ความคิดเห็นที่ 1 อยากใช้ Matlab จากคุณ : Duk_Dik_Kung - [ 26 ก.พ. 52 20:59:51 ]

ความคิดเห็นที่ 2 ไม่ต้องใช้ MATLAB ก็ได้ ผมอดใจไม่ไหว จิ้ม Maxima รู้คำตอบไปแล้วครับ จากคุณ : ลุงแว่นใจดี - [ 26 ก.พ. 52 21:01:18 ]

ความคิดเห็นที่ 3 ผม search google เจอเหมือนกัน เค้าคำนวณมาทุกตัวเลย ยาว 39,000+ ตำแหน่ง จากคุณ : Santa_Baby - [ 26 ก.พ. 52 21:06:14 ]

ความคิดเห็นที่ 4 ถ้าไม่ใช้คอมฯ จะคิดยังไงดี ตอนนี้ยังคิดวิธีเป๊ะ ๆ ไม่ออก แต่มีแนวทางพื้นฐานคือแยกตัวประกอบเฉพาะของ 10000! แล้วดูว่ามี 5 กี่ตัว หัก 2 ออกด้วยจำนวนที่เท่ากัน สมมติว่า 10000! มี 5 เป็นตัวประกอบ n ตัว เลขแรกจากท้ายที่ไม่ใช่ 0 ของ 10000! = (10000!/(5222)) mod 10 เราอาจพิจารณาได้ว่า จำนวนเฉพาะนอกจาก 2 ต้องเป็นเลขคี่ทั้งหมด เลขคี่ทั้งหลายคูณกันเอง จะได้เลขคี่ เอามาคูณกับ 2 ที่ยังเหลืออยู่ แปลว่าจะต้องเป็น 2,4,6,8 อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ขอพักไว้เพียงเท่านี้ ที่เหลือฝากท่านอื่น ๆ คิดต่อก็แล้วกันครับ. จากคุณ : ลุงแว่นใจดี - [ 26 ก.พ. 52 21:07:57 ]

ความคิดเห็นที่ 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 คูณกันลงท้ายได้ 8 1-10000 มีตัวลงท้ายด้วย 1-0 1000 ชุด 8^1000 8^1 ลงท้ายด้วย 8 8^2 ลงท้ายด้วย 4 8^3 ลงท้ายด้วย 2 8^4ลงท้ายด้วย 6 8^5 ลงท้ายด้วย 8 วน 8^1000 ,1000 หาร 4 ลงตัว เพราะฉะนั้น 10k! ลงท้ายด้วย 6 ครับ จากคุณ : silverfox - [ 26 ก.พ. 52 21:24:40 A:125.24.127.124 X: TicketID:185555 ]

ความคิดเห็นที่ 6 ต่อจาก #5 นะครับ 10k! ลงท้ายด้วย 6 คูณ ตัวลงท้ายสุดท้ายของ 1000! 1000! ตัวลงท้ายด้วย 6 คูณตัวลงท้ายของ 100! 100! ตัวลงท้ายด้วย 6 คูณตัวลงท้ายของ 10! เพราะฉะนั้น 10000! ลงท้าย ที่ไม่ใช่ 0 คือเลข 8 ครับ จากคุณ : silverfox - [ 26 ก.พ. 52 21:50:08 A:125.24.99.98 X: TicketID:185555 ]

ความคิดเห็นที่ 7 เมื่อไหร่คุณ silverfox จะมีอมยิ้มล่ะครับ จะได้ให้ give ได้น่ะครับ จากคุณ : Santa_Baby - [ 26 ก.พ. 52 21:57:38 ]

ความคิดเห็นที่ 8 คุณ silverfox ยอดไปเลย จากคุณ : ZOHAN - [ 26 ก.พ. 52 22:04:12 ]

ความคิดเห็นที่ 9 เยี่ยมครับ ขอรบกวนคุณ silverfox ช่วยดู 1000! ว่าเป็นเลขอะไรครับ จากคุณ : ช า ติ - [ 26 ก.พ. 52 22:09:23 ]

ความคิดเห็นที่ 10 1000! ลงท้ายด้วย 2 ครับ คุณชาติ  (ขอแก้ไขนิดนึงครับ 1000! ลงท้ายด้วย 2) แต่คุณ silverfox ช่วยอธิบายละเอียดนิดนึงได้ไหมครับ ใน #6 น่ะครับ แก้ไขเมื่อ 27 ก.พ. 52 10:34:50 จากคุณ : Santa_Baby - [ 26 ก.พ. 52 22:30:33 ]

ความคิดเห็นที่ 11 ดูเหมือนผมจะคิดผิดครับ ขออภัยด้วย จากคุณ : silverfox - [ 26 ก.พ. 52 22:46:33 A:192.168.0.17 X:125.24.146.195 TicketID:185555 ]

ความคิดเห็นที่ 12 ผมดูวิธีคิดของคุณ silverfox ก็เหมือนถูกนะครับ 10000! ก็ได้ 8 จริง แต่พอคิด 1000! ก็ได้ 8 เหมือนกัน แต่ความจริงได้ 2 ยังงงอยู่เหมือนกันครับ ว่าตรงไหนที่ผิดไป จากคุณ : ช า ติ - [ 26 ก.พ. 52 22:50:07 ]

ความคิดเห็นที่ 13 ตรงนี้ครับ ลืมคิด x2 คูณ x5 เข้าไปด้วย 1 8 5 2 9 6 3 4 7 4 ลองดูเฉพาะ 1-10 กับ 11 ถึง 20 ก็ได้ครับ จากคุณ : silverfox - [ 26 ก.พ. 52 22:58:26 A:192.168.0.17 X:125.24.127.124 TicketID:185555 ]

ความคิดเห็นที่ 14 ไม่ใช่ครับ จุดที่ผิดคือ 1 2 3 4 5 6 7 8 9  คูณกันลงท้ายได้ 8 1-10000 มีตัวลงท้ายด้วย 1-9 1000 ชุด สิ่งที่ขาดไป คือ ชุด 0 1 ตัว 10 20 30 40 50 60 70 80 90 110 120 ...............190 210 ...................290 ... ... 9910 9920 คือ 1-9 อีก 100 ชุด ชุด 0 2ตัว 100 200 .... 900 1100 1200 ....1900 ... ... 9100 9200 ....9900 อีก 10 ชุด ชุด 0 3 ตัว 1000 2000 ...9000 อีก 1 ชุด มีชุด 1-9 เพิ่มอีก 111 ชุด รวม มีชุด 1-9 1111 ชุด แก้ไขเมื่อ 26 ก.พ. 52 23:20:26 แก้ไขเมื่อ 26 ก.พ. 52 23:18:20 แก้ไขเมื่อ 26 ก.พ. 52 23:15:09 จากคุณ : ช า ติ - [ 26 ก.พ. 52 23:11:12 ]

ความคิดเห็นที่ 15 ไม่ใช่ครับพวกนั้นผมแก้แล้วใน #6 แต่มีจุดผิดเพิ่ม นั่นคือ 2x5 = 1 12x15 = 8 22x25 = 5 32x35 = 2 42x45 = 9 52x55 = 6 62x65 = 3 72x75 = 4 82x85 = 7 92x95 = 4 ทำให้ผลลัพธ์ชุดอื่นๆไม่เท่ากัน ครับ 1 8 5 2 9 6 3 4 7 4 = 2 จากคุณ : silverfox - [ 26 ก.พ. 52 23:13:25 A:125.24.127.124 X: TicketID:185555 ]

ความคิดเห็นที่ 16 จริงตามคุณ silverfox ครับ แต่กรณีคูณด้วย 5 ยังมีปัญหาอีก 11*...*19 = 33522128640 21*...*29 = 3634245014400 จากคุณ : ช า ติ - [ 26 ก.พ. 52 23:52:47 ]

ความคิดเห็นที่ 17 1 8 5 2 9 6 3 4 7 4 ต้องแยกอีก 22x25x32x35 = 6 122x125x132x135 = 5 222x225x232x235 = 4 322x325x332x335 = 3 422x425x432x435 = 2 5...1 6...5 7...9 8...8 9...7 = 8 เพราะฉะนั้นคิดแค่ 1 8 9 6 3 4 7 4 = 2 2^100 = 6xตัวสุดท้าย 10! ไปรวมกับ 1x3x4x6x7x8x9 4^1000 = 6xตัวสุดท้าย 1000! ตัวสุดท้ายของ 1000! ตามคุณชาติได้ 2 เพราะฉะนั้น 10k! = 6x8xตัวสุดท้าย 10!x6xตัวสุดท้าย 1000! 10k! = 6x8x8x6x2 = 8 น่าจะมีจุดที่แตกต่างอีกหลายจุด ทำให้ต้องแก้อีก ขอตัวไปอ่านหนังสือสอบก่อนครับ จากคุณ : silverfox - [ 26 ก.พ. 52 23:57:57 A:125.24.127.124 X: TicketID:185555 ]

ความคิดเห็นที่ 18 ^ พิมพ์ผิดอีกแล้ว ต้องเป็น 8 ไม่ใช่ 4 ตอนนี้ 1x3x4x6x7x8x9 = 8 11x13x14x16x17x18x19 = 8 21x23x24x26x27x28x29 = 8 . . 991x993x994x996x997x998x999 = 8 แล้วครับ จากคุณ : silverfox - [ 27 ก.พ. 52 00:13:19 A:125.24.127.124 X: TicketID:185555 ]

ความคิดเห็นที่ 19 สรุปใหม่ ตัวสุดท้าย 10k! = ตัวสุดท้าย(8xตัวสุดท้าย(2^100)xตัวสุดท้าย(4^1000)) ตัวสุดท้าย(2^100) = 6xตัวสุดท้าย10! ตัวสุดท้าย(4^1000) = 6x1000! ตัวสุดท้าย1000! = 2 (ลอกคุณชาติ^^) ตัวสุดท้าย10! = 8 ตัวสุดท้าย 10k! = ตัวสุดท้าย(8x6x8x6x2) = 8 ยังไม่ชัวร์ ฝากคนอื่นๆ ช่วยดูครับ พรุ่งนี้ผมขอแก้ตัวอีกทีนึงครับ จากคุณ : silverfox - [ 27 ก.พ. 52 00:19:55 A:125.24.127.124 X: TicketID:185555 ]

ความคิดเห็นที่ 20 คุณ silverfox ถ้าแน่จริง สมัคร login มาเลย อย่าใช้บัตรผ่านสิ โด่เอ๊ย ผมจะได้ให้ Give  ^_^ จากคุณ : mohicann - [ 27 ก.พ. 52 01:03:33 ]

ความคิดเห็นที่ 21 ปัญหาอยู่ที่เลข 5 ทางแก้ ต้องกำจัดเลข 5 ออกไป โดยหาเลขมาคูณ ผมพบระเบียบการคูณดังนี้ 5 2 10 1 15 4 60 6 25 0 35 12 420 2 45 14 630 3 55 22 1210 1 65 24 1560 6 75 0 85 32 2720 2 95 34 3230 3 105 42 4410 1 115 44 5060 6 125 0 135 52 7020 2 145 54 7830 3 155 62 9610 1 165 64 10560 6 175 0 0 185 72 13320 2 195 74 14430 3 เลขที่ลงท้ายด้วย 5 เมื่อนำมาคูณด้วยเลขที่ลงท้ายด้วย 2 และ 4 จะให้ผลลัพธ์ที่ลงท้ายด้วย 2 3 1 6 เป็นวงรอบ เลขที่ลงท้ายด้วย 5 ทุก 5 ตัว จะให้ผลลัพธ์นี้ 4 ตัว เลขที่ไม่ให้ผลนี้ คือ 25 ,75,125,175 ,... หรือ 25*(1,3,5,7,9,11,13,15,...) จากคุณ : ช า ติ - [ 27 ก.พ. 52 01:27:17 ]

ความคิดเห็นที่ 22 เลข 5 ที่ต้องกำจัด มีดังนี้ ชุดลงท้ายด้วย 5 5,15,25,35,45...,95 105,115,125,...,195 205,...........,295 ... 9905,..........,9995 ชุดนี้มี 1000 ตัว ชุดที่ลงท้ายด้วย 50 50,150,250,.........,950 1050,1150,1250.....,1950 .... 9050,9150,9250,....,9950 ชุดนี้มี 100 ตัว ชุดที่ลงท้ายด้วย 500 500,1500,2500,...,9500 ชุดนี้มี 10 ตัว ชุดที่ลงท้ายด้วย 5000 มีตัวเดียว รวม 1111 ตัว แก้ไขเมื่อ 27 ก.พ. 52 01:39:38 จากคุณ : ช า ติ - [ 27 ก.พ. 52 01:33:50 ]

ความคิดเห็นที่ 23 ชุดแรก 1000 ตัว กำจัดได้ 800 ตัว คือ 5,15,35,45,55,....9965,9985,9995 โดยใช้เลข 2 กับเลข 4 ไปอย่างละ 400 ตัว จะให้ผลลัพธ์เป็นผลคูณของ 2316 จำนวน 200 ครั้ง นั่นคือ จะได้เลขท้ายเป็น 6 ที่ยังกำจัดไม่ได้ คือ 25*(1,3,5,7,9,11,13...)รวม 200 ตัว ชุดที่ 2 100 ตัว กำจัดได้ 80 ตัว โดยคูณด้วยเลขที่ลงท้ายด้วย 2 และ 4 ให้ผลลัพธ์ ลงท้ายด้วย 6  ใช้ 2 และ 4 ไปอย่างละ 40 ตัว ที่ยังกำจัดไม่ได้ 20 ตัว คือ 250,750,1250,1750,...,9250,9750 หรือ 10*25*(1,3,5,7,...,39) ชุดที่ 3 10 ตัว กำจัดได้ 8 ตัว ให้ผลลัพธ์ลงท้ายด้วย 6 ใช้ 2 และ 4 ไปอย่างละ 4 ตัว เหลือที่ยังกำจัดไม่ได้ 2 ตัว คือ 2500 กับ 7500 ชุดที่ 4 กำจัดได้ เอาไว้เลือกตัวคูณทีหลัง ดึกเกินไปแล้ว พักดีกว่า แก้ไขเมื่อ 27 ก.พ. 52 01:53:09 จากคุณ : ช า ติ - [ 27 ก.พ. 52 01:52:05 ]

ความคิดเห็นที่ 24 จำได้ว่าเคยเขียนโปรแกรม คิดอย่างนี้ a = นับจำนวน 2 ใน n! b = นับจำนวน 5 ใน n! c = (ผลคูณของตัวประกอบที่ไม่ใช่ 2 และไม่ใช่ 5 ใน n!) mod 10 b <= a แน่ๆ  (b=a เมื่อ n<=1; b<a เมื่อ n>1) n! มี 10 เป็นตัวประกอบอยู่ b ตัว หรือพูดอีกอย่างว่า มี 0 ข้างท้ายอยู่ b ตัว ต้องการหาค่า x = (n!/10^b) mod 10 x = (2^(a-b) * c ) mod 10 ทีนี้ลองมาคิดกันแบบธรรมดาๆ ไม่ต้องใช้โปรแกรมเฉพาะ ใช้แค่เครื่องคิดเลข+คอมใช้ทดเลขเท่านั้น count number in range 1..10000 that is divisible by 2^i*5^j = [10000/((2^i)(5^j))] _ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 10000 5000 2500 1250 625 312 156 78 39 19 9 4 2 1 0 1 2000 1000 500 250 125 62 31 15 7 3 1 0 2 400 200 100 50 25 12 6 3 1 0 3 80 40 20 10 5 2 1 0 4 16 8 4 2 1 0 5 3 1 0 6 0 จำนวนตัวประกอบ 2 = sum (i=1..infinity) [10000/(2^i)] = 5000+2500+1250+625+312+156+78+39+19+9+4+2+1 = 9995 จำนวนตัวประกอบ 5 = sum (j=1..infinity) [10000/(5^j)] = 2000+400+80+16+3 = 2499 10 เกิดจาก 2*5 ดังนั้น 10000! มีตัวประกอบ 10 จำนวน 2499 ตัว คือ มี 0 ต่อท้าย 2499 ตัว ถ้าเราเอา 10^2499 หาร 10000! ซะ แล้วหาเลขหลักหน่วยของผลหารนี้ก็จะได้คำตอบ ตัวประกอบ 5 ใช้ไปหมดแล้ว 2499 ตัว ตัวประกอบ 2 ใช้ไป 2499 ตัว เหลือ 7496 ตัว หาหลักหน่วยของผลคูณของมัน 2^4 mod 10 = 6 6*6 mod 10 = 6 4 | 7496 ดังนั้น 2^7496 mod 10 = (2^4)^จำนวนเต็ม mod 10 = 6 ทีนี้ก็เหลือตัวประกอบอื่นๆ นอกจาก 2 กับ 5 จำนวนที่ไม่มี 2 และ 5 เป็นตัวประกอบ ได้แก่  1,3,7,9, 11,13,17,19, 21,23,27,29, ... เพื่อความสะดวกของตั้งชื่อ set A = { 1,3,7,9, 11,13,17,19, 21,23,27,29 ... } 1*3*7*9 mod 10 = 9 11*13*17*19 mod 10 = 1*3*7*9 mod 10 = 9 21*23*27*29 mod 10 = 1*3*7*9 mod 10 = 9 9*9 mod 10 = 1 จำนวนในช่วง 1..10000 ที่เป็นสมาชิกของ set A ได้แก่ 1,3,7,9, 11,13,17,19, ..., 9999 หลักหน่วยของผลคูณ 1*3*7*9*11*13*17*19 ... 9999 mod 10 = (1*3*7*9)^1000 mod 10 = 9^1000 mod 10 = 1 จำนวนในช่วง 1..10000 ที่ 2^1*5^0 หารลงตัว เมื่อเอา 2^1*5^0 หาร แล้วก็จะเหลือ 1..5000 จำนวนในช่วง 1..5000 ที่เป็นสมาชิกของ set A ได้แก่ 1,3,7,9, 11,13,17,19, ..., 4999 หลักหน่วยของผลคูณ = 9^500 mod 10 = 1 จำนวนในช่วง 1..10000 ที่ 2^2*5^0 หารลงตัว เมื่อเอา 2^2*5^0 หาร แล้ว ผลหารที่เป็นสมาชิกของ set A ได้แก่ 1,3,7,9, 11,13,17,19, ..., 2499 หลักหน่วยของผลคูณ = 9^250 mod 10 = 1 จำนวนในช่วง 1..10000 ที่ 2^0 5^1 หารลงตัว เมื่อเอา 5 หาร แล้วก็จะเหลือ 1..2000 จำนวนในช่วง 1..5000 ที่เป็นสมาชิกของ set A ได้แก่ 1,3,7,9, 11,13,17,19, ..., 1999 หลักหน่วยของผลคูณ = 9^500 mod 10 = 1 หาหลักหน่วยผลคูณของ เลขใน set A ที่มีค่าไม่เกินเลขแต่ละตัวในตารางข้างบนนั่นแหละ 1 mod 10 = 1 1*3 mod 10 = 3 1*3*7 mod 10 = 1 1*3*7*9 mod 10 = 9 1*3*7*9*11 mod 10 = 9 1*3*7*9*11*13 mod 10 = 7 1*3*7*9*11*13*17 mod 10 = 9 1*3*7*9*11*13*17*19 mod 10 = 1 มันวนกลับมาที่เดิม ทุก 20 ตัว หาผลคูณหลักหน่วยของเลขใน set A ที่้ไม่เกินเลขแต่ละตัวในตาราง [10000/(2^i)(5^j)] ข้างบน หาวิธีลัดโดยเอาในเลข [10000/(2^i)(5^j)] มาหารด้วย 20 ดูว่าเหลือเศษเท่าไร เศษ 0-2, 7-8, 19  ผลคูณหลักหน่วย = 1 เศษ 3-6             ผลคูณหลักหน่วย = 3 เศษ 9-12, 17-18 ผลคูณหลักหน่วย = 9 เศษ 13-16         ผลคูณหลักหน่วย = 7 ได้ผลดังนี้ _ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 10000#1 5000#1 2500#1 1250#9 625#3 312#9 156#7 78#9 39#1 19#1 9#9 4#3 2#1 1#1 1 2000#1 1000#1 500#1 250#9 125#3 62#1 31#9 15#7 7#1 3#3 1#1 2 400#1 200#1 100#1 50#9 25#3 12#9 6#3 3#3 1#1 3 80#1 40#1 20#1 10#9 5#3 2#1 1#1 4 16#7 8#1 4#3 2#1 1#1 5 3#3 1#1 เอาผลคูณหลักหน่วยทั้งหมดในตารางมาคูณกัน 3^10 * 7^3 * 9^9 mod 10 = 9^14 * 7^3 mod 10 = 1 * 7^3 mod 10 = 3 เอาผลคูณหลักหน่วยของ 2 ที่เหลือ * ผลคูณหลักหน่วยของตัวประกอบอื่นนอกจาก 2 กับ 5 6*3 mod 10 = 8 ตอบ 8 แก้ไขเมื่อ 27 ก.พ. 52 13:28:04 แก้ไขเมื่อ 27 ก.พ. 52 02:33:36 จากคุณ : ผลึกความคิด - [ 27 ก.พ. 52 01:57:23 ]

ความคิดเห็นที่ 25 วิธีเดิม แต่เรียบเรียงใหม่ครับ 1-9999 มีเลขที่ลงท้ายด้วย 1-9 อย่างละ 1111 ตัว (ไม่รวม 0) เรามุ่งกำจัดเลข 5 โดยหาตัวคูณ ครั้งแรก คูณด้วยเลขที่ลงท้ายด้วย 2 และ 4 จะได้ผลลัพธ์ที่ลงท้ายด้วย 2 3 1 6 ซึ่งเมื่อคูณกัน จะลงท้ายด้วย 6 วิธีนี้กำจัดเลข 5 ได้ดังนี้ ชุดที่ลงท้ายด้วย 5 กำจัดได้  800 ตัว ใช้  2 และ 4 ไปอย่างละ 400 ชุดที่ลงท้ายด้วย 50 กำจัดได้ 80 ตัว ใช้ 2 และ 4 ไปอย่างละ 40 ชุดที่ลงท้ายด้วย 500 กำจัดได้ 8 ตัว ใช้ 2 และ 4 ไปอย่างละ 4 สรุปใช้ 2 และ 4 ไปแล้วอย่างละ 444 ตัว เหลือ 2 และ 4 ให้ใช้อีกอย่างละ 667 ตัว ยังเหลือเลข 5 ที่ยังไม่กำจัด คือ 25, 75, 125, 175, 225,...,9975  รวม 200 ตัว 250,750, 1250,...........,9750  รวม 20 ตัว 2500 , 7500                     รวม 2 ตัว 5000                            รวม 1 ตัว จากคุณ : ช า ติ - [ 27 ก.พ. 52 11:16:13 ]

ความคิดเห็นที่ 26 เลข 5 ที่เหลือ คือ 25, 75, 125, 175, 225,...,9975  25, 75, 125, 175, 225,...,9975  รวม 200 ตัว 250,750, 1250,...........,9750  รวม 20 ตัว 2500 , 7500                     รวม 2 ตัว 5000                            รวม 1 ตัว เอามาเขียนใหม่ได้ดังนี้ 25*(1,3,5,7,9,11,13,15,17,...,399) รวม 200 ตัว 10*25*(1,3,5,7,...,39) รวม 20 ตัว 100*25,100*25*3  รวม 2 ตัว 1000*5   รวม 1 ตัว ถ้าเราแยก เลข 25 ออกมาเป็นดังนี้ 25 200ตัว (1,3,7,9)40ชุด (5,15,25,35,...,395)1ชุด 10*25 20ตัว  (1,3,7,9)4ชุด (5,15,25,35)1 ชุด 100*25 2ตัว (1,3)1ชุด 1000*5 1ตัว เขียนใหม่อีกได้ดังนี้ 5 400ตัว  (1,3,7,9)40ชุด  (5,15,25,35,...,395)1ชุด 5 40ตัว   (1,3,7,9)4ชุด  (5,15,25,35)1 ชุด (เลข 10 ไม่มีผล ตัดไปเลย) 5 4ตัว    (1,3)1ชุด 5 1 ตัว **************************************** (5,15,25,35,...,395) เอามาแยกได้ดังนี้ 5*(1,3,5,7,9,11,13,...,79) 40ตัว 5 40 ตัว (1,3,7,9)8ชุด (5,15,25,...,75) 5 40 ตัว (1,3,7,9)8ชุด  5 8ตัว  (1,3,5,...,19) 5 40 ตัว (1,3,7,9)8ชุด  5 8ตัว  (1,3,7,9) 2ชุด (5,15) 5 40 ตัว (1,3,7,9)8ชุด  5 8ตัว  (1,3,7,9) 2ชุด 5*(1,3) (5,15,25,35,...,395) เอามาแยกได้ 5 49 ตัว (1,3,7,9)10ชุด  (1,3) 1ชุด ************************* (5,15,25,35)1 เอามาแยกได้ดังนี้ 5*(1,3,5,7) 5 5ตัว (1,3,7) 1ชุด (1,3,7)ให้ผลคูณเป็น 1 ตัดทิ้งได้เลย ******************************************** เลข 5 ที่เหลือ คือ 25, 75, 125, 175, 225,...,9975  25, 75, 125, 175, 225,...,9975  รวม 200 ตัว 250,750, 1250,...........,9750  รวม 20 ตัว 2500 , 7500                     รวม 2 ตัว 5000                            รวม 1 ตัว เอามาแยกได้ดังนี้ 5 400ตัว  (1,3,7,9)40ชุด   5 40ตัว   (1,3,7,9)4ชุด   5 4ตัว    (1,3)1ชุด 5 1 ตัว (5,15,25,35,...,395)1ชุด (5,15,25,35)1 ชุด เขียนใหม่ได้ว่า 5 400ตัว  (1,3,7,9)40ชุด   5 40ตัว   (1,3,7,9)4ชุด   5 4ตัว    (1,3)1ชุด 5 1 ตัว 5 49 ตัว (1,3,7,9)10ชุด  (1,3) 1ชุด 5 5ตัว สรุป 3 2ตัว  5 499 ตัว  (1,3,7,9)54ชุด แก้ไขเมื่อ 27 ก.พ. 52 13:13:52 แก้ไขเมื่อ 27 ก.พ. 52 12:55:52 แก้ไขเมื่อ 27 ก.พ. 52 12:01:47 จากคุณ : ช า ติ - [ 27 ก.พ. 52 11:31:59 ]

ความคิดเห็นที่ 27 ตอนนี้เหลือ 2,4 อย่างละ 667 ตัว 3,6,7,8,9  อย่างละ 1111 ตัว 3 2 ตัว  5 499ตัว  (1,3,7,9)54ชุด   --------------------------------------------- ผมพบว่า เลข 5 เมื่อคูณกับเลขที่ลงท้ายด้วย 2 จะให้ผลลัพธ์ที่ลงท้ายด้วย 1 หรือ 6 ซึ่งทั้ง 1 และ 6 มีคุณสมบัติพิเศษ คือ เมื่อคูณกับเลขคู่ จะให้ผลลัพธ์ที่ลงท้ายด้วยเลขคู่ตัวเดิม ดังนั้น ผมใช้ 2 อีก 499 ตัว มาคูณกับ 5 ที่เหลือ จะได้ผลลัพธ์ที่มีผลคูณลงท้ายด้วย 6 ตอนนี้เหลือ 2 168 ตัว 3 2 ตัว 4 667 ตัว 3,6,7,8,9  อย่างละ 1111 ตัว (1,3,7,9)54ชุด   ************************************************** เนื่องจาก 3*6*7*8*9 = 9072 จึงใช้เลข 2 แทน ชุด 3,6,7,8,9 ได้ เนื่องจาก 1*3*7*9 = 189 จึงใช้ 9 แทนชุด 1,3,7,9 ได้ ************************************************** ตอนนี้เหลือ 2 168 ตัว 3 2 ตัว 4 667 ตัว = 2 1334 ตัว 2 1111 ตัว 9 54 ตัว = 3 108 คัว   สรุป 2 2613 ตัว 3 110 ตัว *********************** นั่นคือ 10000! มีเลขท้ายที่ไม่ใช่ 0 เหมือนกับ 2^2613*3^110 2^2613 ลงท้ายด้วย 2 3^110 ลงท้ายด้วย 9 คำตอบ คือ 8 *************************************** โจทย์ข้อนี้ต้องใช้ความละเอียดมากทีเดียว แก้ไขเมื่อ 27 ก.พ. 52 13:34:27 จากคุณ : ช า ติ - [ 27 ก.พ. 52 11:41:05 ]

ความคิดเห็นที่ 28 ใน #24 ผมเขียนผิด เขียนว่า จำนวนตัวประกอบ 2 = sum (i=1..infinity) i * [10000/(2^i)] จำนวนตัวประกอบ 5 = sum (j=1..infinity) j * [10000/(5^j)] ตอนแรกผมคิดอย่างนี้ เลข 1...10000 ทุกๆ 2 ตัว จะมีเลขที่ 2 หารลงตัว อยู่ 1 ตัว -> นับจำนวนตัวประกอบ 2 ได้ตัวละ 1 เลข 1...10000 ทุกๆ 2^2 ตัว จะมีเลขที่ 2^2 หารลงตัว อยู่ 1 ตัว -> นับจำนวนตัวประกอบ 2 ได้ตัวละ 2 เลข 1...10000 ทุกๆ 2^3 ตัว จะมีเลขที่ 2^3 หารลงตัว อยู่ 1 ตัว -> นับจำนวนตัวประกอบ 2 ได้ตัวละ 3 แต่นับอย่างนี้มันผิดเพราะนับเลขตัวเดิมซ้ำ เช่น 8=2^3 จะนับได้ 1+2+3=6 ที่จริงควรจะนับได้แค่ 3 ดังนั้นจึงแก้ใหม่เป็น เลข 1...10000 ทุกๆ 2 ตัว จะมีเลขที่ 2 หารลงตัว อยู่ 1 ตัว -> นับตัวละ 1 เลข 1...10000 ทุกๆ 2^2 ตัว จะมีเลขที่ 2^2 หารลงตัว อยู่ 1 ตัว -> นับเพิ่มอีกตัวละ 1 (รวมเป็น 2) เลข 1...10000 ทุกๆ 2^3 ตัว จะมีเลขที่ 2^3 หารลงตัว อยู่ 1 ตัว -> นับเพิ่มอีกตัวละ 1 (รวมเป็น 3) สูตรที่ถูกคือ ใน 10000! มีจำนวนตัวประกอบ 2 = sum (i=1..infinity) [10000/(2^i)] มีจำนวนตัวประกอบ 5 = sum (j=1..infinity) [10000/(5^j)] เดี๋ยวผมไปแก้ใน #24 ด้วย จากคุณ : ผลึกความคิด - [ 27 ก.พ. 52 13:26:33 ]

ความคิดเห็นที่ 29 คุณลุงแว่นเปิดเกมส์ได้สวยงามมาก จากนั้นคุณ silverfox กับ คุณชาติ ก็ทำให้เกมส์นี้น่าติดตามทุกตัวอักษร คุณผลึกความคิด ฉีกแนวมาแต่ก็สุดยอดเหมือนกัน สรุป ขอปรบมือให้ทุกท่านน่ะครับ ทั้งที่โพสท์และไม่ได้โพสท์ อย่างน้อยท่านก็คนได้ลองคิดอยู่ในใจอย่างแน่นอนผมเชื่ออย่างนั้น รูปข้างล่างเป็นเฉลยน่ะครับ จากคุณ : Santa_Baby - [ 27 ก.พ. 52 14:54:00 ]

ความคิดเห็นที่ 30 รบกวนคุณ Santa_Baby ช่วยอธิบายรูปในคห.29 ครับ ผมไม่คุ้นเคยกับสัญลักษณ์เหล่านี้ จากคุณ : ช า ติ - [ 27 ก.พ. 52 15:41:23 ]

ความคิดเห็นที่ 31 ตายล่ะ คุณชาติ ผมก็ไม่ค่อยเข้าใจน่ะครับ บอกตามตรง เด๋วจะพยายามดูน่ะครับ ใครเข้าใจเฉลยมาช่วยอธิบายหน่อยก็จะดีน่ะครับ จากคุณ : Santa_Baby - [ 27 ก.พ. 52 15:47:11 ]

ความคิดเห็นที่ 32 เครื่องหมายในสมการแรกนั้นเรียกว่า product ครับ หรือ pi มันจะคล้ายๆกับ sigma น่ะครับ แต่ sigma จะเป็นการบวก หรือ summation แต่สำหรับ product จะเป็นการคูณน่ะครับ อย่างเช่น ืn! = n*(n-1)*...1 สามารถเขียนแทนด้วย   product(n=1 to n) n ในเฉลยเนี่ย เค้าบอกว่า (5n)! เนี่ยจะเท่ากับ ด้านขวา อันนี้ผมเข้าใจก็ไม่มีอะไร เอา i แทนเข้าไป ก็จะได้ 1*2*3*4 * 6*7*8*9 * (5n-4)(5n-3)(5n-2)(5n-1) หารด้วย 2^n สังเกตว่า 5 , 10 ,15 ,20 ... n จะหายไป จริงๆ แล้วมันไม่หาย พิจารณาจาก 10^n * n! = 2^n * 5^n * n! 2^n มันจะดัดกันหายไป ส่วน 5^n * n! ก็คือ พจน์ที่หายไปของ (5n!) สมการนี้มันจึงเป็นจริง คำถามคือแล้วทำไมต้องเขียนอย่างนี้ล่ะ บรรทัดต่อมาเค้าบอกว่า f(5n) congruence กับ 2^n f(n) mod 10 เครื่องหมายเท่ากับที่มีสามขีดนั้นก็คือ congruence นิยามของ congruence บอกว่า a congruence b mod m แล้ว จะมี k ซึ่งเปน integer ซึ่ง a - b = k*m ตั้งแต่บรรทัดนี้ลงไปผมไม่ค่อยเข้าใจแล้วน่ะครับ ไว้รอคุณลุงแว่นมาสาธยายให้ดีกว่าน่ะครับ ผมพูดไปเดี๋ยวจะยิ่งทำให้สับสนกันน่ะครับ คุณลุงแว่นครับ งานเข้าครับ ช่วยหลานๆด้วยครับ ขอบคุณครับ แก้ไขเมื่อ 27 ก.พ. 52 16:09:41 จากคุณ : Santa_Baby - [ 27 ก.พ. 52 16:04:58 ]

ความคิดเห็นที่ 33 ขอบคุณครับ จากคุณ : ช า ติ - [ 27 ก.พ. 52 16:39:34 ]

ความคิดเห็นที่ 34 คุณชาติคงหายสงสัยไปบ้างแล้ว ลองดูวิธีคิดอีกแบบ เผื่อจะเข้าใจได้ง่ายขึ้นนะครับ ขออธิบายแยกเป็น 2 ท่อนครับ ท่อนแรกคือ f((5n)!) = f(2n f(n!)) (หมายเหตุ: ให้ f(x) = เลขท้ายของ x ที่ไม่ใช่ 0) เมื่อคืน ผมปิ๊งไอเดียมาก ๆ จาก #18 ของคุณ silverfox ครับ ที่สังเกตว่า (..1)(..3)(..4)(..6)(..7)(..8)(..9) = 8 เสมอ (ขอใช้ (..9) แทนเลขอะไรก็ได้ ที่หลักหน่วยเป็น 9 นะครับ) แต่ยังไม่ลงตัวดี มาลงตัวเอาวันนี้ แต่ยังไม่ได้โพสต์ เจอเฉลยของคุณ Santa_Baby ซะก่อน ผมลองเขียนเลขไล่ 1,2,3,4,... ไปเรื่อย ๆ แล้วก็เลยพบว่า มันวนที่ 5 แทนที่จะเป็น 10 อย่างที่คุณ silverfox เดาตอนแรกครับ และตัวที่พิเศษจริง ๆ ก็คือ 5, 10, 15, ... ครับ ที่มันวน 5 เพราะว่า (..1)(..2)(..3)(..4) = 4 = 22 (..6)(..7)(..8)(..9) = 4 = 22 ลองดู 20! กันครับ f(20!) = f( (1.2.3.4) 5 (6.7.8.9) 10 (11.12.13.14) 15 (16.17.18.19) 20) = f(1.2.3.4) f(6.7.8.9) f(11.12.13.14) f(16.17.18.19) f(5.10.15.20) = 4.4.4.4 54f(1.2.3.4) = 24 (2454) f(4!) = 24 f(4!) และถ้าเราสามารถคิดอย่างนี้ (คือแบ่งทีละ block-5) ได้ไม่ว่า n จะมากแค่ไหนก็ตาม พิสูจน์แบบ induction ก็น่าจะได้ แต่ขอข้ามตรงนี้ไป และสรุปเลยก็แล้วกันครับว่า f(5n!) = f(2n f(n!)) (หรือถ้าจะอธิบายด้วย (mod 10) ก็คือ f(5n!) = 2n f(n!) (mod 10) นั่นเองครับ) อีกข้อมูลที่จะช่วยให้เราคิด n! ได้เร็วก็คือ 2n = 2n+4 (วนรอบ 4) ดังนั้น เราสามารถคิด n! เมื่อ n ไม่มากนัก อย่างเช่น 100!, 1000!, 10000! ได้ง่ายขึ้นมาก ตามนี้ครับ f(100!) = 220 f(20!) (mod 10) f(20!) = 24 f(4!) (mod 10) f(4!) = f(4.3.2.1) = f(24) = 4 ดังนั้น f(100!) = 220 24 f(4!) (mod 10) = (224 4) (mod 10) = (24 4) (mod 10) f(100!) = (6.4) (mod 10) = 4 f(1000!) = 2200 f(200!) (mod 10) f(200!) = 240 f(40!) (mod 10) f(40!) = 28 f(8!) (mod 10) f(8!) = f((8.7.6) f(5!)) f(5!) = 21 f(1!) (mod 10) ดังนั้น f(1000!) = = (2249 (8.7.6) f(1!)) (mod 10) = (21 (6) 1) (mod 10) f(100!) = (2.6.1) (mod 10) = 2 f(10000!) = 22000 f(2000!) (mod 10) f(2000!) = 2400 f(400!) (mod 10) f(400!) = 280 f(80!) (mod 10) f(80!) = 216 f(16!) (mod 10) f(16!) = f(16 f(15!)) f(15!) = 23 f(3!) (mod 10) f(3!) = 3.2.1 = 6 ดังนั้น f(10000!) = (22499 (16) (3.2.1)) (mod 10) = (23 (6) (6)) (mod 10) f(10000!) = (8.6.6) (mod 10) = 8 ปล. ท่อนที่สอง สนุกขึ้นไปอีกครับ แต่ขอตัวทำธุระสักชั่วโมง สองชั่วโมง ค่อยกลับมาใหม่นะครับ แก้ไขเมื่อ 27 ก.พ. 52 17:33:42 แก้ไขเมื่อ 27 ก.พ. 52 17:32:38 จากคุณ : ลุงแว่นใจดี - [ 27 ก.พ. 52 17:26:13 ]

ความคิดเห็นที่ 35 เฉลย #29 สั้นมาก เข้าใจยากจัง สงสัยเขียนมาสำหรับนักคณิตศาสตร์ ต้องให้คุณ Santa_Baby กับคุณ ลุงแว่นใจดี อธิบายอีกถึงจะรู้เรื่อง จากเฉลยทำให้ผมได้ไอเดียมาปรับปรุงสูตรเดิม จำนวนตัวประกอบ 2 ใน n! = sum (i=1..infinity) [n/(2^i)] = n - จำนวนเลขโดด 1 ที่ปรากฎเวลาเขียน n เป็นฐาน 2 จำนวนตัวประกอบจำนวนเฉพาะ p ใน n! = sum (i=1..[log n/log p]+1) [n/(p^i)] = (n - ผลบวกของเลขโดดที่ปรากฎเวลาเขียน n เป็นฐาน p)/(p-1) จริงๆ มันก็คงไม่ได้ทำให้คิดได้เร็วขึ้น แต่รู้สึกดูดีขึ้นหน่อย จากคุณ : ผลึกความคิด - [ 27 ก.พ. 52 18:18:13 ]

ความคิดเห็นที่ 36 น่าจะอย่างคุณผลึกความคิดว่าครับ เฉลยสั้นมาก ๆ จริง ๆ ไม่บอกที่มาที่ไปให้เข้าใจง่าย ๆ ด้วย ผมว่าผมคิดสูตรหา f(n!) เมื่อ n เป็นจำนวนใด ๆ ได้แล้ว ก็ยังไม่รวบรัด จนเหลือแต่เลขยกกำลังสองขนาดนี้เลยครับ แต่เห็นเฉลยแล้ว ลองคิดตามอยู่พักนึง ตอนนี้เข้าใจแล้วครับ ว่าคิดอย่างเขาได้จริง ๆ ลองแบบที่ผมคิดไว้เอง ดูก่อนนะครับ ท่อนสองนี้ ทะเยอทะยานกว่าท่อนแรกใน #34 ตรงที่อยากหาสูตรระบุเลขท้ายที่ไม่ใช่ 0 ของ n! เมื่อ n เป็นจำนวนใด ๆ ให้ได้ครับ สมมติตัวเลขอะไรก็ได้มาตัวหนึ่ง เช่น 9765626! เป็นต้น จะมีวิธีอะไร ที่คำนวณด้วยมือ หรือเขียนโปรแกรมง่าย ๆ แล้วได้คำตอบออกมาเลย ก่อนหน้านี้ เราทราบว่า f(5n!) = f(2n f(n!)) ลองพิจารณาเลขจำนวนไม่มากนัก ที่หารด้วย 5 ไม่ลงตัว อย่างเช่น 117! กัน f(117!) = (117.116) f(115!) (mod 10) f(115!) = 223 f(23!) (mod 10) f(23!) = (23.22.21) f(20!) (mod 10) f(20!) = 24 f(4!) (mod 10) หรือสรุปได้ว่า f(117!) = (117.116) 223 (23.22.21) 24 (4.3.2.1) (mod 10) พักตรงนั้นเอาไว้ก่อน ทีนี้ เรามาลองพิจารณาดูว่า n! จะเป็นเลขคู่เสมอ เมื่อ n > 1 และจากความจริงที่ว่า สำหรับเลขคู่ 2k ใด ๆ (ขอใช้ (..9) แทนเลขอะไรก็ได้ ที่หลักหน่วยเป็น 9 นะครับ) f((..6)2k) = f((..1)2k) f((..7)2k) = f((..2)2k) f((..8)2k) = f((..3)2k) f((..9)2k) = f((..4)2k) พอทราบอย่างนี้แล้ว ก็เลยสามารถสรุปได้ว่า f(117!) = (117.116) 223 (23.22.21) 24 (4.3.2.1) (mod 10) f(117!) = (2.1) 223 (3.2.1) 24 (4.3.2.1) (mod 10) f(117!) = 2! 223 3! 24 4! (mod 10) เราจึงสามารถทำตารางเล็ก ๆ ขนาด 20 ตัว (ซึ่งตรงกับแนวคิดกลุ่ม 20 ของคุณผลึกความคิดด้วย) เอาไว้ใช้ช่วยหา f(n!) ใด ๆ ได้ (เพราะว่า n! เป็นคู่ เลขจึงวน) x| 1! 2! 3! 4! --------------- 2| 2  4  2  8 4| 4  8  4  6 6| 6  2  6  4 8| 8  6  8  2 ตารางเลข 20 ตัวข้างบนนี้ ผมจัดใหม่ให้ดูเข้าใจได้ชัด ๆ ครับ ว่ามันคือการเอา 2,4,6,8 ไปคูณกับ 1!,2!,3!,4! (แค่คูณกับ 1!,2!,3!,4! ก็พอแล้ว เพราะว่า f((..j)2k) = f((..j+5)2k) ส่วน 5! เป็นอะไรที่เราจัดการได้ด้วยสูตร f(5n!) = f(2n f(n!)) ครับ) วิธีการใช้ตาราง ผมทำอย่างนี้ครับ f(117!) = 2! 223 3! 24 4! (mod 10) f(117!) = 23 2! 3! 4! (mod 10) 23 = 8 แล้วเปิดตาราง เพื่อคูณ 2! 3! 4! f(8.2!) = 6 f(6.3!) = 6 f(6.4!) = 4 ดังนั้น f(117!) = 4 จากคุณ : ลุงแว่นใจดี - [ 27 ก.พ. 52 19:34:01 ]

ความคิดเห็นที่ 37 วิธีใน #36 ง่ายมากพอควรแล้ว แต่มันจะยิ่งดูง่ายขึ้นไปอีก ถ้าเราเขียน n ให้อยู่ในรูปฐาน 5 ครับ ลองดูว่า f(117!) ถ้าเขียนเป็นฐาน 5 จะออกมายังไง 117 = 4325 และ 23 = 435 f(117!) = 2! 223 3! 24 4! (mod 10) f(4325!) = 2(435+45) 4! 3! 2! (mod 10) หรือคราวนี้ลองกลับมาที่โจทย์ 1000! (หมายเหตุ: 1000 = 130005, 200 = 13005, 40 = 1305, 8 = 135) f(1000!) = 2200 240 28 (8.7.6) 21 1! (mod 10) f(1000!) = 2(200+40+8+1) 3! 1! (mod 10) f(130005!) = 2(13005+1305+135+15) 1! 3! 0! 0! 0! (mod 10) คงพอเห็น pattern สำหรับเลขฐาน 5 นะครับว่า สำหรับ a,b,c,d,e,... ที่เป็นเลขฐาน 5 ใด ๆ f(ab5!) =  2a a! b! (mod 10) f(abc5!) =  2ab+a a! b! c! (mod 10) f(abcd5!) =  2abc+ab+a a! b! c! d! (mod 10) f(abcde5!) =  2abcd+abc+ab+a a! b! c! d! e! (mod 10) ... ทีนี้ มาลองพิจารณาเลขยกกำลังของสองกัน สมมติว่า abcd เป็นเลขฐาน 5 2abcd = 2a+b+c+d ทั้งนี้เป็นเพราะ 5k (mod 4) = 1 เสมอ ดังนั้น 2(n)(5^k) = 2n ลองพิจารณา abcd5 = (a)53 + (b)52 + (c)51 + (d)50 2abcd = 2(a)5^3 2(b)5^2 2(c)5^1 2(d)5^0 2abcd = 2a 2b 2c 2d 2abcd = 2a+b+c+d จากที่เราสรุปไปแล้วว่า f(abcde5!) =  2abcd+abc+ab+a a! b! c! d! e! (mod 10) จึงยุบรูปเลขยกกำลังสองได้เหลือแค่ f(abcde5!) =  24a+3b+2c+1d+0e a! b! c! d! e! (mod 10) ผมคิดไว้ถึงแค่ตรงนี้ ก็พอใจมากแล้ว จึงหยุด จากคุณ : ลุงแว่นใจดี - [ 27 ก.พ. 52 20:17:08 ]

ความคิดเห็นที่ 38 แต่เฉลยใน #29 ไปไกลกว่านั้น ผมเลยต้องเอาที่คิดไว้ มาลองเทียบกันดู สูตรผม f(abcde5!) =  24a+3b+2c+1d+0e a! b! c! d! e! (mod 10) สูตรเฉลย f(n) = 2x (mod 10) โดย x = a1+2a2+3a3+...+ |{i:ai=2}| + 2|{i:ai=4}| ซึ่งจะเห็นได้ว่า พอจะแยกได้เป็นสองวรรค วรรคแรก a1+2a2+3a3+... วรรคนี้ตรงกับ 2 ยกกำลัง 4a+3b+2c+1d+0e ของผม ถ้าเป็นอย่างนั้น ก็แปลว่า วรรคสอง 2|{i:ai=2}| + 2|{i:ai=4}| ต้องมีค่า = a! b! c! d! e! งงอยู่พักหนึ่ง ว่าทำไมเขาสนใจเฉพาะหลักที่ เลขหลักนั้นเป็น 2 หรือ 4 เท่านั้น แล้วมันกลายมามีค่าเท่ากับ a! b! c! d! e! ได้ยังไง จนหยิบตารางช่วยคูณ 1! 2! 3! 4! มาดู x| 1! 2! 3! 4! --------------- 2| 2  4  2  8 4| 4  8  4  6 6| 6  2  6  4 8| 8  6  8  2 แล้วจึงพบว่า ที่เขาคิดไว้ถูกแล้ว เพราะดูดี ๆ แล้ว จะเห็นว่า 2,4,6,8 คูณกับ 1! หรือ 3! ได้ตัวมันเอง (แปลว่าเลขหลักไหนเป็น 1 หรือ 3 ไม่ต้องเอามาคิด) 2,4,6,8 คูณกับ 2! ได้สองเท่าของมัน (แปลว่าต้องนับว่ามี 2 กี่ตัวในเลขฐาน 5 แล้วคูณ 21 เท่านั้นตัวกับผลลัพธ์ --ตรงกับ |{i:ai=2}|) 2,4,6,8 คูณกับ 4! ได้สี่เท่าของมัน (แปลว่าต้องนับว่ามี 4 กี่ตัวในเลขฐาน 5 แล้วคูณ 4 = 22 เท่านั้นตัวกับผลลัพธ์ --ตรงกับ 2|{i:ai=4}|) ลองดูตัวอย่าง f(117!) (ซึ่งเราทราบแล้วว่า = 4) f(117!) = f(4325!) f(4325!) = 24.2+3.1+2.0 4! 3! 2! (mod 10) จะเห็นว่า 4325 มี 2 หนึ่งตัว และ 4 หนึ่งตัว f(4325!) = 24.2+3.1+2.0 21 41 (mod 10) f(4325!) = 23 21 22 (mod 10) f(4325!) = 23+1+2 (mod 10) f(4325!) = 22 = 4 จากคุณ : ลุงแว่นใจดี - [ 27 ก.พ. 52 20:36:57 ]

ความคิดเห็นที่ 39 ผมขอมาคิดต่อจากที่ค้างไว้ ตัวสุดท้ายของ 100! หาจาก พวก 1x3x4x6x7x8x9 = 8 ทั้งสิ้น 10 ชุด 8^10 = 4 พวก 10 = 10 ชุด ตัวสุดท้าย 10! = 8 พวก 2x5 = 1 ชุด ตัวสุดท้ายคือ 2 เพราะฉะนั้นตัวสุดท้าย 100! =4x8x2 = 4 1x3x4x6x7x8x9 = 8 ใน 1000 มี เจ้าพวกนี้ 100 ชุด ได้เป็น ตัวสุดท้าย 8^100 = 6 จากนั้นมาคิดที่เลข 10 ใน1000 มีพวกลงท้ายด้วย 10 = 100 ชุด =1x2x3x...100 = 100! = 4 เหลือพวก 5,2 (ต้องคิดได้8 เพราะตัวหลัง1000 = 2) เริ่ม คิดจาก 2x5 = 1 12x15 = 8 42x45 = 9 52x55 = 6 62x65 = 3 72x75 = 4 82x85 = 7 92x95 = 4 = 2 10 ชุด คือ ตัวสุดท้าย 2^10 = 4 เหลือพวก 22x25x32x35x122x125... = 2 เพราะฉะนั้นพวก 2x5 ได้ 8 (สำเร็จ) เพราะฉะนั้นลงท้าย 1000! =6x4x8 = 2 จากคุณ : silverfox - [ 27 ก.พ. 52 21:02:59 A:125.24.97.213 X: TicketID:185555 ]

ความคิดเห็นที่ 40 คุณลุงแว่นใจดีล้ำหน้าไปเยอะเลยครับ ถึงขนาดหา n! ใดๆ ยอดเยี่ยมครับ ขอบคุณที่เอ็นดูผมด้วยครับ จากคุณ : silverfox - [ 27 ก.พ. 52 21:06:25 A:125.24.134.167 X: TicketID:185555 ]

ความคิดเห็นที่ 41 ต้องขอบคุณ คุณลุงแว่นที่ช่วยอธิบาย เฉลยของข้อนี้อย่างมากครับ เรียบร้อยไร้ข้อข้องใจเราก็ งั้นไปข้อต่อไปเลย อิอิ จากคุณ : Santa_Baby - [ 27 ก.พ. 52 21:17:18 ]

ความคิดเห็นที่ 42 give! อันนี้สำหรับคุณ silverfox น่ะครับ ได้อมยิ้มเมื่อใด จะได้ give fact อิอิ จากคุณ : Santa_Baby - [ 27 ก.พ. 52 21:18:28 ]

ความคิดเห็นที่ 43 ลองเขียน algorithm เป็นโปรแกรมเลย วิธีที่ผมคิดตามส่วนแรกของ #24 แบบถึกหน่อย ช้ามากๆ function factorialnzdigitslow(n) {  var a,b,c,d;  if (n<=1) return 1;  for (a=n,c=0,d=1; a>1; --a)  {    b = a;    while (b % 2 == 0) { ++c; b /= 2; }    while (b % 5 == 0) { --c; b /= 5; }    d = d*b % 10;  }  return ((6 << [c % 4])*d) % 10; } ปรับปรุงขึ้นมาหน่อย ใช้วิธีเหมือนใน #24 ช่วงหลัง ปริมาณการคำนวณลดลงเยอะ พอจะใช้คนคิดได้ function int(x) { return x|0; } function factorialnzdigitmedium(n) {  if (n<=1) return 1;  var odd=[1,1,1,3,3,3,3,1,1,9,9,9,9,7,7,7,7,9,9,1];  var a,b,c=0,d;  for(a=n; a=int(a/2),a>0; ) c += a;  for(a=n; a=int(a/5),a>0; ) c -= a;  d = (6 << [c % 4]) % 10;  for(a=n; a>0; a=int(a/5))    for(b=a; b>0; b=int(b/2))      d = (d * odd[b % 20]) % 10;  return d; } เขียนตามเฉลย+คำอธิบายของคุณ ลุงแว่นใจดี สั้นและเร็วยิ่งขึ้นไปอีก ปริมาณการคำนวณน้อยกว่าวิธีผมมาก ทดสอบแล้วได้คำตอบเท่ากัน function factorialnzdigitfast(n) {  if (n<=1) return 1;  var i,a,c,d;  for(i=0,a=n,c=0; a>0; a=int(a/5),++i) {    d = a % 5;    c += i*d + (d==2? 1: d==4? 2: 0);  }  return (6 << [c % 4]) % 10; } จากคุณ : ผลึกความคิด - [ 27 ก.พ. 52 22:11:07 ]

ความคิดเห็นที่ 44 ทริกใช้ 6 แทน 2 ร้ายกาจมากครับ :) จากคุณ : ลุงแว่นใจดี - [ 27 ก.พ. 52 22:25:42 ]