าใจอะไรผิด จากคุณ : GPPd - [ 13 มิ.ย. 51 08:24:37 ]

ความคิดเห็นที่ 7 ในโลกดิจิตอลวงกลมมีเหลี่ยมครับ แต่ในโลกจริงที่เป็นอนาลอก วงกลมไม่มีเหลี่ยม จากคุณ : งบน้อย - [ 13 มิ.ย. 51 08:26:15 ]

ความคิดเห็นที่ 8 ต้องเลือกสักอันอะครับ จะกลมหรือเหลี่ยม อิอิ จากคุณ : N[o]w - [ 13 มิ.ย. 51 08:28:56 ]

ความคิดเห็นที่ 9 เอ่อ #8 นี่ออกแนวการเมืองนะเนี่ย หุหุ คำนวนวงกลมในกระดาษเส้นที่สัมผัสวงกลม มี x y ค่าเดียว คือมีจุดเดียวที่สัมผัส ดังนั้นมันก็ต้องไม่มีเหลี่มนินา จากคุณ : หรือผมคิดไปเอง (MnLP) - [ 13 มิ.ย. 51 08:37:57 ]

ความคิดเห็นที่ 10 กำลังจะมาบอกนิยามเหมือน#3 จากคุณ : Atomos'Bao - [ 13 มิ.ย. 51 08:38:52 ]

ความคิดเห็นที่ 11 เอ่อ #8 นี่ออกแนวการเมืองนะเนี่ย หุหุ คำนวนวงกลมในกระดาษเส้นที่สัมผัสวงกลม มี x y ค่าเดียว คือมีจุดเดียวที่สัมผัส ดังนั้นมันก็ต้องไม่มีเหลี่มนินา จากคุณ : หรือผมคิดไปเอง (MnLP) - [ 13 มิ.ย. 51 08:46:37 ]

ความคิดเห็นที่ 12 วงกลมของใช้วงเวียนวาด ผมไม่ได้เกิดจากการคำนวณครับ ไม่มีเหลี่ยมครับ จากคุณ : [Zero] - [ 13 มิ.ย. 51 09:41:31 ]

ความคิดเห็นที่ 13 ฮา #8 จากคุณ : Cryptomnesia - [ 13 มิ.ย. 51 09:45:30 ]

ความคิดเห็นที่ 14 เคยเห็นชมรมคณิตศาสตร์โรงเรียนเอาไหมมาขึงไปขึงมาเป็นเส้นตรง แต่กลายเป็นวงกลม เส้นตรงนั้นเป็นเส้นสัมผัสเส้นรอบวงกลม อาจถือแบบจขกท.ว่าวงกลมคือรูปอนันต์เหลี่ยม แต่ละเหลี่ยมประกอบด้วยด้านจากเส้นสัมผัสเส้นรอบวง จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 13 มิ.ย. 51 10:00:48 ]

ความคิดเห็นที่ 15 หรืออาจบอกว่ามีแต่เส้นตรง เส้นโค้งคือเส้นตรงที่สั้นๆต่อกัน เส้นที่สั้น สั้นจนไม่เห็นรอยต่อหรือรอยหักเปลี่ยนทิศ จึงเรียกเส้นโค้ง (เป็นแค่ความคิดครับ ไม่ใช้อ้างอิงได้) จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 13 มิ.ย. 51 10:10:38 ]

ความคิดเห็นที่ 16 แล้วเส้นโค้งหายไปไหน ถ้าใช้วงเวียนเขียนวงกลมขึ้นมา ไม่จำเป็นต้องใช้เส้นสัมผัสเส้นรอบวงมาสร้างวงกลมเลย ใช้วงเวียนเขียนวงกลมง่ายกว่าใช้เส้นตรงสั้นๆมาต่อกันเยอะเลย คนส่วนใหญ่จึงสะดวกใจที่จะคิดว่าแยก เส้นตรงกับเส้นโค้ง ขณะที่คนส่วนน้อยมองว่าเส้นโค้งคือเส้นตรงสั้นๆมาต่อกัน จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 13 มิ.ย. 51 10:21:20 ]

ความคิดเห็นที่ 17 วงกลมนิยามได้ตาม #3 ครับ วงกลมเป็น set ของจุดที่มีระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นค่าคงที่ค่าหนึ่ง วงกลมตามที่ จขกท นำเสนอ จริงๆ แล้วมันไม่ใช่วงกลม มันเพียงเป็นรูปเหลี่ยมที่มีรูปร่างเข้าใกล้วงกลมเท่านั้น ... แก้ไขเมื่อ 13 มิ.ย. 51 10:54:02 จากคุณ : MiRaCLe DouBLeSHoT - [ 13 มิ.ย. 51 10:52:57 ]

ความคิดเห็นที่ 18 ล้ำลึก... จากคุณ : หมู (NoahComeBack) - [ 13 มิ.ย. 51 10:53:24 ]

ความคิดเห็นที่ 19 ล้านเหลี่ยมยังไงก็ไม่เป็นวงกลมนะครับ ถ้ามีพื้นที่ใหญ่พอที่จะวาดให้มันเห็นเหลี่ยมชัด ๆ ได้ ยกตัวอย่าง เราจะวาดเลขาคณิตล้านเหลี่ยมขนาด 100 สนามฟุตบอล เราก็จะเห็นเหลี่ยมมันชัดใช่ไหมครับถ้าเราดูใกล้ ๆ แต่ถ้าเทียบขนาดเท่ากัน 100สนามฟุตบอล เราวาดวงกลมใหญ่ ๆ มายังไงก็ไม่เป็นเหลี่ยมใช่ไหมครับ (แต่จะวาดให้มันกลมได้รึเปล่าก็อีกเรื่อง 55+) แนวคิดผมก็ประมาณนี้แหล่ะครับ จากคุณ : totetote - [ 13 มิ.ย. 51 11:03:00 ]

ความคิดเห็นที่ 20 อาจสรุปได้ทั้ง2อย่าง 1 มีเส้นตรง-เส้นโค้ง 2 มีแต่เส้นตรงยาวกับสั้นๆต่อกัน การคิดถึงเส้นตรงสั้นๆต่อกันอาจนำไปสู่ integration เช่นหาพื้นที่ใต้โค้ง คิดว่าหาพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าสูงๆ กว้าง dx เมื่อได้ค่า ให้ dx น้อยลงเรื่อย จนน้อยมากๆแล้ว ผลรวมสี่เหลี่ยมผืนผ้ากลายเป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้งไป จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 13 มิ.ย. 51 11:07:20 ]

ความคิดเห็นที่ 21 ถ้าว่ากันตามนิยามก็ คห.3ครับ จบ... จากคุณ : แมงวันวี่วี่ - [ 13 มิ.ย. 51 11:47:43 ]

ความคิดเห็นที่ 22 อนันต์>ล้าน 2ล้าน ...ถ้าบอกวงกลมคือรูป อนันต์เหลี่ยมด้านเท่าน่าจะถูก ถึงค่าอนันต์ดูเป็นการเล่นคำ แต่แคลคูลัสก็นำมาใช้ช่วยคำนวน ถ้าไม่ยอมรับว่าเส้นโค้งคือเส้นตรงสั้นๆสั้นมากๆมาต่อกัน อาจทำให้ไม่ยอมรับการหาค่าพื้นที่ใต้เส้นโค้งในแคลคูลัส เพราะแคลคูลัสก็ถือเส้นโค้งคือเส้นตรงสั้นมากๆมาต่อกัน จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 13 มิ.ย. 51 11:55:19 ]

ความคิดเห็นที่ 23 แคลคูลัสไม่ใช่ค่าจริง แต่หาค่าประมาณใกล้เคียง โดยเทียบ limit เข้าใกล้ คำว่าเข้าใกล้ แต่ก็ยังไม่ใช่ แล้วนิยามของเหลี่ยมคืออะไร จากคุณ : มิ้นๆ (mint_la) - [ 13 มิ.ย. 51 12:04:50 ]

ความคิดเห็นที่ 24 ความคิดเห็นที่ 3   นิยามของวงกลมคือ ระยะห่างระหว่างจุดใดๆไปยังจุดจุดหนึ่ง มีค่าเท่ากัน ไม่เหลี่ยมแน่นอน ถ้านิยามวงกลมให้มาจากเส้นตรง วงกลมคือเส้นประกอบจากเส้นตรง(เส้นสัมผัสเส้นรอบวง)ที่ห่างจากจุดคงที่ จุดใดจุดหนึ่ง เท่ากันและห่างน้อยที่สุด (จุดห่างเส้นตรงน้อยที่สุดที่จุดนั้นลากเส้นตรงตั้งฉากกับเส้นตรง) แก้ไขเมื่อ 13 มิ.ย. 51 13:03:32 จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 13 มิ.ย. 51 12:34:37 ]

ความคิดเห็นที่ 25 ความคิดเห็นที่ 23   แคลคูลัสไม่ใช่ค่าจริง แต่หาค่าประมาณ คำว่าเข้าใกล้แต่ก็ยังไม่ใช่ คำว่าเข้าใกล้อาจใช้กับตัวแปร แต่ผลที่คำนวนแล้วเชื่อว่าเป็นจริง   แล้วนิยามของเหลี่ยมคืออะไร เหลี่ยมคือด้าน เช่น4เหลี่ยมคือ4ด้าน 5เหลี่ยมคือ5ด้าน .. อนันต์เหลี่ยมคืออนันต์ด้าน จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 13 มิ.ย. 51 12:42:44 ]

ความคิดเห็นที่ 26 แคลคูลัสเวลาคิดหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งใช้ผลรวมสี่เหลี่ยมผืนผ้า เช่นกราฟในความคิดเห็นที่ 20 แต่พอสรุปเป็นสูตร ผลจากการคำนวนไม่ใช่ค่าโดยประมาณแต่เป็นค่าจริง ยกตัวอย่างรูปข้างล่างคำตอบ 18 ตรงไม่ใช่โดยประมาณ http://www.mathwords.com/a/area_under_a_curve.htm จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 13 มิ.ย. 51 12:57:52 ]

ความคิดเห็นที่ 27 การหาค่า Pi วิธีแรกๆที่คิดใช้กัน คือคิดให้วงกลมเป็นรูปอนันต์เหลี่ยมด้านเท่า ยิ่งคิดที่จำนวนเหลี่ยมมาเท่าใดยิ่งได้ค่า Pi ที่ละเอียดมากขึ้นเท่านั้น จากคุณ : กฤตยฎีกา - [ 13 มิ.ย. 51 13:38:56 ]

ความคิดเห็นที่ 28 แต่วงกลมคือรูปเหลี่ยมอนันต์ จากคุณ : โหรในตำนาน - [ 13 มิ.ย. 51 13:40:43 ]

ความคิดเห็นที่ 29 โอ้โห คนตอบเพียบเลยครับ   ตอบ Iron-Spider (คห 2) ครับ ความเห็นที่ 2 จุดประกายให้คิดอะไรๆได้เยอะทีเดียว งั้นวงกลมที่เกิดจากจุด หรือเส้นที่เป็นสิ่งสมมติ งั้นวงกลมก็เป็นสิ่งสมมติหรือเปล่าครับ คูณ "เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ)"( คห 20 22 24 25 26 ) ก็ตอบได้อย่างมีเหตุผล น่าสนใจมากครับ ขอบคุณ คห 1 กับ 3 ด้วยครับ สำหรับนิยามและข้อมูล และลองพูดถึงนิยามที่ว่า อนันต์ หรือ infinity ดูครับ ต่อให้วาดวงกลมใหญ่แค่ไหน แต่มันมี infinity เหลี่ยม ไม่ว่าเราจะใช้กล้องขยายส่องลงไปเล็กแค่ไหน เราก็ยังเห็นมันโค้งเนียน ไม่มีเหลี่ยมอยู่ดี ลองวาดวงกลม ไม่ว่าเล็กหรือ ใหญ่ แล้วนั่งดูแล้วพิจรณามันดูครับ แล้วลองคิดว่าซูมข้าไปในเส้น หนึ่งมิติดูครับผม เส้นก็ยังโค้งเหมือนเดิม จนเกือบตรง เราก็ยังไม่เห็นเหลี่ยมอยู่ดี อันนี้คือสิ่งที่ผมคิดมาน่ะครับ แต่ลืมอธิบายไป ขอบคุณทุกความเห็นที่ร่วมแสดงความคิดเห็นครับ จากคุณ : จขกท. (navagan) - [ 13 มิ.ย. 51 13:51:01 ]

ความคิดเห็นที่ 30 วงกลมมีเหลี่ยครับ Pi = 22/7 ( อัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อ เส้นผ่าศูยน์กลาง โดยประมาน ) ถ้าเส้นผ่าศูยน์กลาง เท่ากับ 7 แล้ว เส้นรอบวงจะเท่ากับ 22 ดังนั้นถ้าเส้น ผ่าศูยน์กลางเท่ากับ d แล้ว เส้นรอบวงจะเท่ากับ 22/7*d=Pi*d=2*Pi*r ( d=2r , r= รัษมี ) เนื่องจาก วงกลม คิดแบบมีนัยยะ จะเท่ากับ สามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เหมือนกันทุกประการจำนวนนับไม่ถ้วน มาต่อกันโดยเอาจั่วของมันชนกัน ดังนั้นพื้นที่ของวงกลมนี้จะเท่ากับผลรวมของสามเหลี่ยม A พื้นที่สามเหลี่ยมA= 1/2*r*H=1/2*B*r A1+A2+A3+A4+.................... 1/2*r(B+B+B+B.........)   >>>> B คือฐานของสามเหลี่ยมทั้งหมด รวมกันก็ได้เส้นรอบวง 1/2*r*(2*Pi*r) = Pi*r^2 ///ทำความเข้าใจตามนี้แล้ว จะไม่มีอะไรต้องสงสััยอีกเกี่ยวกับวงกลม มาตราฐาน ขออนุญาตอ้างถึงรูป # 15 เพื่อประกอบตัวอย่างนะครับ #3 ระหว่างจุดที่คุณว่ามา ก็หนีไม่พ้นต้องลากด้วยเส้นตรงนะครับ นอกจากคุณจะไม่ได้พูดถึงวงกลมปิด ถ้าเป็นอย่างนั้นมันไม่ใช่รูปทรงครับ เป็น set ที่มี sample space เป็นจุด ตามสมการวงกลม แต่ไม่ใช่วงกลม และที่สำคัญที่สุดมันไม่ใช่นิยามครับ มันเป็นสมการวงกลม การคิดว่าจุดแต่ละจุดต่อกันนั้นผิดครับ เพราะจุดมีขนาดเล็กได้เป็นอนันต์  อ้าง#2 ดังนั้นเส้นโค้งหรืิอวงกลมสมบูลน์ จะเป็นเกือบจริงได้ที่ การสังเคราะจากสมการวงกลมที่อนันต์จุด ซึ่งแต่ละจุด ก็ไม่มีขนาดทางความกว้างเพราะจุดที่ว่าเป็น 1 มิติ ในความเป็นจริงแล้ว จำนวนของแสงที่สะท้อนวัตถุ มาเข้าตาเรา หรือแผ่นรับแสงใดๆนั้น มีค่าจำกัด ผมขอเรียกว่าฟลักของแสง( เส้นแสงต่อพื้นที่) ดังนั้นตัวคุณเองก็ไม่มีทางเคยเห็นเส้นโค้งที่ว่า เส้นโค้งที่เราเห็นได้ จงเป็นส่วนของเส้นตรงเล็กๆเสอม แก้ไขเมื่อ 13 มิ.ย. 51 14:36:08 แก้ไขเมื่อ 13 มิ.ย. 51 14:16:33 แก้ไขเมื่อ 13 มิ.ย. 51 14:10:49 แก้ไขเมื่อ 13 มิ.ย. 51 14:07:35 จากคุณ : ใจมุ๊ด - [ 13 มิ.ย. 51 14:06:21 ]

ความคิดเห็นที่ 31 เห็นมีแต่คนนิยามวงกลม ไม่เห็นมีนิยาม "เหลี่ยม" ถ้าผมมองว่า เหลี่ยม คือ จุดที่มีความชันของด้านข้างทั้งสองจุดไม่ต่อเนื่อง ไม่เท่ากันล่ะ? (lim ซ้าย <> lim ขวา) ...วงกลมก็น่าจะไม่มีเหลี่ยม? จากคุณ : เด็กวัดสะพานใหม่ - [ 13 มิ.ย. 51 14:20:15 ]

ความคิดเห็นที่ 32 ู^ ^ ทะลุไปหาคุณเมษ แคลคูลัสเป็นค่าจริงครับ ไม่ใช่ประมาณ ผมโพสรูปไม่เป็น จึงขอแย้งด้วยคำพูดนะครับ ถ้าไม่ใช่ที่ dx จะเป็นค่าประมาณ เมือเทคลิลิทแล้วแต ที่ dx เป็นค่าจริงครับ เออ ลองโพสดูละกัน สีแดงเป็นส่วนที่เรา อินทิเกรทนะครับ จะเห็นว่ามันเท่ากันแต่ละสี่เหลี่ยมคือแต่ละความชันนะครับ แก้ไขเมื่อ 13 มิ.ย. 51 14:55:16 แก้ไขเมื่อ 13 มิ.ย. 51 14:53:36 จากคุณ : ใจมุ๊ด - [ 13 มิ.ย. 51 14:52:28 ]

ความคิดเห็นที่ 33 นิยามคือคำตอบ จากคุณ : sc24 Naresuan U. - [ 13 มิ.ย. 51 17:11:18 ]

ความคิดเห็นที่ 34 แหมๆ วงกลมก็คือวงกลมก็คือวงกลมๆครับ สำหรับผมเหลี่ยมมันเยอะมากๆๆๆๆๆๆก็เลยมองไม่เห็นเหลี่ยม แต่ความจริงเป็นเช่นไรก็คิดไปตามนิยามแหละครับ ไม่ก็เปลี่ยนนิยามซะเลย จากคุณ : รักไอติม - [ 13 มิ.ย. 51 17:37:40 A:58.8.187.2 X: TicketID:158765 ]

ความคิดเห็นที่ 35 ถ้าจะยืนยันว่าวงกลมมีเหลี่ยม(อนันต์) ก็ต้องล้มล้างนิยามอันเก่าแล้วตั้งใหม่ เพราะตอนนี้มันขัดนิยาม จากคุณ : meddy hao - [ 13 มิ.ย. 51 19:44:27 ]

ความคิดเห็นที่ 36 ^ ^ ^ ^ ^ ไม่ได้ถึงกับจะล้มล้างนิยามเก่าอะไรหรอกครับ แค่เห็นว่า เออแฮะ เราสามารถที่จะมองวงกลมเป็นรูปเหลี่ยมก็ได้นี่หว่า เท่านั้นเองครับ ก็เลยมาถามความเห็นว่า ไอ้ที่ผมคิดมันเป็นไปได้ไหมเท่านั้นเอง สำหรับคุณ "ใจมุ๊ด" นี่อธิบายมีเหตผลดีทีเดียวครับ จากคุณ : จขกท. (navagan) - [ 13 มิ.ย. 51 20:07:19 ]

ความคิดเห็นที่ 37 ครูคณิตผมบอกว่า นิยามเป็นอะไรที่แบบว่า อย่าไปเถียงมันเลยดีกว่า 55+ กลมก็กลมวะ! จากคุณ : สายน้ำตะวันออก - [ 13 มิ.ย. 51 21:11:11 ]

ความคิดเห็นที่ 38 เข้ามาอ่าน จากคุณ : kekodes - [ 13 มิ.ย. 51 21:30:08 ]

ความคิดเห็นที่ 39 อ่านกระทู้จบปุ๊บ คิดเหมือน คห.2 นั่นเป็นคำถามที่ตอนเด็กมากๆคิด แล้วก็หยุดคิดต่อ....เอ...ทำไมน้า.... อ่อ...นี่ล่ะมั้งความตกต่างของคนธรรมดากับนักวิทย์ จากคุณ : gxh - [ 13 มิ.ย. 51 21:50:38 A:118.172.38.9 X: TicketID:176473 ]

ความคิดเห็นที่ 40 มาตอบตามหลักปรัชญาบ้าง ตามทฤษฏีแบบของเพลโต ความกลมจริง ๆที่อยู่บนโลกนี้นั้นไม่มีอยู่จริง ความกลมนั้นเป็นเพียงนามธรรมชัดเจนในคณิตศาสตร์ เราจะเห็นวงกลมจริงได้ด้วยนามธรรมเท่านั้น สิ่งเราเห็นตาของเรานั้นเขาเรียกกันว่าแบบของความกลม ส่วนแคลคูลัสนั้นคิดว่าไม่เป็นค่าจริง โดยนิยามของlimitมันเป็นเพียงอสมการ ไม่ใช่สมการ(เครื่องหมายเท่ากับ) เช่นการกล่าวว่า limf(xเข้าใกล้a) =2 ไม่ได้หมายความว่า f(a)=2 คห2 ความจริงแล้ว จุด เส้น เป็นอนิยามในคณิตศาสตร์ แก้ไขเมื่อ 13 มิ.ย. 51 23:20:18 จากคุณ : เซียนแห่งmath - [ 13 มิ.ย. 51 23:17:16 ]

ความคิดเห็นที่ 41 คห.30 นั้นเป็นนิยามของวงกลม เพราะนิยามของวงกลมนี้แหละทำให้เราสามารถเขียนสมการวงกลมขึ้นมาได้ นิยามกล่าวถึงจุดทุกจุดใน space การเข้าใจคณิตศาสตร์เข้าใจได้ด้วยนามธรรมเท่านั้นไม่ใช่รูปธรรมเพราะปรัชญาคณิตศาสตร์ถือว่า ประสาทสัมผัสนั้นหลอกลวงเรา ต่อให้เส้นตรงตัดกันมาแค่ไหนก็ตาม เส้นตรงที่ตัดกันย่อมเกิดมุมเสมอ วงกลมก็คือวงกลม polygon ก็คือ polygon มันเป็นนิยามข้อตกลง ถ้าไม่สอดคล้องตามนิยามมันก็ไม่ถือว่าเป็นสิ่ง ๆนั้น แก้ไขเมื่อ 13 มิ.ย. 51 23:48:27 จากคุณ : เซียนแห่งmath - [ 13 มิ.ย. 51 23:42:03 ]

ความคิดเห็นที่ 42 ^#41 ^ ที่คุณว่าไว้ข้างบนเป็นนิยามของ ทรงวงกลมครับ ไม่ใช่วงกลม ( จริงๆ เพี้ยนไปนิดหน่อย และใช้ไม่ได้ในทุกจุดบน Space ด้วย ไปเอามาจากไหนครับ ) เหตุผลก็ตามช่วงกลางๆของ #30 ที่ผมให้ไว้ การเอาจุดมาเรียงกันตาม ระยะทางคงที่รอบจุดศูยน์กลาง เรายอมรับให้มันเป็นได้แค่ทรงกลมครับ ดันนั้งเห็นผลที่คุณให้ เพราะทรงกลมมีนิยามว่า "ระยะห่างระหว่างจุดใดๆไปยังจุดจุดหนึ่ง มีค่าเท่ากัน ดังนั้น วงกลมจึงไม่มีเหลี่ยมแน่นอน" จึงไม่ได้อธิบายอะไรครับ ผมว่าคุณอาจจะยึดติดกับคำเรียกมันมากไปหรือเปล่าครับ ผมยังไม่เคยเห็นนิยามของเส้นโค้งเลยครับ มีแต่ความหมายของเส้นโค้ง และที่สำคัญ นิยามกับข้อตกลงก็เป็นคนละเรื่องกันมากๆเลย ถ้ามันจะเป็นอันเดียวกันได้ก็เพราะบังเอินมากว่า และคุณก็กำลังพูดถึงนามธรรมด้วย ถ้าผมบอกว่า วงกลมก็คือโพลิกอนหลายเหลี่ยม วงกลมเป็นสิ่งสมมุติเพื่อการใช้งาน คุณจะพิสูจยังไงครับ ผมนะพิสูจไปแล้ว "วงกลมก็คือวงกลม polygon ก็คือ polygon มันเป็นนิยามข้อตกลง ถ้าไม่สอดคล้องตามนิยามมันก็ไม่ถือว่าเป็นสิ่ง ๆนั้น " นืยามของคุณเองรึเปล่าครับ ถ้าอยากคุยแบบ math  ผมขอนิยามสองสิ่งนี้และ เหตุผลในการนำไปสู่ข้อสรุป ด้วยครับ สิ่งที่จะเอามาประกอบ ควรประกอบด้วย 1 นิยามของวงกลม 2 นิยามของ Polygon 3 นิยามของเส้นโค้ง 4 เห็ตุผลที่ไม่ต้องอาศัยการชักจูงหรือเข้าใจไปเอง โดบสังเคราะเหตุผลตาม 1-3 ว่า ทำไมวงกลมจึงต้องไม่เป็น Polygon ( 1-3 ขอนิยามนะครับ ไม่เอาข้อตกลง ผมจะได้ปิดโลกทัศน์ ) จะได้มา normolrize กัน แก้ไขเมื่อ 14 มิ.ย. 51 17:47:49 แก้ไขเมื่อ 14 มิ.ย. 51 01:43:17 แก้ไขเมื่อ 14 มิ.ย. 51 01:38:36 แก้ไขเมื่อ 14 มิ.ย. 51 01:08:43 จากคุณ : ใจมุ๊ด - [ 14 มิ.ย. 51 01:05:14 ]

ความคิดเห็นที่ 43 ^#40 ^ โดยตัวนิยามของ limt เองนั้นไม่มีการอธิบายเกี่ยวกับขอบเขตของสมการ หรือ อสมการเลยครับ เท่าที่จำได้ และโดยตัวมันเองไม่ใช่ตัวดำเนินการทาง math โดยตรง เป็นการระบุเงื่อนไขชนิดหนึง แล้วเราดำเนินการตามเงื่นไขนั้น ดังนั้นผมจึงยังไม่เข้าใจที่คุณพูด ว่ามันจะเป็นเหตุผลยังไง สมมุติผมบอกว่ามันมีลิมิทเข้าใกล้ศูยน์ มันก็เป็นตามนั้น ผมไม่ได้บอกว่ามันเท่ากับหรือไม่เท่ากับศูนย์ มันคนละเรือง กัดขนมปังทีละครึ่ง จะมีลิลิทเข้าใกล้ศูยน์ คือมันจะน้อยลงเรื่อยๆ แต่ไม่มีวันหมด คนละเรื่องกับ ขนมหมดหรือ ไม่หมดเลยครับ จริงๆแล้วเรื่อง cal นี่ผมคุยกับหลายๆคนมายังไม่เคยเห็นตรงกันเลย แต่โดยตัวเหตุผลของคุณ ยังไม่ได้เริ่มจะอธิบายอะไรเลยครับ ช่วยแสดงความคิดละเอียดอีกนิดได้มั้ยครับ ผมชอบการคุยลักษณะ science talk อย่างนี้ คงไม่ว่ากันนะครับ แก้ไขเมื่อ 14 มิ.ย. 51 01:57:04 แก้ไขเมื่อ 14 มิ.ย. 51 01:51:56 แก้ไขเมื่อ 14 มิ.ย. 51 01:48:21 แก้ไขเมื่อ 14 มิ.ย. 51 01:47:47 แก้ไขเมื่อ 14 มิ.ย. 51 01:38:55 จากคุณ : ใจมุ๊ด - [ 14 มิ.ย. 51 01:18:09 ]

ความคิดเห็นที่ 44 มันเป็นรูปเหลี่ยมที่ใกล้เคียงวงกลมน่ะครับ ใช่แบบใกล้เคียงทรงกลมที่สุดได้มากที่สุดเท่ที่จะมากได้ (แต่ถ้าขยายมากๆขึ้นเรื่อยๆจะยังเห็นรายละเอียดที่เป็นเหลี่ยม และถ้าซูมเอ๊าท์์มากๆมันจะเหมือนทรงกลม) นึกถึงค่าเวคเตอร์และค่า BITMAP ในโฟโต้ชอปก็ได้ แต่ที่ค่าทรงกลม ณ จุดนั้นไม่เป็นเหลี่ยมครับ จากคุณ : granun - [ 14 มิ.ย. 51 02:37:39 ]

ความคิดเห็นที่ 45 นิยามวงกลมของคุณเซียนแห่ง math (ชื่อเท่จริงๆ) #3 นั้นน่าสนใจ แต่ผมว่ายังตกหล่นไปบ้างนิดหน่อย ถ้าจะให้พูดให้ครบน่าจะเป็น 'เส้นโค้งที่เกิดจากจุดต่อๆ กันไปบนแนวระนาบ 2 มิติ ซึ่งห่างจากจุดศูนย์กลางเท่าๆ กัน และทำให้เกิดพื้นที่ปิด' ผมก็ไม่ทราบว่านิยามวงกลมที่เรามาเถียงๆ กันนี้นั้น นักเรขาคณิตเขานิยามไว้จริงๆ ว่าอย่างไร ที่ผมเขียนมาข้างบนนี่ก็แปลมา และก็เสริมให้ได้ใจความไม่ตกหล่น แล้วก็เห็นด้วยกับ #40 ที่ว่าความกลมจริงๆ นั้นไม่มี มันเป็นเพียงแค่นามธรรม ส่วนแคลคูลัสเป็นอสมการนี่ผมไม่มีความเห็น เพราะห่างเหินมานานแล้ว ว่าแต่คุณเซียนบอกว่า จุดและเส้นเป็นอนิยาม ... คือไม่มีนิยามใช่มั้ยครับ ถ้าไม่มีนิยามแล้ว เรขาคณิตที่เราเรียนกันมา ฐานมันก็ว่างเปล่างั้นสิครับ ? อยากร่วมคุยกับคุณใจมุ๊ดด้วยคน แต่ผมห่างแคลมาหลายปีมากแล้ว สนิมเริ่มขึ้น ขออ่านเฉยๆ แล้วกัน ---------------------------------------- ขอตอบกลับ จขกท ว่า จุด เส้นและรูปร่างที่เกิดจากเส้น หรือรูปทรงต่างๆ เป็นสิ่งที่มนุษย์สมมุติขึ้นมา เพื่อที่จะอธิบายธรรมชาติครับ สิ่งสมมุติเหล่านี้ถือว่าเป็นอุดมคติและสมบูรณ์ครับ ถ้ามีวงกลมอยู่วงนึง (สมมุติว่ากลมจริงๆ - จริงๆ ไม่ควรจะบอกว่า 'สมมุติว่ากลม' ถ้าบอกว่าวงกลม ก็กลมอยู่แล้ว) มันก็ต้องกลมจริงๆ เพราะเราทึกทักให้มันกลม เป็นสิ่งที่เราทุกคนตกลงกันด้วยใจว่าอย่างนั้น สิ่งสมมุติเหล่านี้ถ้าจะเอามาอธิบายธรรมชาติ ผมก็ขอเรียงตามอุดมคติจากน้อยไปมาก ธรรมชาติ --> Digital CG --> อุดมคติ 100% (เป็นนามธรรม) จขกท ลองดูซิ เอานามธรรมมาจับกับธรรมชาติแล้วจะเกิดอะไรขึ้น ... ก็อย่างที่เห็นข้างบนว่ามีหลายคนมาถกเถียงกัน ก็สนุกดีครับ น่าสนใจ คนนั้นอ้างนิยามนี้ คนนี้อ้างนิยามนั้น ... ลองถามว่า จากกรุงเทพฯ ไปเชียงใหม่ไปยังไง คนแรกว่านั่งเครื่องบิน คนที่สองบอกขับรถ คนที่สามให้ถีบจักรยาน คนที่สี่จะให้เดินซะงั้น! มันก็ไปถึงเหมือนกันทุกคน แต่ว่าช้าเร็ว ตรงหรืออ้อมกว่ากันรึเปล่า ไม่มีใครผิด อนันต์เหลี่ยมที่ จขกท ว่ามา ก็มีคนตีความไปสองแบบ คือไม่อุดมคติและอุดมคติ อนันต์เหลี่ยมที่ไม่เป็นอุดมคติจะว่าไปก็เหมือนรูปในคอม ที่ขยายไปมากๆ ก็แตกเหลี่ยมหมด ส่วนอนันต์เหลี่ยมที่เป็นอุดมคติก็เป็นวงกลมนั่นเอง พูดๆ ไปก็เริ่มจะออกแนวปรัชญา ซึ่งผมก็ชอบอยู่ แม้จะไม่เชี่ยวชาญ แต่สุดท้ายแล้ว ยกอะไรมาคุยกันมันก็สนุกดีนะครับ บริหารสมองกัน จากคุณ : Iron-Spider - [ 14 มิ.ย. 51 06:30:24 ]

ความคิดเห็นที่ 46 แล้วแต่ว่าเราพูดถึงในspaceไหนถ้าในspace 2,3 มิติจากนิยามเราจะได้ว่า {(x,y)อยู่ในR^2/r=sqrt[(x-x')+(y-y')]} {(x,y,z)อยู่ใน R^3/r=sqrt[(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2]} นิยาม limitในanalysis เราจะกล่าวว่า limit y=y' เมื่อ x เข้าใกล้ x' เท่าก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก r>0 จะมี d>0 โดยที่ abs[y-y']<r ถ้า[x-x']<d นิยาม limit point ในmetric space(การวัด) ทุกๆ Neighborhood(ย่านจุด)ที่ไม่รวมจุดศูนย์กลางอินเตอร์เซกกับA ไม่เป็นเซตว่าง กาง neighborhoodเท่ากับก็ตามจะมีจุดที่อยู่ในA เสมอ อนิยามหมายถึงสิ่งที่ทุกคนรู้รับรู้โดยทั่วกันว่าเป็นแบบนี้ การหารด้วยศูนย์ก็เป็นอนิยาม จุดหรือเส้น เราไม่สามารถให้ความหมายที่ครอบคลุมได้แต่เรารับรู้ว่ามันมีลักษณะเป็นอย่างไร อนิยามศัพท์คือรับเรารู้ได้่ ทุกคนเข้าใจกันโดยไม่ต้องให้ความหมายของมัน เราจะให้นิยามเกี่ยวกับจุดในรูปของความสัมพันธ์ระหว่างจุดกับเซตของจุด polygon นั้นไม่ทราบนิยามแต่ความหมายคือรูปเส้นขาด(ส่วนของเส้นตรงที่หักแต่ติดต่อกัน)ที่เชิงเดียวและปิด อันนี้ต้องรอคนที่เรียน topology มาอธิบายอีกที เส้นโค้งเรียบขอให้ความหมายตามวิชาเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์คือเส้นโค้งที่แทนด้วยเวกเตอร์ฟังชันก์ซึ่งมี อนุพันธ์อันดับ1 เป็นฟังชันก์ต่อเนื่องและไม่มีจุดเอกฐาน (ปล ผมจำไม่ได้หรอกนะกางตำราพิมพ์เอา -_-" ) คห45 วิทยาศาสตร์จำพวกฟิสิกส์ เคมี ชีวะเหล่านี้ปรัชญาของมันแตกต่างกับคณิตศาสตร์อย่างสุดขั่ว คณิตศาสตร์ไม่เคยให้ความสำคัญกับระบบระเบียบวิธีแบบฟิสิกส์ การมานั่งวาดรูป ใ้ช้คอมพิวเตอร์แสดงไม่ใช่วิธีพิสูจน์ของนักคณิตศาสตร์ วิธีพิสูจน์ของนักคณิตศาสตร์ อาศัยสัจพจน์ นิยาม แล้วสร้างเป็นทฤษฏี  พวกสัจพจน์ นิยามเป็นสิ่งที่มีอยู่จริง[เรากล่าวว่าสิ่งเหล่านี้เป็นสิ่งที่พระเจ้าให้มา(อาจกล่าวว่ามันมีเป็นธรรมชาติ) นี้แหละครับคือนิยามทางคณิตศาสตร์ เป็นนามธรรมล้วนๆ ไม่ว่าจะอยู่ในปริภูมิกี่มิติก็ตาม แก้ไขเมื่อ 14 มิ.ย. 51 08:26:14 จากคุณ : เซียนแห่งmath - [ 14 มิ.ย. 51 08:22:18 ]

ความคิดเห็นที่ 47 อธิบายเพิ่มเติมอีกนิด นิยาม limit point ในmetric space(การวัด) ทุกๆ Neighborhood(ย่านจุด)ที่ไม่รวมจุดศูนย์กลางอินเตอร์เซกกับA ไม่เป็นเซตว่าง กาง neighborhoodเท่ากับก็ตามจะมีจุดที่อยู่ในA เสมอ pเป็นจุดเลิมิต หมายถึงกางneighborhoodที่จุด p แต่ไม่รวมจุดp จะต้องมีจุดที่อยู่ในเซตขอบเขตเสมอ จากคุณ : เซียนแห่งmath - [ 14 มิ.ย. 51 08:33:28 ]

ความคิดเห็นที่ 48 ^ ^ ขอบคุณสำหรับความเห็นนะครับทั้งคุณ เซียนแห่งmath และคุณ Iron-Spider ยินดีที่ได้ร่วมพูดคุยครับ # เซียนแห่งmath -แล้วถ้าเป็น hyper sphere (รูปกลม 4 มิติ) หละครับ แน่นอนว่า ถ้าเราจะยืนยันใช้นิยามเดิมมันก็คงได้ แต่มันจะใช้ได้ถ้ามิติที่ 4 เป็นเบรนราบ เหมือนมิติที่ 1 2 3  ความกลมตามนิยามของมันก็จะคงอยู่ ก็คงจะเป็นตามนี้ r^2=w^2+x^2+y^2+z^2 แต่ถ้า เบรนของมิติที่ 4 จะไม่ใช่มิติราบ ก็จะได้เป็นสมการ ที่ต้องเสริม factor เพื่อชดเชยความไม่ราบเข้าไปด้วย r^2=w^2+x^2+y^2+z^2+F(w,x,y,z)  >>อาจเป็นลักษนะของค่านิดความผิดเพี้ยน จะเห็นได้ว่าสมการวงกลดหรือนิยาม ไม่ครอบคลุมในทุกกรณี ของ ทุกจุดบน Space ผมไม่ได้หมายถึงความกลมตามนิยามเท่านั้นนะครับ ยังรวมถึงความกลมตามสาเหตุที่เราสนใจมัน มันควรจะกลิ้งได้ในมิติที่4 ควรจะสมมาตรกันทุกด้านในมิติที่4 แม้มิตินั้นจะหดอยู่เล็กกว่านิวเคลียสจริงตามที่ ควรจะเป็น -เรื่องลิมิทก็ผ่านตาผมมาบ้าง ที่คุณเขียน มันยังคงไม่สามารถเพิ่มน้ำหนักได้ว่า ทำไม ผลเฉลย จาก แคลูลัส จึงเป็นค่าประมาณ ผมว่าถ้าจะคุยเรื่องนี้ มาโฟกัสกันที่  ขอบเขตของ dx คืออะไร จะตรงประเด็นกว่า อาจอาศัยการอธิบายจากนิยามของ ลิมิตอนาไลซ์ก็ได้ แต่ยกมาลอยๆอย่างนี้ ผมไม่เข้าใจเลยครับ ว่ามันเป็นเหตุผลยังไง - ในเมือไม่ทราบนิยามของ Polygon ถ้าคุณคิดแบบ Pure Math อย่างนี้ น่าจะทราบนะครับว่า มันทำให้ เหตุผลต่างๆที่คุณยกมา ว่าวงกลมควรจะมีเหลี่ยมหรือไม่ตกไปทันที คุณจะรู้ได้ยังไงว่าอะไรใช่หรือไม่ใช่ จริงมั้ย?? แต่ผมคิดว่าผมพอจะเข้าใจจุดคิดของคุณแล้วครับ ถ้าเป็นอย่างนั้น pure math แบบของคุณ จะไม่สามารถตอบ จขกท. ได้ครับ ถ้าไม่อาศัยการคิดแบบฟิสิกส์มาช่วย  math ของคุณจะตอบได้อยู่แต่ ของที่ตายตัว และมีนิยามกำกับเท่านั้น ผมว่าคิดแบบ math ประยุกบ้างก็จะดีนะครับผม แก้ไขเมื่อ 14 มิ.ย. 51 13:01:36 แก้ไขเมื่อ 14 มิ.ย. 51 12:46:08 แก้ไขเมื่อ 14 มิ.ย. 51 12:44:32 จากคุณ : ใจมุ๊ด - [ 14 มิ.ย. 51 12:43:32 ]

ความคิดเห็นที่ 49 ^ ^ # Iron-Spider ผมว่าเราลองคิดอย่างนี้ดูบ้างมั้ยครับ ในSpace ไม่มีมิติโค้ง ดังนั้นวงกลมจะประกอบมาจากเส้นโค้งได้ยังไง สำหรับทุก scale  แม้จะย่อ scale ลงไปที่อนันต์ ก็ได้แค่เป็นจุด ยังไม่เป็นเส้นโค้งอยู่ดี ต่อให้ใช้ระนาบวงกลม มันก็ยังไม่โค้ง ดังนั้นการคิดว่ามันโค้งควรจะถือว่าผิดธรรมชาติ ผมคิดว่านี่ไม่ใช่ความสับสนที่เกิดจากการนำเอานามธรรมมาคิดรวมกับ รูปธรรม แต่เรากำลังคุบกันอยู่บน ฯามธรรมทั้งหมด มันกจึงต้องมีจุดให้เรายืนเพื่อคิด จากคุณ : ใจมุ๊ด - [ 14 มิ.ย. 51 12:55:09 ]

ความคิดเห็นที่ 50 ถกกันสนุกทีเดียวครับ มีความรู้และเหตุผลที่น่าสนใจ ส่วนความหมายของผม "อนันต์เหลี่ยม"  ไม่ว่าจะซูม ขยายเข้าไปเช่นไรก็มองไม่เห็นเหลี่ยม เพราะค่า "อนันต์" ไม่มีจุดสิ้นสุด เหมือนเราหาสิ่งที่เล็กที่สุดไม่ได้ เมื่อเราเจอก้อนๆหนึ่งที่คิดว่าเล็กที่สุด เราก็ผ่าแบ่งครึ่งมันต่อไปได้อยู่ดี เราผ่าแบ่งไปได้โดยไม่มีที่สิ้นสุด ฟังดูเป็นอุดมคติ แต่มันก็เป็นความจริง  (หรือเปล่าครับ แฮะๆ ไม่แน่ใจ) ขออนุญาตนำความเห็น ที่น่าสนใจ ไปลงไว้ในส่วน แสดงความเห็น ใน Blog ของผมนะครับ แล้วจะลงชื่อเจ้าของความคิดเห็นให้ครับ จากคุณ : จขกท. (navagan) - [ 14 มิ.ย. 51 17:26:09 ]

ความคิดเห็นที่ 51 ความคิดเห็นที่ 20  อาจสรุปได้ทั้ง2อย่าง 1 มีเส้นตรง-เส้นโค้ง 2 มีแต่เส้นตรงยาวกับสั้นๆต่อกัน คิดว่าอาจมีครูสอนทั้ง2อย่าง  ถ้าผมเป็นครูคณิตศาสตร์จะเลือกแบบ2 เพราะคณิตศาสตร์ควรสั้นไม่เยิ่นเย้อ ไม่วอกแวก สอนแบบ1เส้นมีมากมายหลายแบบ ตรง โค้ง ยุกยิก .. แต่แบบ2มีเส้นตรงอย่างเดียว ตรงยาว ตรงสั้นมาต่อกัน หรือแง่นามธรรมจุดเป็นเส้นที่สั้นที่สุดทางคณิตศาสตร์ จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 14 มิ.ย. 51 20:47:02 ]

ความคิดเห็นที่ 52 วงกลมดูด้วยตา ถ้าขยายอย่างเพียงพอจะเป็นเส้นตรงทั้งสิ้น จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 14 มิ.ย. 51 20:52:41 ]

ความคิดเห็นที่ 53 วงกลมมีเหลี่ยมหรือไม่ ? ขออนุญาตตั้งนิยามเองเรื่อง รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า คือรูปจากพื้นที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรงยาวเท่ากัน นิยามควรสั้นชัดเจน ส่วนคุณสมบัติอื่นๆค่อยมาพรรณนา รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า ที่มีพื้นที่เพื่อตัดรูป 2 เหลี่ยมคือเส้นทับกัน2เส้น เริ่มน้อยที่สุดคือ3เหลี่ยม เหลี่ยมคือด้าน จำนวนเหลี่ยมคือจำนวนด้าน จำนวนเหลี่ยมเท่าจำนวนมุม มุม3เเหลี่ยมด้านเท่าเริ่มที่60องศา เมื่อจำนวนเหลี่ยมเพิ่ม มุมภายในระหว่างด้านเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 14 มิ.ย. 51 21:44:42 ]

ความคิดเห็นที่ 54 มุมภายในรูปหลายเหลี่ยมด้าน = (n-2)*180/n เป็นองศา nจำนวนด้าน (ตัวอย่าง10เหลี่ยมด้านเท่ามุม =(10-2)*180/10 = 144) พูดแบบแคลคูลัส จำนวนเหลี่ยมใกล้อนันต์ มุมภายในใกล้ 180 องศา หรือแง่เรขาคณิตมุมภายในกางออกจนสุดเป็นเส้นเดียวกัน 180 องศา กลายเป็นวงกลม มีเส้นสัมผัสเส้นรอบวง วงกลมจึงเป็นรูปอนันต์เหลี่ยมด้านเท่า subsetของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า To find the total measure of degrees in a regular polygon, (regular meaning all sides and angles are equal) you must take the number of sides the polygon has, n, subtract 2 from it, then multiply that number by 180°.Divide that number by the number of sides the measure of each angle. http://en.wikipedia.org/wiki/Internal_angle จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 14 มิ.ย. 51 22:07:45 ]

ความคิดเห็นที่ 55 อนันต์ ไม่ใช่จำนวนจริงครับ เป็นสิ่งที่คนสมมติขึ้น เพราะฉะนั้นจะให้เป็นอย่างไรก็ได้ ตามจินตนาการของมนุษย์ จำนวนจริง = (-อนันต์,อนันต์) จะเห็นว่า ใช้วงเล็บแบบช่วงเปิด คือไม่นับอนันต์ จากคุณ : Sir.ขงเบ้ง - [ 14 มิ.ย. 51 23:18:08 ]

ความคิดเห็นที่ 56 ผมชอบนะ กระทู้นี้ ง่าย แต่ ล้ำลึก โหวตให้ละกัน จากคุณ : Multiverse - [ 15 มิ.ย. 51 02:54:54 ]

ความคิดเห็นที่ 57 เห็นด้วยว่าสุดยอด ทู้นี้ สำหรับผมมันก็เป็นได้ทั้งสองแบบล่ะ แบบเดียวกับ จุดอนันต์จุดเป็นเส้นตรง หรือเส้นตรงเฉยๆ จากคุณ : Lueng - [ 15 มิ.ย. 51 06:36:01 ]

ความคิดเห็นที่ 58 พูดถึงค่าอนันต์ พูดถึงค่าลิมิตเหมือนไกลตัว ความจริงอยู่ในชีวิตประจำวัน อยู่ที่จะมองว่าเป็นอนันต์ หรือมีค่าลิมิตมาเกี่ยวข้องหรือไม่ บางคนมองว่าเป็นอนันต์อาจถอย ไม่ยอมคิดต่อ บอกอจินไตย ยกตัวอย่างปฏิทรรศน์ของซีโน่เป็นเรื่องวิ่งแข่ง อคิลิสกับเต่า ติ๊ต่างความเร็ววิ่งอคิลิสเป็น2เท่าของเต่า อคิลิสต่อให้เต่าอยู่ข้างหน้า เมื่ออคิลิสวิ่งถึงจุดเต่ายืน เต่าวิ่งไปได้ครึ่งที่ต่อให้ และอย่างนี้ไปเรื่อยๆ ซีโน่สรุปว่าผลรวมจำนวนอนันต์ 1+1/2+1/4+1/8+...เป็นอนันต์ ฉะนั้นอคิลิสย่อมวิ่งตามเต่าไม่ทัน สำหรับคนกลัวจำนวนอนันต์ก็อาจเชื่อ เพราะไม่อยากหาผลรวมจำนวนอนันต์ แต่ข้อเท็จจริงวิ่งตามทัน จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 15 มิ.ย. 51 08:30:32 ]

ความคิดเห็นที่ 59 ในปฏิทรรศน์ของซีโน่ จริงๆผลรวมอนุกรมที่ลู่เข้า(convergence)หาค่าได้ คำตอบผลรวมคือ2-1/2^n ที่สถานะ n+1 nเข้าใกล้อนันต์ผลรวมเป็น 2 หรือคิดแบบพีชคณิตให้ทันกันที่ x ก็หาค่าได้ จะได้ 2 เช่นกัน หรือหาด้วยวาดรูปเรขาคณิตข้างล่าง โดยที่ค่าเข้าใกล้ตรงกับค่าที่หาวิธีอื่นๆ ค่าหาได้จากเข้าใกล้จึงไม่ใช่ค่าประมาณ จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 15 มิ.ย. 51 08:45:15 ]

ความคิดเห็นที่ 60 ขอบคุณ คุณ "เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ)" มากครับผม ที่ตั้งนิยามรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าของตัวเองขึ้นมา ขอคัดลอกมาสรุปเพื่อให้อ่านง่าย ทำให้ใช้อธิบาย แนวความคิดของผมเรื่อง "วงกลม คือรูปเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจำนวนด้านเป็นอนันต์" คำอธิบาย มุมภายในรูปหลายเหลี่ยมด้าน = (n-2)*180/n เป็นองศา nจำนวนด้าน (ตัวอย่าง10เหลี่ยมด้านเท่ามุม =(10-2)*180/10 = 144) พูดแบบแคลคูลัส จำนวนเหลี่ยมใกล้อนันต์ มุมภายในใกล้ 180 องศา หรือแง่เรขาคณิตมุมภายในกางออกจนสุดเป็นเส้นเดียวกัน 180 องศา กลายเป็นวงกลม มีเส้นสัมผัสเส้นรอบวง วงกลมจึงเป็นรูปอนันต์เหลี่ยมด้านเท่า subsetของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า" แก้ไขเมื่อ 15 มิ.ย. 51 11:20:26 จากคุณ : navagan - [ 15 มิ.ย. 51 11:19:58 ]

ความคิดเห็นที่ 61 ความคิดเห็นที่ 51  แง่นามธรรมจุดเป็นเส้นที่สั้นที่สุดทางคณิตศาสตร์ นักคณิตศาสตร์อาจเถียงว่าจุดไม่มีมิติไม่มีขนาด เส้นมีมิติมีความยาวนะ ความเชื่อของผมเชื่อว่าจุดมีมิติมีขนาด จุดกับเส้นจึงต่างที่ความยาว นักคณิตศาสตร์นิยามว่าจุดเป็นตำแหน่งไม่มีมิติไม่มีขนาด จุดหลายจุดประกอบเป็นเส้นได้ อย่างน้อยในโลกอุดมคติของพลาโต้ ทฤษฎีควันตัมบอกแสงอาจแบ่งเป็นเม็ดเล็กที่สุดที่ไม่อาจแบ่งต่อ-โฟตอน แต่แนวคิดนี้อาจย้อนไปหลายพันปี เดโมคริตุ๊ส-Democritus http://en.wikipedia.org/wiki/Democritus#Atoms_and_the_void เดฯบอกว่าเอาลูกชิ้น(สสารอะไรก็ได้)มาหั่นด้วยมีดวิเศษบางกริบ จนถึงจุดนึงชิ้นเล็กมากไม่อาจหั่นต่อไป เรียกชิ้นนั้นว่า อตอม=มิอาจหั่นต่อ ทำนองเดียวกันเส้นตรง ที่ถูกแบ่งครึ่งไปเรื่อยๆจะถึงจุดนึงหั่นต่อไม่ได้ ผมเรียกเส้นที่สั้นที่สุดที่หั่นต่อไม่ได้ว่า อตอมของเส้น หรือ จุด คณิตศาสตร์บอกจุดไม่มีมิติไม่มีขนาด หรือตีความว่าจุดยาว 0 ซม. ถ้าจุดยาว 0 ซม.ต้องใช้จุดจำนวนกี่จุดจึงได้เส้นตรงยาว 1 ซม. ถ้าเราเชื่อว่าจำนวนใดๆคูณ 0 เท่า 0 หรือ X*0=0 ไม่ว่าจำนวนกี่เท่าของ 0 ก็ไม่อาจสร้างเส้นขึ้นมา แม้โลกอุดมคติพลาโต เพราะกำหนดให้จุดไร้มิติไร้ขนาด ทำให้ทำอะไรกับจุดไม่ได้เลย ถ้าบอกนิยามให้ทำได้ทำเส้นจากจุด  ฉะนั้น X*0=0 ก็กลายเป็นเท็จไป นั่นคือนิยามว่าจุดไร้ขนาดและสร้างเส้นได้ กับ X*0=0 จึงขัดแย้งกัน ทางแก้คือยอมรับว่า X*0=0 แต่แก้นิยามจุดว่ามีมิติมีความยาว อาจใช้แคลคูลัสแก้ปัญหาว่า จุดมีมิติมีขนาด ขนาดเข้าใกล้ 0 ซม. คือขนาดน้อยมากแต่ไม่เท่า 0 จุดกรณีนี้จึงสามารถสร้างเส้นได้ จุดคืออตอมของเส้น ถ้าจุดไร้มิติไร้ขนาดก็ไม่อาจนำมาสร้างเส้น รูป Democritus จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 15 มิ.ย. 51 13:06:04 ]

ความคิดเห็นที่ 62 x*0 = x(0+0)... 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก    = x*0 + x*0 ดังนั้น x*0 = 0 จากคุณ : เซียนแห่งmath - [ 15 มิ.ย. 51 20:14:06 ]

ความคิดเห็นที่ 63 การให้นิยามทางเรขาควรคำนึงถึงรูปปิดรูปเปิดด้วย มันก็แค่เข้าใกล้วงกลมแต่ไม่ได้เป็นวงกลม แก้ไขเมื่อ 15 มิ.ย. 51 20:43:24 จากคุณ : เซียนแห่งmath - [ 15 มิ.ย. 51 20:26:30 ]

ความคิดเห็นที่ 64 ปล.ในที่นี้ผมจะกล่าวถึงกระบวนการแบบคณิตศาสตร์เท่านั้น นิยามของวงกลมนั้นมีอยู่แล้ว หากต้องการแสดงว่า รูปอนันต์เหลี่ยมเป็นวงกลม แน่ใจหรือเปล่าว่าเซตของจุดทุกจุดบนรูปอนันต์เหลี่ยมมีค่าหากจากจุดตรึง จุดศูนย์กลางเป็นระยะทางเท่ากันเสมอ ปล. เป็นไปได้ไหมว่ามีจุดบางจุดบนรูปอนันต์เหลี่ยมมีระยะห่างจากจุดตรึง เป็นระยะทางไม่เท่ากัน ค่าของลิมิตไม่ใช่ค่าของฟังชันก์นะจุดนั้น จากคุณ : เซียนแห่งmath - [ 15 มิ.ย. 51 20:51:49 ]

ความคิดเห็นที่ 65 ^ ^ ^ ^ ^ จาก ปล. "เป็นไปได้ไหมว่ามีจุดบางจุดบนรูปอนันต์เหลี่ยมมีระยะห่างจากจุดตรึงเป็นระยะทางไม่เท่ากัน" นั่นสิครับ น่าคิดๆ แต่ถ้าอย่างงั้นจะเป็น วงเบี้ยวๆ เป็นรูปปิดแบบเบี้ยวๆ ครับ ไม่ใช่วงกลม จากคุณ : จขกท. (navagan) - [ 15 มิ.ย. 51 23:30:05 ]

ความคิดเห็นที่ 66 *** วงกลมมีเหลี่ยมหรือไม่ ? *** ตอบได้เลยว่าไม่มีแน่นอนครับ หนึ่งในหลายเหตุผลคือ เราสามารถ differentiate จุดทุกจุดบนวงกลมได้ แต่เราไม่สามารถ differentiate ที่เหลี่ยมได้ (ลิมิตซ้ายกับขวาไม่เท่ากัน) แต่ถ้าหากเรานำลำดับของรูป n เหลี่ยมด้านเท่า แล้วถามว่าลิมิตของ ลำดับนี้เข้าใกล้รูปอะไร คำตอบก็อาจจะเป็นวงกลม (แต่เราคงพิสูจน์ไม่ได้ เพราะไม่มีเครื่องมือทางคณิตศาสตร์มารองรับ ทำได้แค่ใช้ common sense) จากคุณ : packham - [ 16 มิ.ย. 51 06:29:12 ]

ความคิดเห็นที่ 67 ความคิดเห็นที่ 62  x*0 = 0 อ้างถึงความคิดเห็นที่ 61 ต้องการพิสูจน์ว่า 2 ประโยคนี้ขัดแย้งกัน 1 นิยามจุดในเรขาคณิตคือตำแหน่งไร้มิติไร้ขนาด หรือยาว 0 ซม. 2 x*0 = 0 ถ้าจุดไร้มิติไร้ขนาดจะประกอบเป็นเส้นไม่ได้ เพราะ 0 กี่ตัวรวมก็ได้ 0 เชื่อว่าโลกอุดมคติของพลาโต้ 0 รวมกี่ตัวก็เท่า 0 ฉะนั้นนิยามที่ถูก จุดควรมีมิติมีขนาดเข้าใกล้ 0 (ยืมวิธีคิดแคลคูลัส) แก้ไขเมื่อ 16 มิ.ย. 51 08:40:52 จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 16 มิ.ย. 51 08:33:42 ]

ความคิดเห็นที่ 68 ความคิดเห็นที่ 63  การให้นิยามทางเรขาควรคำนึงถึงรูปปิดรูปเปิดด้วย ความคิดเห็นที่ 53   รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า คือรูปจากพื้นที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรงยาวเท่ากัน รูปปิดมีพื้นที่ รูปมีพื้นที่ต้องไม่ใช่รูปเปิด เพราะรูปเปิดหาพื้นที่ไม่ได้ กำหนดมีพื้นที่จึงเป็นรูปปิดโดยปริยาย จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 16 มิ.ย. 51 08:45:28 ]

ความคิดเห็นที่ 69 ความคิดเห็นที่ 63 มันก็แค่เข้าใกล้วงกลมแต่ไม่ได้เป็นวงกลม ไม่ใช่ใกล้วงกลมแต่เป็นวงกลมเลยเพราะใกล้มากๆอาจถือว่าเท่ากับ ยกตัวอย่างความคิดเห็นที่ 59   คำตอบผลรวมคือ2-1/2^n ที่สถานะ n+1 nเข้าใกล้อนันต์ผลรวมเป็น 2 สรุปว่า nใกล้อนันต์  2-1/2^nใกล้ 2 ถ้าคิดวิธีพีชคณิตวิ่งทันกัน Vความเร็วอคิลิส vความเร็วเต่า V/v=2 เวลาอคิลิสวิ่งเท่าเวลาเต่าวิ่ง (1+X)/V=X/v-->(1+X)/X=V/v=2--->X=1 หรือวิ่งไปทันกันที่ระยะทาง 2 จะเห็นว่าค่าผลรวมจำนวนอนันต์เข้าใกล้2 แต่ค่าจากพีชคณิตเท่า2 ถ้าใช้เรขาคณิตแบบรูปความคิดเห็นที่ 59 จะตัดกันที่ระยะทาง 2 เช่นกัน สรุปการหาค่าเต่าวิ่งแข่งอคิลิสทุกวิธีได้วิ่งทันกันที่ระยะ 2 ทุกวิธี ทั้งวิธีแคลคูลัส พีชคณิต เรขาคณิต ได้ค่าตรงกันทั้งสิ้น การประมาณค่าแบบแคลคูลัสจึงไม่ใช่ใกล้เคียงอย่างเดียว ถ้าประมาณค่าละเอียดพอ จะไม่ใช่ค่าประมาณ แต่เป็นค่าเท่ากับได้ จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 16 มิ.ย. 51 09:10:54 ]

ความคิดเห็นที่ 70 ความคิดเห็นที่ 64   เป็นไปได้ไหมว่ามีจุดบางจุดบนรูปอนันต์เหลี่ยมมีระยะห่างจากจุดตรึง เป็นระยะทางไม่เท่ากัน  เป็นไปไม่ได้ครับ ความคิดเห็นที่ 53  regular polygonal รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า คือรูปจากพื้นที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรงยาวเท่ากัน นิยามควรสั้นชัดเจน ส่วนคุณสมบัติอื่นๆค่อยมาพรรณนา คุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าคือมีจุดศูนย์กลางด้าน จุดศูนย์กลางด้านคือจุดตัดเส้นตั้งฉากด้านเหลี่ยมที่กึ่งกลางด้าน และจะต้องตัดกันจุดเดียวไม่ว่าลากจากด้านไหนๆ เช่นรูป 5 เหลี่ยม จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 16 มิ.ย. 51 09:23:22 ]

ความคิดเห็นที่ 71 จะว่าไปรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามีนิยามไว้เหมือนๆกันคือ รูปล้อมด้วยเส้นตรงยาวเท่ากัน ด้านเรียก perimeter เส้นตั้งฉากกึ่งกลางด้านถึงจุดศูนย์กลางด้านเรียก apothem จุดศูนย์กลางด้าน  center of the polygon to a side จุดศูนย์กลางด้านก็คือจุดศูนย์กลางวงกลมนั่นเอง พื้นทีรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า  A = ½ap Polygons Any plane figure bounded by straight lines is a polygon. If all of a polygon’s sides are of equal length and the angles are also equal, the figure is a regular polygon. The apothem of a regular polygon is the distance from the center of the polygon to a side. The area of a regular polygon is equal to the product of one half the apothem and the perimeter, or A = ½ap: http://encarta.msn.com/encyclopedia_761569706_3/geometry.html จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 16 มิ.ย. 51 09:40:27 ]

ความคิดเห็นที่ 72 ความรุ้ที่ รู้เหตุผม ที่มา ตรรกะ แต่ใช้งานไม่ได้ ไม่เป้นประโยชน์ ความรู้ที่ ไม่รู้ที่มา ไม่มีเหตุผล ไม่มีตรรกะ มีแต่ความเชื่อ แต่ ใช้งานได้จริง มีเป็นความรู้ที่มีประโยชน์  และควนศึกษา ถึง ที่มา เหตุผล และตรรกะ ของความรุ้นั้น ดังนั้น มองในแง่ ปฏิบัติ  รูปหลายเหลี่ยม ที่เป็นอนันต์ กับวงกลม ก็คือสิ่งเดียวกัน จากคุณ : Humandroy - [ 16 มิ.ย. 51 09:53:43 ]

ความคิดเห็นที่ 73 ความคิดเห็นที่ 66   สามารถ differentiate จุดทุกจุดบนวงกลมได้ ไม่สามารถ differentiate ที่เหลี่ยมได้ differentiate ในแคลคูลัสคือการหาค่าความชันของเส้นตรง จุดในนิยามเรขาคณิตไร้มิติไร้ขนาด หาความชันของจุดบนวงกลมไม่ได้ differentiate จุดบนวงกลม ไม่ใช่หาค่าความชันบนจุด เพราะจุดไม่มีความชัน แท้จริงคือหาค่าความชันของเส้นตรงสัมผัสวงกลมที่จุดนั้นๆ แก้ไขเมื่อ 16 มิ.ย. 51 10:10:49 จากคุณ : ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ - [ 16 มิ.ย. 51 10:04:37 ]

ความคิดเห็นที่ 74 รูปประกอบความคิดเห็นที่ 73 จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 16 มิ.ย. 51 10:14:13 ]

ความคิดเห็นที่ 75 ความคิดเห็นที่ 66   differentiate จุดทุกจุดบนวงกลมได้ แต่เราไม่สามารถ differentiate ที่เหลี่ยมได้ differentiate ในแคลคูลัสคือการหาค่าความชันของเส้นตรง การหาค่าความชันของเส้นหาได้ทั้งนั้น รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าวางในระนาบ xy หาความชันแต่ละด้านได้ วงกลมเสียอีกหาความชันของจุดไม่ได้ ต้องสมมุติว่าเส้นสัมผัส คือเส้นตรงเล็กๆที่ประกอบเป็นวงกลมจึงหาค่าความชันdifferentiateได้ เส้นตรงเล็กนั้นสมมุติต่อว่าสั้นมากๆใกล้ 0 แก้ไขเมื่อ 16 มิ.ย. 51 10:37:11 จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 16 มิ.ย. 51 10:25:41 ]

ความคิดเห็นที่ 76 เส้นคือทางเดินของจุด <- ชั่วโมงคณิตศาสตร์ เส้นคือจุดมาต่อกัน <- ชั่วโมงศิลปะ จุดไม่มีขนาด ไม่มีมิติ <- ชั่วโมงคณิตศาสตร์ จุดมีขนาดมีมิติ <- ชั่วโมงศิลปะ นิยามของวงกลมคือ นิยาม วงกลม คือ  "เซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งอยู่ห่างจาก จุดคงที่จุดหนึ่งบนระนาบเป็นระยะทางเท่ากัน" ถ้าเป็นวงกลมเป็นรูปหลายเหลี่ยม นั่่นแสดงว่า ณ จุดใดจุดหนึ่ง บนเหลี่ยมด้านนั้น มีระยะห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่ง ไม่เท่ากัน ดังนั้นตามนิยามวงกลม จึงไม่ใช่รูปหลายเหลี่ยม (ความเห็นส่วนตัวนะครับ) จากคุณ : Chaiyohohew - [ 16 มิ.ย. 51 11:02:51 ]

ความคิดเห็นที่ 77 ถ้าจุดไร้มิติไร้ขนาดจะเกิดเส้นได้อย่างไร ปัญหานี้ครูจะตอบนักเรียนยังไง ต้องใช้ 0 กี่ตัวรวมกันได้ 1   เส้นมี 1 มิติ จุดมี 0 มิติ คุณครูอธิบายอย่างไร ว่า 0 ก่อเกิด 1 ในชั่วโมงคณิตศาสตร์ ไม่ใช่ชั่วโมงปรัชญา ทำไมไม่อธิบายให้ง่ายๆแค่ว่า จุดคือเส้นที่เล็กที่สุด เส้นคือจุดต่อกัน ถ้านักเรียนถามว่าจุดขนาดเท่าไหร่ อาจตอบว่าจุดเล็กขนาดใกล้ 0 ความคิดเห็นที่ 76   นิยาม วงกลม คือ  "เซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งอยู่ห่างจาก จุดคงที่จุดหนึ่งบนระนาบเป็นระยะทางเท่ากัน" นิยาม รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าคือมีจุดศูนย์กลางด้านห่างทุกด้านเท่ากัน ไม่ว่าด้านใดๆ ไม่ว่าจำนวนด้านเท่าใด ขนาดด้านเล็กเท่าใดก็ตาม น่าจะครอบคลุมถึงนิยามของวงกลม ความคิดเห็นที่ 71   รูปล้อมด้วยเส้นตรงยาวเท่ากัน ด้านเรียก perimeter(circumference) เส้นตั้งฉากกึ่งกลางด้านถึงจุดศูนย์กลางด้านเรียก apothem(radius) จุดศูนย์กลางด้าน  center of the polygon to a side(center) พื้นทีรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า  A = (1/2)ap ลองคำนวนเส้นรอบรูปหรือพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าเป็นสูตร ถ้า n เป็นจำนวนด้านเมื่อ nใกล้อนันต์ สูตรจะเป็นสูตรเดียวกับวงกลม จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 16 มิ.ย. 51 12:41:07 ]

ความคิดเห็นที่ 78 สรุป วงกลม ตาม นิยาม ไม่มีเหลี่ยม วงกลมในชีวิตจริง มีเหลี่ยม จากคุณ : Multiverse - [ 16 มิ.ย. 51 12:41:31 ]

ความคิดเห็นที่ 79 นิยาม วงกลม คือ  "เซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งอยู่ห่างจาก จุดคงที่จุดหนึ่งบนระนาบเป็นระยะทางเท่ากัน" ถ้าวงกลมเป็นจุดหลายๆจุดรวมกัน จุดไร้มิติไร้ขนาดคงไร้ทิศทางด้วย จุดไร้มิติสร้างวงกลมได้อย่างไร วงกลมมีเส้นล้อมรอบพื้นที่ อธิบายยังไงว่า จุด 0 มิติก่อเกิดพื้นที่ 2 มิติในชั่วโมงคณิตศาสตร์ จะ differentiate จุดในวงกลมอย่างไร หาความชันของจุดไม่ได้ แต่ที่หาความชันเส้นโค้งได้เพราะสมมุติให้จุดเป็นเส้นตรงสั้นที่สุด เส้นตรงจึงมีปลาย2ข้างจึงหาความชันได้ ถือว่าเส้นสัมผัสเส้นโค้งมีความชันเท่ากับที่จุด(เส้นตรงสั้นๆ)สัมผัส จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 16 มิ.ย. 51 13:06:39 ]

ความคิดเห็นที่ 80 นิยามของจุดคือตำแหน่งที่ไร้มิติไร้ขนาด  นิยามวงกลมอิงอยู่กับจุด เมื่อผมแย้งนิยามของจุด จึงแย้งนิยามของวงกลมด้วยเช่นกัน เพราะการสอนให้นักเรียนเชื่อนิยามจุดอันนี้ ทำให้เด็กสับสน ทำไม 0 หลายๆตัวต้องกลายเป็น 1 หรือ จุด 0 มิติก่อเกิดเส้น 1 มิติ เชื่อว่าโลกอุดมคติของพลาโต้คงไม่มี X*0=1 จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 16 มิ.ย. 51 13:26:50 ]

ความคิดเห็นที่ 81 #77 อย่างที่อธิบายไว้ ตามความเห็นของผมใน #76 เส้นไม่ใช่จุดต่อกันแต่เป็นทางเดินของจุด ในคณิตศาสตร์ เส้นคือ ทางเดินของจุด อย่าสับสนกับวิชาศิลปะ ที่ว่า เส้นคือจุดต่อกัน ดังนั้นจุดไม่มีมิติ แต่ทางเดินมีมิติ ข้อนี้น่าจะชัดเจน ส่วนเรื่องรูปหลายเหลี่ยม ถ้าจุดทุกจุดบนรูปหลายเหลียม (N เหลี่ยม) ถ้า N เข้าใกล้อนันต์ แล้ว จุดนั้นเป็นจุดเดียวกัน คำถาม ถ้าจุดนั้นเป็นจุดเดียวกันแล้ว จะเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมได้อย่างไร หรือว่ามีเหลี่ยมได้อย่างไร (อันนี้ผมไม่ไ้ด้เล่นคำนะครับ) ส่วนเหตุผลเรื่องรูปหลายเหลี่ยม รูปอนันต์เหลี่ยม รูปศูนย์เหลี่ยม รูปหนึ่งเหลี่ยม รูปสองเหลี่ยม อันนี้ผมไม่แน่ใจ สุดแท้แต่ความเข้าใจ แต่โดยส่วนตัว รูปอนันต์เหลี่ยมนั้นไม่มี วาดไม่ได้ และไม่มีนิยาม รูปหลายเหลี่ยมมีเหลียมมากมายมหาศาลได้ แต่มีเหลี่ยมเป็นอนันต์นั้นไม่มี (ความเห็นส่วนตัวครับ) จากคุณ : Chaiyohohew - [ 16 มิ.ย. 51 13:45:57 ]

ความคิดเห็นที่ 82 0.999... มี9อนันต์ตัว นั้นได้มีการพิสูจน์แล้วว่ามีค่า = 1 หากอ้างอิงจากเรื่องนี้ อนันต์เหลี่ยมก็ถือเป็นวงกลมได้ครับ จากคุณ : อิอิคุง - [ 16 มิ.ย. 51 14:11:03 ]

ความคิดเห็นที่ 83 ความคิดเห็นที่ 81ในคณิตศาสตร์ เส้นคือ ทางเดินของจุด อย่าสับสนกับวิชาศิลปะ ที่ว่า เส้นคือจุดต่อกัน A line is a set of continuous points http://math.about.com/library/weekly/aa031503a.htm ในคณิตศาสตร์ เส้นคือเซทของจุดเรียงต่อเนื่องกัน ไม่ใช่ทางเดินจุดครับ จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 16 มิ.ย. 51 14:12:47 ]

ความคิดเห็นที่ 84 ขออภัย ขอความรู้หน่อย รบกวนคุณ เมษ แปล "line is a set of continuous points" (math) ถ้าแปลเป็นไทย คุณเมษแปลว่า เส้นคือจุดมาต่อกันใช่หรือเปล่าครับ ถ้าแปลว่า เส้นคือเซทของจุดเรียงต่อเนื่องกัน ช่วยแปลไทยเป็นไทยของคนที่ไม่รู้ความหมายของคำว่าเซทหน่อยครับ เซทของจุดมาเรียงต่อเนื่องกัน แปลว่านำจุดมาวางเรียงกัน ก็รู้ทั้งรู้ว่านิยาม จุดไม่มีขนาด ถ้าของไม่มีขนาดมาวางเรียงกัน แล้วมันจะมีขนาดไปได้อย่างไร แล้วจะดันทุรังแปลอย่างนั้นทำไม ช่วยอธิบายหน่อยครับ จากคุณ : Chaiyohohew - [ 16 มิ.ย. 51 14:44:17 ]

ความคิดเห็นที่ 85 ไป ตจว. มาแป๊บเดียว เดือดขึ้นเยอะเลย ด้วยความตั้งใจอย่างมากของคุณเมษ ขอบคุณมากครับคุณเมษที่ยกระดับกระทู้นี้ให้เข้าที่เข้าทางมากขึ้น อย่างนี้ค่อยน่าจับกลุ่มเสวนากันหน่อย มา Normalrize กระทู้กันนิด เราจะไม่คุยกันเรื่องของวงกลมอีกต่อไป เพื่อกันการยกนิยามของวงกลมมาพูดซ้ำๆซากๆ โดยที่ชัดเจนแล้วว่ามันไม่สามารถอธิบายได้ด้วยตัวมันเอง เราควรลดระดับมาพูดกันถึงเรืองที่ว่าเส้นเกิดจากอะไร เส้นเกิดจากอะไร?? -จุด( Unit point )จำนวานอนันต์จุดบวกกัน หรืออาจพูดง่ายๆว่า เส้นยาว2 เมตร เกิดจาก   ( Unit point )+( Unit point )+( Unit point )+.................. ( Unit point ) x 2       >>>>>> 1' จาก 1' เส้นที่ได้ จะอธิบายถึงปริมาณเพียงอย่างเดียว มันอาจจะเป็นเส้นโค้ง เส้นซิกแซก หรือเส้นตรง ก็ได้ ดวยวิธีนี้ควรจะให้ข้อสรุบแล้วว่า มีขอบเขตที่อธิบายได้ เกี่ยวกับการ ทำจุด1 มิติ  ให้เป็นเส้น 2 มิติ ดังนั้นโดยตัวคณิตศาสน์ เอง ไม่สามารถอธิบายความเหลี่ยมหรือไม่เหลี่ยมได้ เพรามันเป็นอนัตตาที่เราสร้างขึ้น ถ้าเราเป็นแมลงที่มองเห็นได้ มากกว่า 180 องศา ความเหลี่ยมที่ว่าก็จะเปลี่ยนไป แต่ปริมาณที่เป็นข้อสรุปจาก 1' จะไม่เปลี่ยน อาจมีบางคนคิดว่าหากเราเพิ่มบาง factor เข้าไปในนิยาม เช่น เส้นเกิดจาก จุด( Unit point )จำนวนอนันต์จุด บวกกันตามแนวยาว หรือแนวโค้ง หรือแนวซิกแซก   มันก็จะทำให้ตัดปัญหานี้ได้ ซึ่งมันก็จริงครับ แต่สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่ pure ของมัน มันเป็นแค่ตัวกำกับ เพื่อบอกเราว่าเราจะทำมันยังไง ในส่วนนี้จึงพอสรุปได้ว่า ความเหลี่ยมหรือโค้ง ไม่ใช่ข้อเท็จจริงจริงในจักวาล ดังนั้นของเขต ของนิยามต่างๆ ไม่ว่าจะเป็นวงกลม หรือวงรี หรือพาราโบร่า ไม่กว้างพอที่จะตอบคำถามนี้ได้ แต่คำถามของ จขกท ตัวของคำถามอาจถูกบีบคั้นจนเราต้องมาพยายามลงลึกให้มากที่สุด เพื่อคำตอบที่ใกล้เคียงที่สุด - [ Unit Point ] จะต้องเล็กมากจนถึงอนันต์ทางคณิตศาสตร์ แต่ในความเป็นจริง สิ่งที่ใกล้เคียง [ Unit Point ] ที่สุดก็คือ factorที่เล็กที่สุดในจักวาล และด้วยขอบเขตของความรู้เราตอนนี้ มันก็คือ ควาก ( ไม่ใช่สตริง สตริงเป็นรูปแบบการสั่นของควาก โดยจำลองเป็นเส้น 1 มิติ ) ซึ่งดูเหมือนยังไม่ใช่คำตอบที่เราพอใจ  แต่ควากนั้นเล็กกว่าโฟตอน ซึ่งเป็น อนุภาคของแสง ดังนั้นต่อให้มีอะไรที่เล็กกว่านี้ ก็ไม่ทำให้แสงเข้าไปสะท้อนมันมาที่ตาเราได้ จะเห็นว่าความจริงในจักวาล ต้องอาศักการอธิบายคนละแบบ กับที่ผ่านมา -แสงเมื่อสะท้อนมาเข้าตาหรือแสงรับภาพ จะถูกทำให้เป็น 2 มิติทันที ที่ stage นี้ เส้นโค้งใดๆจะไม่มีเหลี่ยม แต่จะประกอบด้วย set ของจุดเล็กๆของโฟตอนที่วิ่งมากระทบ แผ่นรับภาพของเรา -หลังจากนั้นจะถูกตีความเป็นสัญญานเพื่อให้สมองประมวรผลด้วยวิธิ si-fi สุดๆ ออกมาเป็นภาพที่เราเห็น ซึ่งที่ stage นี้ สมองไม่สามารถตีความได้ละเอียด ตามจำนวนโฟตอนจริง จริงๆแล้ว หยาบกว่ามาก ความไม่  match กันตรงนี้จะทำให้ภาพที่ได้ระหว่างจุด เบลอๆ -เราจะตีความ ความไม่ต่อเนื่องอย่างเป็นระเบียบของจุดเบอลๆ ว่าเป็นเส้นโค้ง เส้นตรง หรือเส้นใดๆ ตอบแบบ math ตอบไม่ได้ ตอบแบบเลขาคณิต มันมีเหลี่ยม จากข้อสรุบที่ผ่านมา คำตอบที่ถูกต้องที่สุด ควรจะเป็น มันไม่มีเหลี่ยม และไม่มีโค้ง นี่คือคำตอบในความเป็นจริง ซึ่งมีน้ำหนักที่สุด ปล. ความโค้งเป็นสิ่งที่เราสร้างขึ้นมาเพื่อแจกแจงชนิดของเ้ส้นเพื่อการใช้งาน ซึ่งสังเคราะจากข้องมูลในกรอบของเรา ถ้าเราเป็น แบคทีเรีย ก็คงไม่จำเป็นต้องมีเส้นโค้ง  ดังนั้นสิ่งที่เกิดจากการทีเราพยายามออกจากกรอบของเรา เช่นการขยายภาพ บิทแมพ ที่500% ก็จะไม่เป็นเส้นโค้งแล้ว หรือลองดูภาพจากเลยส์ 270 องศาดู  ตรงก็จะไม่ตรงแล้ว ยิ่งถ้าเป็นภาพเวคเตอร์ เราจะเห็นมันเป็นเหลี่ยมๆ ซึ่งการออกจากกรอบของเราตรงนี้ จะทำให้เราได้ข้อมูลใหม่ๆแบบที่ไม่เคยเห็นในชีวิตประจำวัน ทำให้ต้องสังเคราะกันใหม่หมด หวังว่าจะเป็นคำตอบที่กระทัดรัดและสร้างความเข้าใจ ขอบคุณครับ จากคุณ : ใจมุ๊ด - [ 16 มิ.ย. 51 14:45:55 ]

ความคิดเห็นที่ 86 ^ ^ 84 จุด 1 มิติ มีขนาดครับ แต่เป็นแบบจุด แต่จินตนาการยากมาก คำว่าไม่มีขนาด จริงๆแล้วหมายถึงขนาดทางความกว้าง ดูที่คห ผม น่าจะเข้าใจมากขึ้น ส่วน set ก็คือกลุ่มแหละครับ set ของจุด  ก็คือ กลุ่มของจุด sample space คือ ความเป็นไปได้ทั้งหมดของข้อมูล จากคุณ : ใจมุ๊ด - [ 16 มิ.ย. 51 15:00:27 ]

ความคิดเห็นที่ 87 ความคิดเห็นที่ 81   ถ้าจุดทุกจุดบนรูปหลายเหลียม  N เข้าใกล้อนันต์ แล้ว จุดนั้นเป็นจุดเดียว คำถาม ถ้าจุดนั้นเป็นจุดเดียวกันแล้ว จะเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมได้อย่างไร นิยามเรื่องจุดของผมคือเส้นตรงสั้นที่สุด จุดคืออตอมของเส้น หั่นต่อไม่ได้ รูปร่างจุดคือเส้นตรงสั้นๆ ไม่ใช่จุดกลมๆ วงกลมจึงอนันต์เหลี่ยมด้านเท่า ทำไมต้องนิยามใหม่ ผมเชื่อว่านิยามเดิมอาจมีข้อบกพร่อง เช่นจุดที่ไร้มิติสร้างเส้นที่มีความยาวได้ ไม่อาจเข้าใจได้โดยง่าย แต่ถ้าคิดว่าเอาเส้นตรงมาหั่นครึ่งไปเรื่อย เส้นที่หั่นต่อไม่ได้ให้ชื่อ จุด จุดคือเส้นตรงที่สั้นที่สุด ความยาวใกล้ 0 ผมคิดว่าเข้าใจง่ายกว่า รูปร่างจุดคือเส้นตรงสั้นๆ ไม่ใช่จุดกลมๆ วงกลมจึงอนันต์เหลี่ยมด้านเท่า ถ้าคิดว่าจุดเป็นเส้นตรงสั้นๆช่วยให้คิดแคลคูลัสทั้ง diff และ integrate เพราะหาความชันและพื้นที่ใต้โค้ง ต้องเข้าใกล้จุดมากที่สุด เช่นความชันเส้นโค้ง ถ้าคิดว่าจุดเป็นจุดกลมๆย่อมไม่อาจหาความชันได้ แต่ต้องคิดว่าจุดเป็นเส้นตรงที่สั้นมากๆ เมื่อนั้นความชันของจุดบนโค้ง เท่ากับความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่จุดโค้งนั้น ทำนองเดียวกับ integrate อาจคิดหาพื้นที่ใต้โค้งคือผลบวกพื้นที่สี่เหลี่ยม ถ้าสี่เหลี่ยมแคบมากๆเท่าจุด(เส้นตรงที่สั้นที่สุด)จะได้ค่าพื้นที่ใต้โค้งจริงๆ จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 16 มิ.ย. 51 15:10:12 ]

ความคิดเห็นที่ 88 ความคิดเห็นที่ 84   "line is a set of continuous points" (math) เส้นคือเซทของจุดเรียงต่อเนื่องกัน เซทของจุดมาเรียงต่อเนื่องกัน แปลว่านำจุดมาวางเรียงกัน ก็รู้ทั้งรู้ว่านิยาม จุดไม่มีขนาด ถ้าของไม่มีขนาดมาวางเรียงกัน แล้วมันจะมีขนาดไปได้อย่างไร แล้วจะดันทุรังแปลอย่างนั้นทำไม คณิตศาสตร์มันแย้งตัวเอง เพราะนิยามจุดกับเส้นเป็นอย่างที่ว่ามา แปลมาน่าจะถูกแล้วครับ ลองอ่านความคิดเห็นที่ 2   สมัยเด็กๆ เราเรียนกันว่า เส้นตรงเกิดจากจุดต่อๆๆๆ กันไป จำได้ไหม ขอถามว่า แล้วจุดนี่มันมีขนาดกว้างยาวเท่าไหร่นะ เออ แล้วเส้นตรงที่มันยาวๆ นี่มันมีความกว้างหรือความหนามั้ยนะ จุดเป็นสิ่งสมมุติที่ไร้มิติ ส่วนเส้นตรงเป็นสิ่งสมมุติ 1 มิติ สิ่งที่ผมเขียนมาต้องการว่าคณิตศาสตร์มันแย้งกันเอง ที่ให้จุดไร้มิติ เส้นมี 1 มิติคือความยาวไม่มีกว้างหรือหนา(ในทฤษฎี) คณิตศาสตร์ปัจจุบันยังกำหนดให้จุดไร้มิติไร้ขนาดหรือเป็นตำแหน่ง แต่เส้นเกิดจากจุดมาเรียงต่อแถวกัน คณิตศาสตร์บอกเป็นนิยาม นักเรียนห้ามมาเถียงนิยาม คนที่เรียนมาก็มักเอานิยามมาอ้าง ทั้งๆที่เด็กๆที่ชอบคณิตศาสตร์ทุกคนก็รู้ทั้งรู้ว่ามันขัดแย้งกัน แต่ส่วนใหญ่ไม่กล้าเถียงครู ผมก็ไม่กล้า ขอสอบผ่านแล้วกัน แต่นี่ห้องหว้ากอ อย่างน้อยก็ไม่รู้ว่าใครเป็นครูคณิตศาสตร์ ผมจึงกล้าบอกว่าคณิตศาสตร์เรื่องจุด-เส้น มันแย้งกัน น่าจะใช้นิยามจุดของผมน่าจะเข้าใจง่ายกว่า จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 16 มิ.ย. 51 15:39:32 ]

ความคิดเห็นที่ 89 ^ ^ อันนี้ถ้าเป็นการคิดเอาเองเพื่อความเข้าใจผมว่า ดีมากเลยแหละครับ แต่ถ้าจะเอามาเป็นเหตุเป็นผล ผมยังไม่เห็นด้วยครับ จุดต้องไม่มีขนาดทางความกว้าง ไใ่อย่างนั้น จุดที่ ( 0,0 ) จะเป็นจุดเดียวกับ ( 0.0000001,0.0000001 ) จุดก็ต้องเป็นจุดสิครับ จะเป็นเส้นตรงที่สั้นที่สุดไม่ได้ ถ้าใช่ถ้าอย่างนั้นทางความลึกแล้ว เส้นก็คือสี่เหลี่ยใที่เตี้ยมากๆ เพราะไม่อย่างนั้น จะอิทิเกรทหาปริมาตรไม่ได้ เหรอครับ??  ผมค่อนข้างไม่เห็นด้วยเลยอะครับอันนี้ ขนมปังหนึ่งก้อน ก็คือขนมปัง 1 ก้อน แม้เราจะบอกว่ามันประกอบมาจาก เศษขนมปังที่เล็กจนเป็นจุด อนันต์ชิ้น หรือถ้าเราบอกว่า เรากินมันทีละครึ่งก้อน เราต้องกินมันอนันต์ชิ้นถึงจะเข้าใกล้ 0  แม้จะเป็นอย่างนั้นผมว่าเราก็ยังสามารถนับขนมปังในเข่งได้ แคลคูลัส ก็เหมือนกันครับ จริงๆแล้วผมก็เห็นด้วยกับข้อความตอนท้ายนะครับ เป็นเรื่องดีที่เราสร้างเหตุผลของเราขึ้นมาเพื่อที่จะเข้าใจมัน แต่ก็เป็นเรื่องดีอีกเหมือนกัน ถ้าเราจะพยายามเข้าใจว่า เค้ามีเหตุผลอะไรจึงให้ข้อสรุปที่ขัดแย้งกันเช่นนี้ แก้ไขเมื่อ 16 มิ.ย. 51 15:46:02 แก้ไขเมื่อ 16 มิ.ย. 51 15:43:05 จากคุณ : ใจมุ๊ด - [ 16 มิ.ย. 51 15:40:10 ]

ความคิดเห็นที่ 90 ด้วยความเคารพ กระทู้นี้น่าจะเป็นคณิตศาสตร์ ไม่ใช่ฟิสิกส์นะครับ #86 "จุด 1 มิติ มีขนาดครับ แต่เป็นแบบจุด แต่จินตนาการยากมาก คำว่าไม่มีขนาด จริงๆแล้วหมายถึงขนาดทางความกว้าง ดูที่คห ผม น่าจะเข้าใจมากขึ้น" ... จุดมีขนาด แต่จินตนาการยากมาก คำว่าไม่มีขนาดหมายถึงมีขนาด ... อันนี้ผมงงครับ แต่ไม่ได้แย้งอะไรนะครับ ส่วนท่านอื่นๆ ถึงจุดนี้แล้วผมไม่มีข้อโต้แย้ง ใดๆนะครับ ขออ่านอย่างเดียวน่าจะดีกว่า ตอนนี้สังเกตได้ว่า มีอยู่ 2 แนวคิด คือ 1. กลุ่มที่จุดไม่มีขนาด ไม่มีมิติ 2. กลุ่มที่ตรงข้ามกับ 1 เช่น จุดมีขนาด (จะอะไรก็แล้วแต่) ... ผมไม่ได้บอกว่าใครผิด ใครถูก นะครับ แค่เข้ามาอ่าน และแสดงความเห็น ตามสมควรครับ ส่วนคำถาม จขกท ผมตอบและแสดงเหตุผลตาม #76 ยินดีที่ได้แลกเปลี่ยนครับ จากคุณ : Chaiyohohew - [ 16 มิ.ย. 51 15:54:17 ]

ความคิดเห็นที่ 91 คณิตศาสตร์ปัจจุบันกำหนดว่า จุดไร้มิติไร้ขนาด เส้นมี1มิติคือยาวไม่กว้าง พื้นที่มี2มิติคือส่วนที่ล้อมด้วยเส้น จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 16 มิ.ย. 51 16:02:56 ]

ความคิดเห็นที่ 92 ผมเจ้าของกระทู้ ดีใจครับที่มีคนสนใจ และ ถกกันอย่างมีสาระ และสนุกสนาน ตอนนี้ขอร่วมคิดด้วยคนครับผม จาก คห.89 คุณ "ใจมุ๊ด" ถ้าอย่างนั้น "เส้น"  คงเป็นส่วน ที่ใช้บอก "ขอบเขตที่ถูกแบ่ง" ไม่ว่าเส้นจะหนาเท่าไร เราจะนับแค่ขอบ ดังภาพประกอบ เส้นที่เกิดจากการวาด จะมีความหนา แต่เส้นในความหมาย ไม่มีความหนา สมมติเราวัดความสูงของ สี่เหลี่ยม เราวัดมันถึงแค่ขอบ นั่นก็คือ เราวัดถึงขอบมันนั่นเอง ดังภาพ ไม่คิดความหนาของเส้น (ในกรณีที่เส้นไม่ใช่สี่เหลี่ยมเตี้ยๆ) แก้ไขเมื่อ 16 มิ.ย. 51 16:18:49 จากคุณ : navagan - [ 16 มิ.ย. 51 16:17:12 ]

ความคิดเห็นที่ 93 ความคิดเห็นที่ 85   เส้นเกิดจากอะไร?? จุดจำนวานอนันต์จุดบวกกัน เกี่ยวกับการ ทำจุด1 มิติ  ให้เป็นเส้น 2 มิติ ในคณิตศาสตร์กำหนดให้ จุดไร้มิติไร้ขนาดหรือยาว0ซม. เส้นมี1มิติ เส้นในคณิตศาสตร์ไม่มีความหนาหรือกว้างครับมีแต่ยาว ลองอ่านความคิดเห็นที่ 2   สมัยเด็กๆ เราเรียนกันว่า เส้นตรงเกิดจากจุดต่อๆๆๆ กันไป จำได้ไหม ขอถามว่า แล้วจุดนี่มันมีขนาดกว้างยาวเท่าไหร่นะ เออ แล้วเส้นตรงที่มันยาวๆ นี่มันมีความกว้างหรือความหนามั้ยนะ จุดเป็นสิ่งสมมุติที่ไร้มิติ ส่วนเส้นตรงเป็นสิ่งสมมุติ 1 มิติ ดูรูปเรื่องมิติความคิดเห็นที่ 91 จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 16 มิ.ย. 51 16:22:35 ]

ความคิดเห็นที่ 94 ส่วน "จุด"  ก็ความหมายคล้ายๆกัน แต่เป็นการแบ่ง "ขอบเขต ใน 2 มิติ" ดังภาพ 4 ภาพ นี้ ทุกภาพบอกพิกัดเดียวกัน คือ (1,1) แต่เวลาเราทำสัญลักษณ์เพื่อแทน "จุด"  มันก็จะกินพิกัดในทั้ง 2 แกน แต่ถ้าเป็นตามที่คุณ "ใจมุ๊ด" บอก จุดคือ "ขอบเขต 2 แกน ที่ตัดกัน" ดูภาพประกอบความเห็นถัดไปครับผม จากคุณ : จขกท. (navagan) - [ 16 มิ.ย. 51 16:23:07 ]

ความคิดเห็นที่ 95 ภาพที่ 1 จากคุณ : จขกท. (navagan) - [ 16 มิ.ย. 51 16:24:04 ]

ความคิดเห็นที่ 96 ู^ ^ ^ ภาพ hyper Cubic ผิดนิดหน่อยครับ #91 http://www.pantip.com/cafe/wahkor/topic/X6709708/X6709708.html#4 จากคุณ : ใจมุ๊ด - [ 16 มิ.ย. 51 16:24:15 ]

ความคิดเห็นที่ 97 ภาพที่ 2 จากคุณ : จขกท. (navagan) - [ 16 มิ.ย. 51 16:24:31 ]

ความคิดเห็นที่ 98 ภาพที่ 3 จากคุณ : จขกท. (navagan) - [ 16 มิ.ย. 51 16:25:08 ]

ความคิดเห็นที่ 99 ภาพที่ 4 จากคุณ : จขกท. (navagan) - [ 16 มิ.ย. 51 16:26:49 ]

ความคิดเห็นที่ 100 ^ ^ ^ ^ ^ ^ โดยให้สี่เหลี่ยม สีฟ้าแทนสัญลักษณ์ "จุด" แต่ "จุดจริงๆ" อยู่ที่ขอบเขตที่ตัดกัน 2 แกน จากคุณ : จขกท. (navagan) - [ 16 มิ.ย. 51 16:29:00 ]

ความคิดเห็นที่ 101 ^ ^ # 93 ถ้าเป็นเส้นในหนึ่งมิติจะไม่มีความหนาครับ แต่เพราะมันต้องมีความหนาผมจึงเรียกว่าเส้นสองมิติ ส่วนจุดก็เหมือนกัน ที่ต้องเป็นจุด 1 มิติ เพราะไม่อย่างนั้น ( Unit point )+( Unit point )+( Unit point )+.................. ( Unit point ) x 2       >>>>>> 1' จะไม่เป็นจริง ถ้าจะเอาจุดลอยๆไปจุดใน Space จะไม่มีความหมายอะไร คือเราจะไม่เห็นอะไร และจะไม่รวมกันเป็นอะไร ลองคิดถึงแกน x y z ถ้าเราจุดลงไป จุดจะมีมิติเท่ากับ หนึ่งเป็นอย่างน้อย เส้นก็ทำนองเดียวกัน ลองคิดถึงจุด ( 0,0) ต่อกับ (0.0001, 0.0001) ไปเรื่อยๆไ อนันต์จุด ก็จะเป็นเส้นสองมิติขึ้นมา จากตรงนี้จะเห็นว่ามันต้องมีขนาดบางอย่าง แต่ต้องไม่มีขนาดทางความกว้างให้มันไปทับกันได้ ผมจินตนาการไม่ออกครับ แต่จากสมการมันต้องมี ผมจึงเรียกมันว่าขนาดแบบจุด เพื่อที่จะไม่ให้มันไปทับจุดอื่นได้เมื่อ ขยาย scale  แต่ก็เพียงพอจะทำให้สมการเป็นจริง  ถ้าไม่อธิบายอย่างนี้แล้วจะให้อธิบายยังไงหละครับ ส่วนคำตอบของ#100 ผมคิดว่าทรรศนะในความเห็นนี้น่าจะพออธิบายได้ แก้ไขเมื่อ 16 มิ.ย. 51 16:43:53 จากคุณ : ใจมุ๊ด - [ 16 มิ.ย. 51 16:38:48 ]

ความคิดเห็นที่ 102 ขยายนิดครับ ผมไม่เคยเห็นด้วยกับความคิดที่ว่า จุดไร้มิติไร้ขนาด เพราะถ้าอย่างนั้นจะนำมาซึ่งคำถามว่า แล้วมันมีอะไรบ้าง จะพบว่ามันไม่มีอะไรเลยนอกจากชือ  มันจึงไม่มีความเหมาะสมในถานะเป็น factor ที่ย่อยที่สุด จุดต้องมีขนาดเป็นอย่างน้อยที่สุด อย่างอื่นค่อยมาว่ากัน แต่ที่ Singularity ทุกอย่างถูกบรวมกันเป็นจุด แต่ก็ยังไม่อนุญาตให้จุดมีลักษณะดังกล่าว เพราะรู้กันดีว่า ทั้งมวลและพลังงาน รวมถึงมิติถูกบทอัดกันเป็นจุด จะว่าไปคำตอบอาจจะอยู่ระหว่างกลางก็ได้นะครับ จากคุณ : ใจมุ๊ด - [ 16 มิ.ย. 51 16:54:51 ]

ความคิดเห็นที่ 103 เท่าที่คุย ๆ กับรู้สึกว่าจะคุยกันเรื่องของเรขาคณิตระบบยูคลิด ไม่ใช่เรขาคณิตระบบใหม่ เพราะระบบใหม่ถือว่าจุดและเส้นเป็น อนิยามศัพท์ แก้ไขเมื่อ 16 มิ.ย. 51 18:06:09 จากคุณ : เซียนแห่งmath - [ 16 มิ.ย. 51 18:03:10 ]

ความคิดเห็นที่ 104 ผมบอกได้เลยว่าหลาย ๆ อย่างคณิตศาสตร์ไม่ได้กล่าวแบบนั้นแบบนี้ แต่ผมก็ไม่เข้าใจว่าทำไมคนยังถึงเข้าใจแบบนี้ ผมเองก็ยอมรับว่าตอนแรกผมก็เข้าใจจุด เส้นภายใต้นิยามแบบนั้น จนกระทั้งได้เรียนวิชา Fundamental of Geometry ซึ่งนิยามของจุด หรือเส้นที่คุณกล่าวมา นักคณิตศาตร์เขาเคย ถกเถียงกับเรียบร้อยแล้วในเรื่องข้อบกพร่องคณิตศาสตร์ในหนังสือ อิลิเมนต์ของยูคลิด ขออธิบายเป็นรอบสุดท้ายเกี่ยวกับจุดและเส้น ว่ามันเป็นอนิยามศัพท์ เราจะอธิบายจุดกับเส้นในรูปของเซต และความสัมพันธ์เท่านั้น คณิตศาสตร์มันชัดเจนอยู่แล้ว จากคุณ : เซียนแห่งmath - [ 16 มิ.ย. 51 18:31:07 ]

ความคิดเห็นที่ 105 ^ ^ ผมเองก็ไม่ได้เรียน pure math ขอความรู้ด้วยครับ หมายความว่าใน Fundamental of Geometry  เค้าไม่ยอมให้ จุด และ เส้นมาประกอบกันเป็นรูปทรงเหรอครับ ถ้าอย่างนั้น กว้าง คูณ ยาว ก็ใช้ไม่ได้แล้วเหรอครับ แล้วเค้าได้บอกมั้ยครับว่าทำอย่างนี้ไม่ได้แล้วต้องทำยังไง เค้าแค่ไม่นิยามมันเฉยๆเหรอครับ หรือว่าได้เสนอแนวทางความเข้าใจใหม่ด้วย จากคุณ : ใจมุ๊ด - [ 16 มิ.ย. 51 18:53:11 ]

ความคิดเห็นที่ 106 ความคิดเห็นที่ 102   ผมไม่เคยเห็นด้วยกับความคิดที่ว่า จุดไร้มิติไร้ขนาด เพราะถ้าอย่างนั้นจะนำมาซึ่งคำถามว่า แล้วมันมีอะไรบ้าง จะพบว่ามันไม่มีอะไรเลยนอกจากชือ เรขาคณิตว่า จุดเป็นตำแหน่งไร้ปริมาตร ไร้พื้นที่ ไร้มิติ จุดเป็น 0 มิติ In geometry, topology and related branches of mathematics a spatial point describes a specific point within a given space that consists of neither volume, area, length, nor any other higher dimensional analogue. Thus, a point is a 0-dimensional object. http://en.wikipedia.org/wiki/Point_(geometry) จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 16 มิ.ย. 51 18:55:23 ]

ความคิดเห็นที่ 107 ยูคลิดว่าเส้นสามารถเชื่อม2จุด ทำให้ผลยุ่งยากตามมา อย่างไรก็ตาม สัจพจน์ของยูคลิดเกี่ยวกับจุดก็ไม่สมบูรณ์ ไม่ชัดเจน เพราะไม่คิดว่าสัจพจน์นี้จะมีข้อสรุปที่อาจขัดแย้งกันตามมา ปัจจุบันพยายามเอาสัจพจน์เหล่านี้ออกไป Euclid also postulated a key idea about points; he claimed that any two points can be connected by a straight line, this is easily confirmed under modern expansions of Euclidean geometry, and had grave consequences at the time of its introduction, allowing the construction of almost all the geometric concepts of the time. However, Euclid's axiomatization of points was neither complete nor definitive, as he occasionally assumed facts that didn't follow directly from his axioms, such as the ordering of points on the line or the existence of specific points, but in spite of this, modern expansions of the system have since removed these assumptions. http://en.wikipedia.org/wiki/Point_(geometry) ความเห็นส่วนตัวคิดว่านักคณิตศาสตร์พยายามนิยามจุด-เส้นด้วยเซท ทำให้คลุมเครือ เข้าใจยากขึ้น ที่สำคัญไม่ให้ใครจับผิดง่ายๆอีก รูปข้างล่าง คุณยูคลิด จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 16 มิ.ย. 51 19:17:37 ]

ความคิดเห็นที่ 108 Points in Branches of Mathematics A point in point-set topology is defined as a member of the underlying set of a topological space. http://en.wikipedia.org/wiki/Point_(geometry) จุดในคณิตศาสตร์คืออะไร อ่านแล้วจะไม่เข้าใจทันที เพราะศัพท์เฉพาะ เช่น point-set topology,member,underlying set,topological space ต่อไปนี้อธิบายเรื่องจุดให้นักเรียนฟัง ครูต้องรู้เรื่องเซทแตกฉาน อธิบายแล้วก็คงยังคลุมเครือ เข้าใจยาก ยุ่งยากมากขึ้น ถ้าให้ดีก็อย่าไปอธิบายเรื่องจุด-เส้น หรืออย่าไปนิยามเสีย เรื่องก็จบด้วยดี คือครูไม่ต้องอธิบาย นักเรียนเข้าใจให้คลุมเครือไว้จะได้ไม่ผิด จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 16 มิ.ย. 51 19:36:15 ]

ความคิดเห็นที่ 109 #105 ข้อยกตัวอย่างข้อความในหนังสือออกมาเลยนะครับ เราอาจจะเข้าใจเกี่ยวกับเซตของจุดดีขึ้น ถ้าเราพิจารณารูปแบบทางกายภาพ physical model เช่น ความสัมพันธ์ระหว่างจุด กับ ตำแหน่ง หรือ จุดแทนปลายเข็มทั้งสองข้าง มุมของผนังห้อง ซึ่ง physical model เหล่านี้จะสัมพันธ์กับจุดทางคณิตศาสตร์ตามแบบของรูปกายภาพ แต่สิ่งที่ควรตระหนักก็คือสิ่งเหล่านี้ไม่ใช่จุด เป็นเพียงตัวแทนที่เลือกมาจากโลก ที่เกี่ยวข้องกันเราเท่านั้น ตามความจำเป็นจริงแล้ว ไม่มีอะไรในโลกที่สามารถใช้แทนเพื่อให้สอดคล้องจริง ๆกับความคิดที่เป็นนามธรรมของจุดได้เลย เช่นเส้นเราจะนิยามผ่านเซตของจุดซึ่งมีสมบัติดังต่อไปนี้ เป็นต้น แต่นิยามตรง ๆของจุด เส้น ระนาบ เป็นอนิยามศัพท์ (แนวคิดปรัชญาของคณิตศาสตร์จะสอดคล้องกับปรัชญาของจิตนิยม โลกแห่งแบบของเพลโต ในขณะที่ปรัชญาของวิทยาศาสตร์จะสอดคล้องกับปรัชญาของสสารนิยม ว่าด้วยอะตอมเป็นพื้นฐาน ให้ความสำคัญกับสิ่งทางกายภาพ) เราจะนิยามรูปทางเรขาคณิตผ่านเซตของจุด แก้ไขเมื่อ 16 มิ.ย. 51 20:29:53 จากคุณ : เซียนแห่งmath - [ 16 มิ.ย. 51 20:27:22 ]

ความคิดเห็นที่ 110 ถ้ายูคลิดรู้ว่าเรขาฯที่เขียนจะวุ่นวายอย่างปัจจุบันนี้แกอาจไม่เขียนก็ได้ จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 17 มิ.ย. 51 07:38:34 ]

ความคิดเห็นที่ 111 ถ้ายูคลิดไม่รู้เรื่องเซท รู้แต่เรขาคณิต ยูคลิตจะสอนเรขาฯได้อย่างไร ยูคลิดจะอธิบายยังไงให้ลูกศิษย์ฟังเรื่องเส้นเรื่องจุดว่าคืออะไร ถ้าเผื่อผมได้สอนแทนยูคลิดผมจะเล่านิทาน กาละครั้งหนึ่งนานมาแล้ว มีคนทำก้อนอิฐแดงๆที่เอามาก่อสร้าง เราเอาก้อนอิฐหลายๆก้อนมาเรียงเป็นแถวยาวๆได้ เรียงตั้งเป็นกำแพงได้ แสดงว่าจากอิฐก้อนๆ หลายก้อนก่อเป็นเส้นแนว เรียงล้อมก็เกิดพื้นที่ คนทำอิฐชื่อพลาเล็กน้องพลาโต ไหนๆพลาโต-พี่ชายมีโลกอุดมคติ พลาเล็กที่ทำอิฐขายเลยสร้างโลกอุดมคติของพลาเล็กบ้าง พลาเล็กบอกว่าโลกในอุดมคติของเขา มีแต่ก้อนอิฐแดง อุดมคติไงเนี่ย ถ้ามีอิฐแดงถือเป็นโลกทางกายภาพ (physical world) ไม่อุดมคติซักหน่อย พลาเล็กบอกยังไม่อธิบายเลย ฟังให้จบเสียก่อน อิฐแดงในอุดมคติคือ เส้นๆคล้ายบ๊ะหมี่มาม่า-ยำยำมีความยาว เพื่อให้อยู่โลกอุดมคติ ไม่ให้หนา นั่นคืออิฐแดงมี 1 มิติคือยาว พูดให้งงๆว่ายาวแบบสั้นที่สุด ยาวใกล้ 0 ทำไมต้องสั้นขนาดนั้นด้วย เพราะเป็นอิฐแดงไง อิฐแดงเป็นหน่วยพื้นฐาน ในการก่อสร้าง อิฐแดงในโลกอุดมคติของพลาเล็กก็เป็นหน่วยพื้นฐาน ในการสร้างโลกอุดมคติเช่นกัน กำหนดให้อิฐแดงเป็นเส้นตรงด้วย เส้นตรงเป็นเส้นง่ายที่สุด เพราะถ้าอิฐแดงไม่ตรงคงเรียงเป็นเส้นลำบาก อิฐแดงเป็นเส้นตรงสั้นที่สุด ไม่อาจสั้นกว่านี้ มี 1 มิติอยู่ในอุดมคติพลาเล็ก จากนั้นอิฐแดงหลายก้อนก็สามารถสร้างเส้น สร้างพื้นที่ สร้างปริมาตรได้ (เรื่องนี้อาจคล้ายทฤษฎีสตริงที่หน่วยพื้นฐานเป็นสตริงหรือเส้น1มิติ จากเส้น1มิติมีการสั่นกลายเป็นแผ่น-เบรนและอื่นๆ แต่นิทานนี้เก่ากว่า) จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 17 มิ.ย. 51 09:17:28 ]

ความคิดเห็นที่ 112 สุดยอดทั้งคำถามและคนตอบเลย คุณเมษเก่งจัง ขอบคุณครับ จากคุณ : AVSystem - [ 21 มิ.ย. 51 21:20:22 ]

ความคิดเห็นที่ 113 กระทู้นี้คนตอบเยอะจัง ไม่รู้นะ อยากแสดงทัศนะ กับที่ว่าวงกลมมีเหลี่ยมเป็นอนันต์ ถึงมันมีเหลี่ยมมากยังไงก็ยังเป็นรูปหลายเหลี่ยม ใช่มะ คิดว่าแปลกมะ ที่เราพยายามจะเข้าใจอะไรก็เหมือนว่าเรายิ่งไม่เข้าใจมันมากขึ้น สงไส ทำไม ต้องมองวงกลมผ่านรูปเหลี่ยม มองจำนวนมาก หรือค่าน้อยมากผ่าน ลิมิต เพื่อให้เข้าใจวงกลม ทำไม ไม่เข้าใจว่า วงกลมมันก็คือวงกลม มันเป็นกลมๆ ไม่มีเหลี่ยม  เขียนเอง งงเอง จากคุณ : nongkw - [ 25 มิ.ย. 51 19:36:09 ]

ความคิดเห็นที่ 114 0.000000000000000000000001 ยังไงก็ไม่ใช่ 0 วันยังค่ำ เพียงแต่ว่าคุณยอมรับให้มันเท่ากับศูนย์ได้หรือเปล่าเท่านั้นเอง ขอยกตัวอย่างเศษส่วน 1/9 = 0.1111111... 2/9 = 0.2222222... 3/9 = 0.3333333... . . 9/9 = 0.9999999... <<< จิงเหรอ ในเมื่อ 9 ตัด 9 ได้ 1 เพราะฉะนั้น 0.9999999... = 1 ย้ายมาลบเป็น 0.0000000...00001 = 0 จากคุณ : มิ้นๆ (mint_la) - [ 14 ก.ค. 51 00:23:40 ]

ความคิดเห็นที่ 115 ยังไงก็เป็นได้แค่รูปหลายเหลี่ยมที่มี lim เข้าใกล้วงกลมเท่านั้นแหละคับ ถ้าเอากันจริงๆ วาดให้ตายมันก็ได้แค่เข้าใกล้ แต่ถ้าจะอิงนิยาม ยังไงมันก็ต้องไม่ไม่เหลี่ยม และถ้าคุณจะยืนยันว่าไม่สนนิยาม นั่นคุณก็ไม่ได้พูดถึงวงกลมแล้วล่ะคับ แก้ไขเมื่อ 14 ก.ค. 51 03:06:05 จากคุณ : Limelight - [ 14 ก.ค. 51 03:05:51 ]

ความคิดเห็นที่ 116     จุดคือตำแหน่ง(position)  เส้นคือระยะทาง(length)จากจุดถึงจุดไม่มีขนาดใดๆทั้งสิ้น     จุดและเส้นเป็นนามธรรมคิดขึ้นมาเพื่อเป็นเครื่องมือในการวัดสิ่งต่างๆในโลกที่เป็นรูปธรรม ส่วนใหญ่เราติดในสิ่งที่เราจับต้องได้จึงคิดว่ามันต้องมีขนาด ตัวเลขนั้นก็เป็นเพียงค่าสัมพัทธ์( relative)เท่านั้น        เส้นโค้งคือเส้นตรงเล็กๆที่ต่อกันจะเล็กแค่ไหนขึ้นอยู่กับความละเอียดของค่า Pi     วงกลมก็เช่นเดียวกันคือเส้นตรงเล็กๆมาต่อกันเส้นจะเล็กขนาดไหนก็ขึ้นกับความละเอียดของ Pi พูดอีกอย่างคือเส้นโค้งไม่มีการกำหนดนิยาม ใครที่เข้าใจที่มาของ Pi จะเข้าใจเรื่องนี้         แก้ไขเมื่อ 29 ส.ค. 51 10:49:34 จากคุณ : mihctum - [ 28 ส.ค. 51 22:33:36 ]

ความคิดเห็นที่ 117 ... เข้ามาดู จากคุณ : Mr. Fusion - [ 11 ก.ย. 51 16:59:37 ]

ความคิดเห็นที่ 118 ความคิดเห็นที่ 114  9/9 = 0.9999999... <<< จิงเหรอ....ถูกต้องครับ ในเมื่อ 9 ตัด 9 ได้ 1 เพราะฉะนั้น 0.9999999... = 1 ย้ายมาลบเป็น 0.0000000...00001 = 0  เท่า0ถูกครับ ไม่เท่ากับ0.0000000...00001 เพราะ 0.999... คือจุดเก้าไม่รู้จบครับ ถ้ารู้ว่าตัวสุดท้ายคือ9 ต้องเรียกว่ารู้จบ เมื่อจุดเก้าไม่รู้จบย่อมไม่อาจหารู้ตัวสุดท้ายได้ คือไม่มีตัวสุดท้ายครับ http://www.pantip.com/cafe/wahkor/topic/X6984080/X6984080.html จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 11 ก.ย. 51 20:58:30 ]

ความคิดเห็นที่ 119 หลายเหลี่ยมด้านเท่า ด้านมากยิ่งใกล้วงกลม จำนวนด้านใกล้อนันต์ รูปหลายเหลี่ยมกลายเป็นวงกลม เขียนเป็นสมการลิมิตตามรูปข้างล่าง As the  number of sides of the polygon increase, the  polygon is getting closer and closer to becoming the circle! As n gets larger, the n-gon gets closer to being the circle. As n approaches infinity, the n-gon approaches the circle. The limit of the n-gon, as n goes to infinity, is the circle! http://www.coolmath.com/limit1.htm จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 11 ก.ย. 51 21:07:36 ]

ความคิดเห็นที่ 120 ความคิดเห็นที่ 115 ถ้าคุณจะยืนยันว่าไม่สนนิยาม นั่นคุณก็ไม่ได้พูดถึงวงกลมแล้วล่ะคับ ผมคิดว่าผมสนใจและใส่ใจนิยาม แต่นิยามที่มีจุดบกพร่องควรมีการแก้ไข เช่นจุดไม่มีมิติ ไม่มีกว้าง-ยาว จะเอาจุดกี่จุดมาต่อกันให้ได้เส้น ย่อมเป็นไปไม่ได้ เหมือน x*0=0 ส่วนวงกลมอาจนิยามว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า จำนวนด้านใกล้อนันต์ เป็นตัวอย่างลิมิตในแคลคูลัสตามเวปข้างบนนั้น จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 11 ก.ย. 51 21:19:54 ]

ความคิดเห็นที่ 121 ยังงงๆว่าผมมาโผล่กระทู้นี้ได้ไงเนี่ย จากคุณ : เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ) - [ 11 ก.ย. 51 21:31:33 ]

ความคิดเห็นที่ 122 โห ผ่านมา 3 เดือน แล้ว ยังมีคนสนใจกระทู้นี้อยู่เลยครับ ขอบคุณ คุณ "เมษ (ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ)" ที่ยังตามให้ความรู้ เช่นเคย ลองไปตาม Link ที่คุณว่า แสดงว่าก็มีคนคิดแบบที่ผมคิดจริงๆด้วย จากคุณ : navagan - [ 12 ก.ย. 51 07:46:42 ]