 |
ความคิดเห็นที่ 19 |
ดูเหมือนว่าจะไม่มีใครมาตอบข้อ 1 ต่อแล้ว งั้นขอเฉลยเลยนะครับ
ส่วนข้อ 2 ขอรอดูอีกสักพักนึงละกัน
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยข้อ 1 วิธีที่ 1:
วิธีนี้เราจะเลี่ยงการต่อกราฟของ f(x) ไปทีละนิด ซึ่งแม้จะเป็นวิธีที่น่าจะใช้ได้ แต่ก็ยังติดข้อโต้แย้งบางอย่าง
(ดู คห. #9 , #12, #14, #15 ประกอบ)
การพิสูจน์จึงเลี่ยงไปใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง แต่ก็ต้องอาศัยทฤษฎีบทพื้นฐานทางแคลคูลัสนิดหน่อยครับ
คือใช้ Mean Value Theorem (MVT) [ http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem ]
พิสูจน์ข้อ 1: จากโจทย์จะได้ว่า f'(a) > f(a) = 0 ดังนั้น f'(a) > 0 นั่นคือ limx-->a[f(x) - f(a)]/(x - a) > 0
จากบทนิยามของลิมิต [ขอละรายละเอียดไว้ครับ] เราจะได้ว่ามี h > 0 ซึ่ง f(x) > f(a) = 0 สำหรับทุก x ในช่วง (a, a + h)
นั่นคือเราได้ว่า f(x) > 0 สำหรับทุก x ในช่วง (a, a + h)
เพื่อที่จะสรุปว่า f(x) > 0 สำหรับทุก x > a เราจะใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง โดยสมมติว่าข้อสรุปไม่จริง
นั่นคือสมมติว่ามี x > a ซึ่ง f(x) <= 0 [กล่าวคือกราฟของ f(x) ตัดแกน x อีกครั้งที่ทางขวาของจุด a]
ดังนั้นจะมีค่า x ที่น้อยที่สุดซึ่ง x > a และ f(x) = 0 สมมติให้ค่าดังกล่าวคือค่า b
[โปรดใช้วิจารณญาณในการอ่าน: ดู #21, #22, #27 ประกอบ]
จะได้ว่า f(x) > 0 สำหรับทุก x ในช่วง (a, b) .......(*)
คราวนี้ จาก MVT จะได้ว่ามี c ในช่วง (a, b) ซึ่ง
f'(c) = [f(b) - f(a)] /(b - a) = [0 - 0]/(b-a) = 0
นั่นคือ มี c ในช่วง (a, b) ซึ่ง f(c) = 0 แต่จาก (*) เราทราบว่า f(c) > 0 และจากเงื่อนไขของโจทย์ เรามี f'(c) > f(c) จึงได้ว่า
0 = f'(c) > f(c) > 0
ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง ดังนั้นสรุปได้ว่า f(x) > 0 สำหรับทุก x > a 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยข้อ 1 วิธีที่ 2: วิธีนี้ใช้ trick นิดหน่อย แต่สั้นกว่าวิธีแรกมากครับ
พิจารณา F(x) = e-xf(x) จะได้ F'(x) = e-xf'(x) - e-xf(x) = e-x[f'(x) - f(x)]
จาก f'(x) > f(x) และ e-x > 0 เราได้ว่า F'(x) > 0 สำหรับทุกค่า x
แสดงว่า F(x) เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนเซตของจำนวนจริง
แต่ F(a) = e-af(a) = e-a0 = 0 จึงได้ว่า F(x) > 0 เมื่อ x > a [เนื่องจาก F(x) เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ]
นั่นคือ e-xf(x) > 0 เมื่อ x > a ดังนั้น f(x ) > 0 เมื่อ x > a
Credit: de Souza & Silva, Berkeley Problems in Mathematics, Springer, 2001.
แก้ไขเมื่อ 01 ส.ค. 52 21:21:40
แก้ไขเมื่อ 01 ส.ค. 52 21:11:41
แก้ไขเมื่อ 01 ส.ค. 52 20:50:13
| จากคุณ |
:
Accenda 
|
| เขียนเมื่อ |
:
1 ส.ค. 52 18:44:45
|
|
|
|
|
