ความคิดเห็นที่ 1 การบ้านยากอ้ะ จากคุณ : อะธีลาส - [ 22 ก.พ. 52 22:51:59 ]

ความคิดเห็นที่ 2 ... เข้ามาดู จากคุณ : Mr. Fusion - [ 22 ก.พ. 52 23:53:22 ]

ความคิดเห็นที่ 3 ข้างล่างว่าไงจ๊ะ v v v v จากคุณ : เม็ดเกาลัดสีดำ - [ 23 ก.พ. 52 00:19:29 ]

ความคิดเห็นที่ 4 มุข แปลกๆ จากคุณ : Waterman (LN106) - [ 23 ก.พ. 52 00:34:24 ]

ความคิดเห็นที่ 5 (3 * i) ! = 0.019292759 + 0.0338960105 i อากู๋บอกมา จากคุณ : ginosty - [ 23 ก.พ. 52 00:39:19 ]

ความคิดเห็นที่ 6 ลองคิดอย่างนี้ดู ถ้าเรามีของ 3i+3j+3k ชิ้น เราต้องการแบ่งของออกเป็นกลุ่ม ๆ แต่ละกลุ่มมีจำนวนชิ้นเท่ากับ i, j, k, (i+j), (j+k) และ (k+i) ตามลำดับ ถามว่าเราสามารถแบ่งกลุ่ม ได้ทั้งหมด กี่วิธี คำตอบก็คือ ได้จำนวนวิธีตามโจทย์จขกท.นั่นแหละครับ เนื่องจากจำนวนวิธี จะเป็นจำนวนเต็มเสมอ ดังนั้น โจทย์ของจขกท. ก็เป็นจำนวนเต็มเสมอเช่นกันครับ. จากคุณ : ลุงแว่นใจดี - [ 23 ก.พ. 52 08:02:39 ]

ความคิดเห็นที่ 7 โจทย์ผิดครับ .. มันไม่มีทางเป็นจำนวนเต็ม จะเป็นจำนวนเต็มได้ ต้องเป็น (3j)! * (3f)! * (3k)! ไม่ใช่ (3i)! * (3j)! * (3k)! จากคุณ : แมวเหมียวพุงป่อง - [ 23 ก.พ. 52 08:47:17 ]

ความคิดเห็นที่ 8 ขออนุญาตคุณ Santa_Baby จากความเห็น#6 ของลุงแว่นแสดงอย่างชัดเจนว่า โจทย์ที่ยกมา เป็นจำนวนเต็มเสมอ คุณ santa มีวิธีอื่นอีกหรือไม่ครับ ผมมีข้อสงสัยเพิ่มเติมครับ ถ้าเราย่อโจทย์ลงมาให้ง่ายขึ้น เมื่อ n>r และ n,r เป็นจำนวนเต็มบวก nCr = n!/r!(n-r)! เรารู้ว่าเป็นวิธีการหยิบของ r ชิ้น จากของ n ชิ้น ซึ่งเป็นจำนวนเต็มแหงๆ ที่อยากเห็นคือ วิธีการพิสูจน์ว่า nCr = n!/r!(n-r)! เป็นจำนวนเต็มเสมอ แบบนี้จะพิสูจน์อย่างไรครับ จากคุณ : ช า ติ - [ 23 ก.พ. 52 11:48:05 ]

ความคิดเห็นที่ 9 กำลังคิดอยู่เหมือนกันครับ อิอิ แต่เท่าที่วิจัยมามันน่าจะเกี่ยวกับ modulo ครับ จากคุณ : Santa_Baby - [ 23 ก.พ. 52 12:11:59 ]

ความคิดเห็นที่ 10 คุณลุงแว่น หรือ คุณชาติ ช่วยขยายความข้อ 6 ได้ไหมครับ คือผมยังไม่ค่อยเข้าใจน่ะครับ เรื่องการจัดหมู่ แล้วมันทำให้อยู่ในรูปของโจทย์ได้ยังไงครับ จากคุณ : Santa_Baby - [ 23 ก.พ. 52 14:21:15 ]

ความคิดเห็นที่ 11 กลับมาดูอีกที คิดว่า ที่สรุปว่าจำนวนวิธี ตาม #6 คือโจทย์ของจขกท น่าจะยังไม่ถูก ขออภัยด้วยครับ (ถึงรูปจะคล้ายกันมากก็เถอะ) หมายเหตุ: ถ้าคิดตาม #6 เราจะได้จำนวนวิธี = (3i+3j+3k)! ------------------------------ i! j! k! (i+j)! (j+k)! (k+i)! แต่คิดว่า การใช้แนวคิดว่า มันคือโจทย์ตระกูล combination/permutation ซึ่งทำให้เราสรุปได้ว่า จำนวนวิธีจะเป็นจำนวนเต็มเสมอ น่าจะใช้ได้แล้วครับ ถ้าจะให้คำตอบเป็นตามโจทย์ จขกท. ผมว่าน่าจะเป็นอะไรทำนองนี้ครับ ในงานเลี้ยงรวมสามมหา'ลัย (สมมติเป็นมหา'ลัย I, J, K จะได้ตรงกับโจทย์) แต่ละมหา'ลัย มีจำนวน นักศึกษาหญิง นักศึกษาชาย และอาจารย์ อย่างละเท่า ๆ กัน ในระหว่างงานเลี้ยง มีสันทนาการด้วย โดยขอให้แต่ละมหาลัย ส่งตัวแทนมาดังนี้ มหา'ลัย I ส่ง นักศึกษาหญิง และนักศึกษาชาย (ทุกคน) ออกมา มหา'ลัย J ส่ง นักศึกษาชาย และอาจารย์ ออกมา มหา'ลัย K ส่ง อาจารย์ และนักศึกษาหญิง ออกมา พิธีกรขอให้ตัวแทนที่ออกมา ยืนเรียงแถวกัน แต่ปรากฏว่า ต่างคนก็ต่างเขิน เลยยืนแบบมหาวิทยาลัยของใครของมัน ไม่ยอมยืนคละกัน ถามว่าจะมีรูปแบบการยืนของ นักศึกษาหญิง นักศึกษาชาย และอาจารย์ ได้ทั้งสิ้นกี่วิธี (หมายเหตุ: เราสนใจรูปแบบการยืนของ นศ.ญ นศ.ช และ อ. เท่านั้น ไม่เกี่ยงว่าใครเป็นใคร มาจากสถานศึกษาใดครับ) ซึ่งแน่นอนครับว่า คำตอบที่ได้ เป็นจำนวนเต็มเสมอ แต่ที่ว่าไปทั้งหมดนั้น ไม่ได้เป็นวิธีพิสูจน์อย่างเป็นทางการ (เรียกว่า intuition proof ได้มั้ยเนี่ย) ถ้าจะเอาอย่างเป็นทางการ คิดว่า น่าจะทำได้หลายวิธีครับ (แต่ขี้เกียจทำ (ฮา)) อย่างเช่น induction proof เป็นต้น อีกวิธีที่น่าจะทำได้ คือ นั่งแยกตัวประกอบ แล้วนับกันเลย ก็น่าจะได้เหมือนกัน ซึ่งน่าจะใช้ proof สิ่งที่คุณชาติ อยากเห็นใน #8 ได้ด้วย (คุ้น ๆ ว่าในตำรา Binomial Theorem น่าจะ proof nCr แบบ induction ครับ) จากคุณ : ลุงแว่นใจดี - [ 23 ก.พ. 52 20:45:22 ]

ความคิดเห็นที่ 12 #8 nCr = n! / (r!(n-r)!) สำหรับจำนวนเต็ม n,r ที่ n>=r>=0 ในกรณีที่ n,r เป็นจำนวนเต็ม และ 0<r<n จะได้ว่า r-1 เป็นจำนวนเต็ม และ r-1 >= 0 n-r เป็นจำนวนเต็ม และ n-r > 0 n-r-1 เป็นจำนวนเต็ม และ n-r-1 >= 0 กำหนดให้ s = n-r nCr = n! / (r!(n-r)!) = n! / (r!s!) = (n)(n-1)! / (r! s!) =  (r+s)(n-1)! / (r! s!) =  (r)(n-1)! / (r! s!) + (s)(n-1)! / (r! s!) =  (r)(n-1)! / (r (r-1)! s!) + (s)(n-1)! / (r! s (s-1)!) =  (n-1)! / ((r-1)! s!) + (n-1)! / (r! (s-1)!) =  (n-1)! / ((r-1)! (n-r)!) + (n-1)! / (r! (n-r-1)!) = n-1Cr + n-1Cr-1 ใช้ mathematical induction พิสูจน์ base case: เมื่อ a เป็นจำนวนเต็มและ 0<=a aC0 = a! / (0!(a-0)!) = 1 เป็นจำนวนเต็ม aCa = a! / (a!(a-a)!) = 1 เป็นจำนวนเต็ม inductive step: เมื่อ a,b เป็นจำนวนเต็มและ  0<b<a aCb = a-1Cb + a-1Cb-1 ผลบวกของจำนวนเต็มย่อมเป็นจำนวนเต็ม จากคุณ : ผลึกความคิด - [ 23 ก.พ. 52 20:47:18 ]

ความคิดเห็นที่ 13 ขอขยายความนิดนึง เมื่อกี้ผมพลาดเขียนสลับกัน เดี๋ยวคนอ่านงง nCr = n! / (r!(n-r)!) n-1Cr = (n-1)! / (r!((n-1)-r)!) = (n-1)! / (r!(n-r-1)!) n-1Cr-1 = (n-1)! / ((r-1)!((n-1)-(r-1))!) = (n-1)! / ((r-1)!(n-r)!) ใน #12 มีบรรทัดนึงที่เขียนอย่างนี้ = (n-1)! / ((r-1)! (n-r)!) + (n-1)! / (r! (n-r-1)!) หน้าเครื่องหมายบวก เท่ากับ n-1Cr-1 หลังเครื่องหมายบวก เท่ากับ n-1Cr แต่บรรทัดต่อไป เผลอเขียนสลับกัน ที่จริงน่าจะเขียนว่าอย่างนี้มากกว่า = n-1Cr-1 + n-1Cr แต่มันก็มีค่าเท่ากันแหละครับ จากคุณ : ผลึกความคิด - [ 23 ก.พ. 52 21:01:57 ]

ความคิดเห็นที่ 14 มีข้อสงสัยต่อเนื่องครับ เมื่อ a,b,c,d,e,f,...เป็นจำนวนเต็มบวก และ a+b+c+d+e+f+... = n      n! -----------        เป็นจำนวนเต็มเสมอ a!b!c!d!... พจน์นี้ คือ การจัดเรียงของ n ชิ้น ที่มีการซ้ำกัน a b c d e f ... ตามลำดับ วิธีการจัดเรียงต้องเป็นจำนวนเต็มแน่นอน จึงยืนยันได้ว่า พจน์นี้เป็นจำนวนเต็ม ส่วนการพิสูจน์แบบ induction หรือวิธีอื่น จะทำอย่างไรครับ ผมลองทำเลียนแบบ#12 ยังหาทางไปไม่เจอ แก้ไขเมื่อ 23 ก.พ. 52 22:32:18 แก้ไขเมื่อ 23 ก.พ. 52 22:12:12 จากคุณ : ช า ติ - [ 23 ก.พ. 52 22:10:46 ]

ความคิดเห็นที่ 15 แก้ไข : กลับมาดูโจทย์อีกที จึงเห็นว่าผมอ่านโจทย์ไม่ละเอียด (3i)! * (3j)! * (3k)! / [ i! * j! * k! * (i + j)! * (j + k)! * (k + i)! ] ไม่ใช่ (3i+3j+3k)! / [ i! * j! * k! * (i + j)! * (j + k)! * (k + i)! ] ผมผิดไปตามที่คุณ santa ท้วงในคห.10 และตามที่ลุงแว่นบอกในคห.11 ต้องขออภัยด้วยครับ เดี๋ยวผมจะลองพยายามคิดดูบ้างว่าจะพิสูจน์โจทย์นี้อย่างไร แก้ไขเมื่อ 23 ก.พ. 52 22:34:37 จากคุณ : ช า ติ - [ 23 ก.พ. 52 22:31:39 ]

ความคิดเห็นที่ 16 #14 ประมาณนี้มั้ง n = (a + b + c + ...) (n)! / (a! b! c! ...) = n (n-1)! / (a! b! c! ...) = (a + b + c + ...) (n-1)! / (a! b! c! ...) = a (n-1)! / (a! b! c! ...) +  b (n-1)! / (a! b! c! ...) + c (n-1)! / (a! b! c! ...) + ... = (n-1)! / ((a-1)! b! c! ...) +  (n-1)! / (a! (b-1)! c! ...) + c (n-1)! / (a! b! (c-1)! ...) + ... นึกภาพ คล้ายๆ สามเหลี่ยมปาสคาล ซึ่งเป็น 2 มิติ แต่เพิ่มเป็น 3 มิติ, 4 มิติ, หรือมากกว่านั้น ในกรณี 3 มิติ ก็คือเลขเรียงกันเป็นพีระมิดฐานสามเหลี่ยม จุดยอดอยู่บนสุดเป็นเลข 1, มีสันอยู่ 3 สัน เลขบนสันเป็นเลข 1, มีหน้าอยู่สามหน้า แต่ละหน้าเป็นสามเหลี่ยมปาสคาล, ส่วนเลขข้างในมีค่าเท่ากับผลบวกของเลขสามตัวที่อยู่เหนือตัวมัน ในกรณี 4 มิติ นึกภาพไม่ออก แต่คล้ายๆ กันแหละ กำหนดให้ C1(a) = (a)!/(a!) C2(a,b) = (a+b)!/(a!b!) C3(a,b,c) = (a+b+c)!/(a!b!c!) C4(a,b,c,d) = (a+b+c+d)!/(a!b!c!d!) ... จะได้ว่า C1(0) = 1 C1(a) = 1    for 0<=a C2(0,0) = 1 C2(0,b) = C1(b)    for 0<=b C2(a,0) = C1(a)    for 0<=a C2(a,b) = C2(a-1,b) + C2(a,b-1)  for 0<a,0<b C3(0,0,0) = 1 C3(0,b,c) = C2(b,c)    for 0<=b,0<=c C3(a,0,c) = C2(a,c)    for 0<=a,0<=c C3(a,b,0) = C2(a,b)    for 0<=a,0<=b C3(a,b,c) = C3(a-1,b,c) + C3(a,b-1,c) + C3(a,b,c-1)  for 0<a,0<b,0<c C4(0,0,0,0) = 1 C4(0,b,c,d) = C3(b,c,d)    for 0<=b,0<=c,0<=d C4(a,0,c,d) = C3(a,c,d)    for 0<=a,0<=c,0<=d C4(a,b,0,d) = C3(a,b,d)    for 0<=a,0<=b,0<=d C4(a,b,c,0) = C3(a,b,c)    for 0<=a,0<=b,0<=c C4(a,b,c,d) = C4(a-1,b,c,d) + C4(a,b-1,c,d) + C4(a,b,c-1,d) + C4(a,b,c,d-1)  for 0<a,0<b,0<c,0<d ... เลขทุกตัวที่ได้ก็คือ ผลบวกของผลบวกของ 1 ทั้งหมดเลย ---- ส่วนโจทย์ของ จขกท. เดี๋ยวค่อยคิดอีกที จากคุณ : ผลึกความคิด - [ 23 ก.พ. 52 23:21:00 ]

ความคิดเห็นที่ 17 อูย นึกว่ากระทู้แนะนำโรงงาน ที่ไหนได้ ............... คุณชาติ ยังเหมือนเดิมนะครับ ต่อกระทู้ยังกะต่อกลอน จากคุณ : Chirayut - [ 24 ก.พ. 52 00:28:25 ]

ความคิดเห็นที่ 18 โอ้กระทู้ แฟกตอเรียล  เรียนมาบ้าง ดูค่อนข้าง น่าสนใจเลยลองหา ลองเข้าไปตาตั้งจนปัญญา ต้องพึ่งพานักปราชญ์วาดให้จำ คุณ Chirayut มาแซวอีกแล้วเพื่อน กระตุ้นเตือน อารมณ์ให้ขำๆ เชิญเพื่อนๆ รวมหัว มาคิดกัน คิดไม่ออกช่างมัน ไม่เป็นไร ... จากคุณ : ช า ติ - [ 24 ก.พ. 52 00:45:08 ]

ความคิดเห็นที่ 19 ^ เครียดมาทั้งวัน เจอกลอนสดคุณชาติ นับถือ นับถือ เข้าใจคำว่าคณิตกรณ์แล้ว (คณิต+กลอน) จากคุณ : Chirayut - [ 24 ก.พ. 52 01:01:47 ]

ความคิดเห็นที่ 20 ไรไรไร คิดต่อ น่าคิดออก อย่าไปลอก คนอื่นเขา เปนเข้าท่า แฟคทอเรียล นั้นไซร์คือ อะไรนา เอา 1 มา คูณถึง N จึงเห็นทาง อิอิ จากคุณ : Santa_Baby - [ 24 ก.พ. 52 09:18:39 ]

ความคิดเห็นที่ 21 ลองมั่วๆหาช่องไปต่อครับ (3i)! * (3j)! * (3k)! / [ i! * j! * k! * (i + j)! * (j + k)! * (k + i)! ] สมมติ i>j>k จัดรูป           (3i)!             (3j)!               (3k)!               ----------- *   ------------   * -------------               i! (i + j)!       j! (j + k)!          k!(k + i)! เนื่องจาก   nCr = n!/r!(n-r)!    ===>    (2i+j)Ci = (2i+j)!/i!(i+j)! เนื่องจาก 3i > 2i+j  และ  3j > 2j+k ดังนั้น          (3i)! / i! (i + j)!      และ   (3j)! / j! (j + k)!       เป็นจำนวนเต็ม =================================================== ปัญหาอยู่ที่    (3k)! / k!(k + i)!    ซึ่งอาจจะไม่เป็นจำนวนเต็ม เพราะ  3k < 2k+i ตรงนี้ยังคิดไม่ออก ขอพักไว้ก่อน จากคุณ : ช า ติ - [ 24 ก.พ. 52 13:35:57 ]

ความคิดเห็นที่ 22 เจ้าบทเจ้ากลอนกันจริงหนอ ทำหัวร่อวันละนิดจิตแจ่มใส ถึงโจทย์ยากสักหน่อยไม่เป็นไร แล้วจะร้องเพลงชาติไทยให้ใครฟัง ยังนึกวิธีพิสูจน์แบบ induction ไม่ออกเหมือนกันครับ แต่คิดวิธีแบบนับเอาตรง ๆ ได้แล้วครับ กระทู้ก่อน (ผลคูณของ {0..99} กับ {100..199}) ทำให้ผมคิดได้ว่า ในจำนวนตั้งแต่ 0 ถึง n นั้น จะมีจำนวนเฉพาะ p อยู่ทั้งหมดเท่ากับ sum [k=1..inf] |n/pk| (หมายเหตุ: |x| ในที่นี้ หมายถึง floor ของ x หรือการปัดเศษทิ้งนะครับ) ดังนั้น เราสามารถเอามาประยุกต์กับเรื่อง factorial ได้ โดยถ้าเราให้ p เป็นตัวเฉพาะใด ๆ เราจะพบว่าจำนวนตัวประกอบ p ใน 3i! 3j! 3k! >= ที่พบใน i! j! k! (i+j)! (j+k)! (k+i)! เสมอ ซึ่งจะทำให้เราสามารถสรุปได้ว่า i! j! k! (i+j)! (j+k)! (k+i)! เอาไปหาร 3i! 3j! 3k! ได้ลงตัว และนั่นหมายถึง โจทย์มีค่าเป็นจำนวนเต็มเสมอ นั่นเองครับ เราต้องการพิสูจน์ว่า สำหรับจำนวนเฉพาะ p ใด ๆ จำนวนตัวประกอบ p ใน 3i! 3j! 3k! >= ใน i! j! k! (i+j)! (j+k)! (k+i)! เสมอ จำนวนตัวประกอบ p ใน 3i! 3j! 3k! = sum |3i/px| + sum |3j/px| + sum |3k/px| (หมายเหตุ: sum ทุกตัวในที่นี้ เป็น sum (x=1..infinity) นะครับ) จำนวนตัวประกอบ p ใน i! j! k! (i+j)! (j+k)! (k+i)! = sum |i/px| + sum |j/px| + sum |k/px| sum |(i+j)/px| + sum |(j+k)/px| + sum |(k+i)/px| เรามาพิจารณาทีละ case ของ x โดยให้ q = px กัน ให้ i,j,k,a,b,c เป็นจำนวนเต็ม >= 0 และ 0 <= i'<=j'<=k' < q q = ai + i' (หมายเหตุ: i' ก็คือ (q mod i) นั่นเองครับ) q = bj + j' q = ck + k' เราจะพบว่า จำนวนตัวประกอบ q ใน 3i! 3j! 3k! = |3i/q| + |3j/q| + |3k/q| = |3(a+i'/q)| + |3(b+j'/q)| + |3(c+k'/q)| = 3a + |3i'/q| + 3b + |3j'/q| + 3c + |3k'/q| = 3a+3b+3c + |3i'/q| + |3j'/q| + |3k'/q| ทำนองเดียวกัน จำนวนตัวประกอบ q ใน i! j! k! (i+j)! (j+k)! (k+i)! = |i/q| + |j/q| + |k/q| + |(i+j)/q| + |(j+k)/q| + |(k+i)/q| = |a+i'/q| + |b+j'/q| + |c+k'/q| + |a+b+(i'+j')/q| + |b+c+(j'+k')/q| + |c+a+(k'+i')/q| = 3a+3b+3c + |i'/q| + |j'/q| + |k'/q| + |(i'+j')/q| + |(j'+k')/q| + |(k'+i')/q| ดังนั้น ทั้งหมดที่เราตัองพิสูจน์ (เพื่อจะได้สรุปว่าโจทย์ได้จำนวนเต็ม) ก็คือต้องพิสูจน์ว่า |3i'/q| + |3j'/q| + |3k'/q| >= |i'/q| + |j'/q| + |k'/q| + |(i'+j')/q| + |(j'+k')/q| + |(k'+i')/q| เสมอ สำหรับทุก ๆ q = px พิจารณาความจริงพื้นฐานที่ว่า |a/q| + |b/q| <= |a/q + b/q| เสมอ และเนื่องจาก เราให้ 0 <= i' <= j' <= k' < q ดังนั้น |i'/q| + |j'/q| + |k'/q| + |(i'+j')/q| + |(j'+k')/q| + |(k'+i')/q| <= |i'/q| + |j'/q| + |k'/q| + |(2i'+2j'+2k')/q| <= |3i'/q| + |3j'/q| + |3k'/q| เสมอ QED. จากคุณ : ลุงแว่นใจดี - [ 24 ก.พ. 52 19:22:25 ]

ความคิดเห็นที่ 23 ^ ตอนท้าย ๆ อาจจะรวบรัดไปนิดนึง (เพราะเขียนยาวกว่าที่คิดจริง ๆ) ตอนที่เคยคิดไว้ในกระดาษ มันจะดูเคลียร์กว่านี้ แต่ไม่รู้ไปไหนแล้ว (ตอนนั้น พิจารณาทีละคู่ด้วย เช่น ถ้า i'+j' > q อะไรแบบนี้ เป็นต้น) ถ้าต้องการพิสูจน์ให้ดูเป็นขั้นเป็นตอน อาจลองสมมติ j' = i' + m และ k' = j' + n โดยที่ 0 <= m,n < q ก็ได้ครับ น่าจะช่วยให้ยุบรูปใน floor ให้เห็นได้ชัดเจนขึ้น. จากคุณ : ลุงแว่นใจดี - [ 24 ก.พ. 52 19:29:58 ]

ความคิดเห็นที่ 24 #22 close case แล้วน่ะครับ ให้รางวัล 3 give เลยน่ะครับ แหมคุณลุงช่วยไว้จริงๆ ไม่อยากให้เปนกระทู้ปลายเปิด เพราะกระทู้คณิตศาสตร์วันละคำของผมมันจะกลายเปน คณิตศาสตร์สัปดาห์ละคำ อิอิ ขอบคุณทุกท่านน่ะครับ ทุกความพยายาม เด๋วกระทู้ต่อไปผมจะบอกไว้ก่อนด้วยว่า มีเฉลยหรือไม่มีน่ะครับ บางทีอาจทำให้รู้สึกอึดอัด ต้องขออภัยด้วย จากคุณ : Santa_Baby - [ 24 ก.พ. 52 21:59:11 ]

ความคิดเห็นที่ 25 อืม เกินความสามารถของผมจริงๆ ขอแสดงความนับถือ ลุงแว่น และคุณผลึกความคิดครับ จากคุณ : ช า ติ - [ 24 ก.พ. 52 22:26:01 ]

ความคิดเห็นที่ 26 เจอกระดาษที่โน้ตไว้ตอนกลางวันแล้วครับ ท่อนสุดท้าย เคลียร์กว่าใน #22 มาก ขออนุญาตเอามาลงไว้ตรงนี้ เพราะกลัวว่าจะลืมหรือจะทำหายไปไหนอีกน่ะครับ กำหนดให้ 0 <= i' <= j' <= k' < q เราต้องการพิสูจน์ว่า |3i'/q| + |3j'/q| + |3k'/q| >= |i'/q| + |j'/q| + |k'/q| + |(i'+j')/q| + |(j'+k')/q| + |(k'+i')/q| เสมอ สำหรับทุก ๆ q = px เห็นได้ไม่ยากว่า |i'/q| + |j'/q| + |k'/q| + |(i'+j')/q| + |(j'+k')/q| + |(k'+i')/q| = |(i'+j')/q| + |(j'+k')/q| + |(k'+i')/q| (เพราะว่า |i'/q| = |j'/q| = |k'/q| = 0) ดังนั้นการพิสูจน์ก็ลดรูปลงเหลือเพียง พิสูจน์ว่า |3i'/q| + |3j'/q| + |3k'/q| >= |(i'+j')/q| + |(j'+k')/q| + |(k'+i')/q| เป็นจริง วิธีพิสูจน์ เราจะพิจารณาทีละกรณี คือ 1. j'+k' < q 2. j'+k' >= q แต่ k'+i' < q 3. k'+i' >= q (ซึ่งจะทำให้ j'+k' >= q ด้วย) แต่ i'+j' < q 4. i'+j' >= q (ซึ่งจะทำให้ j'+k' >= k'+i' >= q ด้วย) กรณีที่ 1: j'+k' < q จะเห็นว่า |(i'+j')/q| + |(j'+k')/q| + |(k'+i')/q| = 0 + 0 + 0 = 0 เนื่องจาก |3i'/q| + |3j'/q| + |3k'/q| >= 0 ดังนั้น |3i'/q| + |3j'/q| + |3k'/q| >= |(i'+j')/q| + |(j'+k')/q| + |(k'+i')/q| เป็นจริง กรณีที่ 2: j'+k' >= q แต่ k'+i' < q จะเห็นว่า |(i'+j')/q| + |(j'+k')/q| + |(k'+i')/q| = 0 + 1 + 0 = 1 เนื่องจาก 3k'/q >= (k'+2j')/q >= (k'+j')/q >= 1 จึงสรุปได้ว่า |3i'/q| + |3j'/q| + |3k'/q| >= 1 ดังนั้น |3i'/q| + |3j'/q| + |3k'/q| >= |(i'+j')/q| + |(j'+k')/q| + |(k'+i')/q| เป็นจริง กรณีที่ 3: k'+i' >= q (ซึ่งจะทำให้ j'+k' >= q ด้วย) แต่ i'+j' < q จะเห็นว่า |(i'+j')/q| + |(j'+k')/q| + |(k'+i')/q| = 0 + 1 + 1 = 2 ถ้า i' หรือ j' ตัวใดตัวหนึ่ง > q/3 ก็จะทำให้ |3i'/q| + |3j'/q| >= 1 และเนื่องจาก 3k'/q >= (k'+i')/q >= 1 ดังนั้น |3i'/q| + |3j'/q| + |3k'/q| >= 2 แต่ถ้า i' และ j' < q/3 ทั้งคู่ ก็แปลว่า k' > 2q/3 แปลว่า |3i'/q| + |3j'/q| + |3k'/q| = 0 + 0 + 2 = 2 ดังนั้น |3i'/q| + |3j'/q| + |3k'/q| >= |(i'+j')/q| + |(j'+k')/q| + |(k'+i')/q| เป็นจริง กรณีที่ 4: i'+j' >= q (ซึ่งจะทำให้ j'+k' >= k'+i' >= q ด้วย) จะเห็นว่า |(i'+j')/q| + |(j'+k')/q| + |(k'+i')/q| = 1 + 1 + 1 = 3 ถ้า i'+j' >= q แปลว่า j' ต้อง >= q/2 (เพราะ j' > i') ทำนองเดียวกันเราสรุปได้ว่า k' >= q/2 เช่นกัน ดังนั้น |3j'/q| + |3k'/q| >= 2 ปัญหาอยู่ที่ |3i'/q| ซึ่งเราอาจพิจารณาได้เป็น 2 กรณีคือ ถ้า i' >= q/3 เราก็สรุปได้ว่า |3i'/q| + |3j'/q| + |3k'/q| >= 3 แต่ถ้า i' < q/3 ก็จะไปทำให้ j' และ k' > 2q/3 ดังนั้น |3i'/q| + |3j'/q| + |3k'/q| = 0 + 2 + 2 = 4 ดังนั้น |3i'/q| + |3j'/q| + |3k'/q| >= |(i'+j')/q| + |(j'+k')/q| + |(k'+i')/q| เป็นจริง ครบทุกกรณีแล้ว ก็สามารถสรุปได้ว่า |3i'/q| + |3j'/q| + |3k'/q| >= |(i'+j')/q| + |(j'+k')/q| + |(k'+i')/q| เป็นจริงครับ. แก้ไขที่ตัวเองตาลาย. แก้ไขเมื่อ 24 ก.พ. 52 23:22:11 จากคุณ : ลุงแว่นใจดี - [ 24 ก.พ. 52 23:20:09 ]

ความคิดเห็นที่ 27 อิอิ สุดยอดครับ กัดไม่ปล่อยจริงๆ อะไรที่มันติดค้างคาใจ จะไม่ยอมเด็ดขาด คุณสมบัติของคนสู้ปัญหาจริงๆ ครับ ข้าน้อย นับถือ จากคุณ : Santa_Baby - [ 25 ก.พ. 52 02:08:36 ]

ความคิดเห็นที่ 28 กรณีเจอโจทย์แบบนี้และมีเวลาจำกัด ก็หมดเวลาก่อนสิครับ ผมใช้วิธีนี้ เมื่อ i, j และ k ต้องเป็นจำนวนเต็มโดยอาจมีตัวเลขที่เท่ากันได้ สมมุติให้ทั้ง i, j และ k เท่ากับ 1 จะได้ 3!*3!*3! /(1*1*1*2!*2!*2!) ซึ่งเท่ากับ 3*3*3 คือ 27 เป็นจำนวนเต็ม กรณีมีค่าใดค่าหนึงมีค่ามากกว่า 1 สมมุติเป็น kเท่ากับ2 จะได้ 3!*3!*6! /(1*1*2*2!*3!*3!) ซึ่งเท่ากับ 2*3*5*6 คือ 180 เป็นจำนวนเต็ม แค่นี้ก็มองออกแล้วว่ายิ่งkมีค่ามากตัวเศษก็ยิ่งมีตัวคูณมาก ตัวหารก็สามารถหารได้ลงตัวอยู่ดี ดังนั้นไม่ว่ากรณีใดๆที่ i j และk เป็นจำนวนเต็ม ผลที่ได้ย่อมเป็นจำนวนเต็ม จากคุณ : หนุ่มสอนราม (หนุ่มสอนราม) - [ 25 ก.พ. 52 13:04:23 ]

ความคิดเห็นที่ 29 ^ มองออกได้ไว ดีอยู่แล้วครับ ส่วนเทคนิคการแทนค่า หรือเทคนิคคิดลัดอื่น ๆ ก็เป็นเทคนิคที่ดีครับ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นการสอบแบบมี choice แต่ก็ต้องระวังด้วยครับว่า ที่เรามองออกนั้น มันถูกต้องทุกกรณีจริง ๆ (เขาถึงต้องพิสูจน์กัน และก็มีวิธีการพิสูจน์แบบต่าง ๆ เป็นเรื่องเป็นราวกันเลยทีเดียว) อย่างเช่น เราจะมั่นใจได้อย่างไรครับว่า 3i! 3j! 3k! ------------------------------- i! j! k! (i+j)! (i+k)! i! j! k! ได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มเสมอครับ จากคุณ : ลุงแว่นใจดี - [ 25 ก.พ. 52 16:48:11 ]

ความคิดเห็นที่ 30 กลับมาคุยต่ออีกนิดนึงนะครับ เกรงว่าคุณหนุ่มสอนรามจะเข้าใจผิด เพราะเห็นว่าเงียบไป อยากจะออกตัวว่า ปกติผมเองก็ไม่ค่อยถนัดเรื่องการพิสูจน์เท่าไรนัก และส่วนใหญ่แล้ว ผมก็ใช้วิธีลัดเหมือนกันครับ เวลาอยากได้คำตอบเร็ว ๆ (อย่างเช่น การแทนค่าด้วยจำนวนเต็มน้อย ๆ บ้าง หรือการวาดภาพบ้าง) หรือบางทีขี้เกียจ ก็ใช้วิธีมอง ๆ เอา (แล้วก็เลยพลาดอยู่บ่อย ๆ) ก็เลยต้องคอบเตือนตัวเองครับว่า คำตอบนั้น เป็นคำตอบในชั้นต้นเท่านั้น เรายังไม่ได้ลงมือคิดจริง ๆ ให้รอบคอบ ก็ต้องเผื่อใจด้วยว่า มันอาจจะผิดก็ได้ อย่างนึงที่ผมพบอยู่บ่อย ๆ (โดยเฉพาะน้อง ๆ ที่จบวิศวฯ) คือ หลายคนเมื่อหาคำตอบแรกได้แล้ว มักจะหยุด และ(ด่วน)สรุปว่า เราได้คำตอบแล้ว ซึ่งหลายครั้ง มันจะยังไม่ใช่ หรือถ้าใช่ ก็อาจจะใช่เพียงบางส่วน (ถ้าเปรียบกับการเขียนโปรแกรม ก็คือลืมคิด exception cases นั่นเองครับ) ซึ่งถ้าเป็นเรื่องคณิตศาสตร์ บางที intuition ของเราก็พลาดได้เหมือนกัน นักคณิตศาสตร์แท้ ๆ เขาก็เลยต้องใช้วิธีพิสูจน์กัน จะได้ไม่พลาดไงครับ ผมเอง ถึงจะไม่ได้เป็นนักคณิตศาสตร์อะไรกับเขา แต่ก็ชื่นชมคนที่คิดหาวิธีพิสูจน์ในแบบที่บางทีเราก็นึกไม่ถึงครับ (ไม่ได้หมายถึงโจทย์ข้อนี้นะครับ) การคิดได้เร็ว มองปัญหาออก ดีอยู่แล้วล่ะครับ แต่ก็อยากให้รอบคอบกันด้วย จะได้ไม่พลาดโดน (intuition) ตัวเองหลอกเอาครับ. จากคุณ : ลุงแว่นใจดี - [ 26 ก.พ. 52 00:24:58 ]