ความคิดเห็นที่ 1 สรุปไม่ได้ ถึงจะถูก จากคุณ : vandalism เขียนเมื่อ : 7 ส.ค. 52 19:00:00

ความคิดเห็นที่ 2 inf = 2inf = 4inf สรุปเท่ากัน ตามนิยาม จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 7 ส.ค. 52 19:03:41

ความคิดเห็นที่ 3 แล้วอินฟินิตี้มันเท่าไหร หาค่าไม่ได้ไม่ใช่เหรอ บางวิชาอินฟินิตี้ก็เท่ากับศูนย์ใช่เปล่าครับ จากคุณ : ConsoleJr. เขียนเมื่อ : 7 ส.ค. 52 19:05:50

ความคิดเห็นที่ 4 เท่ากันสิ จากคุณ : ScaperS เขียนเมื่อ : 7 ส.ค. 52 19:09:50

ความคิดเห็นที่ 5 imo, หาค่าไม่ได้ทั้งคู่ และมันก็เลยไม่เท่ากัน เพราะมันหาค่าไม่ได้นี่แหละ ไม่รู้จะเท่ากัน = เท่าไร -*- จากคุณ : Odourless เขียนเมื่อ : 7 ส.ค. 52 19:22:50

ความคิดเห็นที่ 6 ตอบว่า = infinity ค่ะ จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 7 ส.ค. 52 19:28:05

ความคิดเห็นที่ 7   น่าจะถามว่าเมื่อถึงการบวกครั้งที่ 1000 วิธีไหนจะได้เยอะกว่า จากคุณ : นกฮูกผจญภัย เขียนเมื่อ : 7 ส.ค. 52 19:57:12

ความคิดเห็นที่ 8   ก็เหมือนกับ 9/0 และ (9/0) + 2 นั่นแหละครับ มันได้ไม่เท่ากัน แต่อะไรเยอะกว่าไม่รู้ เพราะไม่ทราบค่าทั้งคู่ จากคุณ : หาค่าไม่ได้ เขียนเมื่อ : 7 ส.ค. 52 20:05:10 A:203.144.180.65 X: TicketID:223293

ความคิดเห็นที่ 9 หาค่าไม่ได้ทั้งสองข้อครับ จากคุณ : Mr.Review เขียนเมื่อ : 7 ส.ค. 52 20:10:50

ความคิดเห็นที่ 10   syntax error จากคุณ : มั่ว เขียนเมื่อ : 7 ส.ค. 52 20:13:32 A:124.120.45.166 X:

ความคิดเห็นที่ 11 inf ไม่เหมือน 9/0 9/0 ต้องตอบว่าไม่นิยาม ส่วน infinity มีนิยามให้ จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 7 ส.ค. 52 20:18:10

ความคิดเห็นที่ 12   คห 8 โดนแล้วไง (อ่าน 11) ถ้าเขียนไปว่า limx->0+  1/x  =  limx->0+  2/x อย่างนี้ได้ไหมคะ คุณนักคณิตศาตร์ตัวจริง จากคุณ : Black-White&Gray เขียนเมื่อ : 7 ส.ค. 52 21:14:29

ความคิดเห็นที่ 13 2X=y 2Y=x X=Y=0 จากคุณ : เบิร์ท เขียนเมื่อ : 7 ส.ค. 52 21:26:42

ความคิดเห็นที่ 14 สรุปไม่ได้หละครับ เพราะว่ามันหาค่าไม่ได้ทั้งคู่ แล้วเราจะรู้ได้ไงว่าอะไรมันเท่ากัน มากกว่า หรือน้อยกว่า จากคุณ : logarithm เขียนเมื่อ : 7 ส.ค. 52 21:59:47

ความคิดเห็นที่ 15 ฟันธงว่า ข้อ 2 เป็นสองเท่าของข้อ 1 เหตุผลที่ 1 ข้อ 1 Sum ถึง n = n/2(n+1) ข้อ 2 Sum ถึง n = 2(n/2(n+1)) ดังนั้น ข้อ2 เป็น 2 เท่าของข้อ 1 เหตุผลที่ 2 ยังนึกไม่ออก จากคุณ : ช า ติ เขียนเมื่อ : 7 ส.ค. 52 22:20:57

ความคิดเห็นที่ 16 #2 คุณ mint inf = 2inf = 4inf สรุปเท่ากัน ตามนิยาม มีนิยามแบบนี้ด้วยหรือครับ จากคุณ : ช า ติ เขียนเมื่อ : 7 ส.ค. 52 22:26:41

ความคิดเห็นที่ 17 คิดไปคิดมา ขอกลับลำ ตอบว่า หาค่าไม่ได้ ด้วยคนครับ ตามเสียงส่วนใหญ่ จากคุณ : ช า ติ เขียนเมื่อ : 7 ส.ค. 52 22:34:32

ความคิดเห็นที่ 18 ... สรุปผลไม่ได้ครับ จากคุณ : Mr. Fusion เขียนเมื่อ : 7 ส.ค. 52 23:46:43

ความคิดเห็นที่ 19 ^ ^ เข้ามาดู...สรุปผลไม่ไ้ด้... จากคุณ : โอเลี้ยง-z เขียนเมื่อ : 8 ส.ค. 52 00:05:20

ความคิดเห็นที่ 20 เท่ากัน 1+infinity = infinity 1+2+3+...+infinity = infinity 2+infinity = infinity 2+4+6+...+infinity = infinity 1+2+3+...+infinity = 2+4+6+...+infinity http://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line#Arithmetic_operations แก้ไขเมื่อ 08 ส.ค. 52 00:27:55 จากคุณ : satitpor เขียนเมื่อ : 8 ส.ค. 52 00:26:45

ความคิดเห็นที่ 21 จากลิงค์นี้ค่ะคุณชาติ http://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line#Arithmetic_operations จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 8 ส.ค. 52 00:36:00

ความคิดเห็นที่ 22 อย่างนี้ ถ้า 0 < a < 1 แล้ว inf/a จะเป็นไงอ่ะ มันน่าจะน้อยลงเรื่อยๆจน ->0 ได้เหรือเปล่า จากคุณ : alan the lamb เขียนเมื่อ : 8 ส.ค. 52 09:27:16

ความคิดเห็นที่ 23   #18      ฝนตกแน่ๆ จากคุณ : พู่กันลายหมอก เขียนเมื่อ : 8 ส.ค. 52 10:14:51

ความคิดเห็นที่ 24 #22 ดูจากด้านบนแล้วไม่ได้ค่ะ จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 8 ส.ค. 52 11:11:11

ความคิดเห็นที่ 25 มันเป็นเหมือนปัญหาไก่กับไข่อะไรเกิดก่อนกัน จะนิยามยังไงให้ได้คำตอบ แต่ก็เอาไปใช้ได้ยาก เหมือนกับเป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์มีไว้โอ้อวดความรู้ตัวเอง เช่นเดียวกับปัญหา P = NP ? ของ Computational Problem แต่ถ้าพูดถึง Limit แล้ว Limit เข้าใกล้ inf != Limit เข้าใกล้ 2 inf จากคุณ : P.Virie เขียนเมื่อ : 8 ส.ค. 52 12:52:30

ความคิดเห็นที่ 26 (เดาครับ) เสนอว่าขึ้นอยู่กับการตีความ 1. แบบแรกถ้าเราตีความ n(A) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... โดยบอกว่ามันคือ n(S1) + n(S2) + n(S3) + ... เมื่อ Si คือเซตที่มีจำนวนสมาชิก = i เมื่อ i เป็นจำนวนนับ และ Si ว Si+1 = {} ทุก i ให้ n(B) = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... พูดว่าเซต A และ B มีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ทั้งคู่ แต่ไม่มีใครใหญ่กว่าใคร สองเซ็ตนี้มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน n(A) = n(B) # (น่าจะพอ imply ได้ว่า inf = 2inf = 3inf ...) 2. แต่ถ้าเรามองมันโดยใช้คุณสมบัติบวกของจำนวนนับ 1 + 2 + 3 + 4 + ... = x x ไม่ใช่จำนวนนับ ดังนั้น 2x ก็ไม่ใช่จำนวนนับ เราก็เปรียบเทียบมันได้ # ฉะนั้นคำตอบของมันขึ้นอยู่กับการนิยามหรือการให้ความหมายที่เราใช้เป็นฐานของคำตอบ ถ้าเราให้ความหมายอีกแบบ เช่น เรายอมรับว่า 1-1+1-1+... = 0.5 เราก็จะพบว่า 1+2+3+... = -1/12 จาก s = 1+2+3+... 4s = 2(2+4+6+...) s-4s = (1+2+3+...) - 2(2+4+6+...) s-4s = 1-2+3-4+5-... = 1-(2-3+4-5+...) -3s = 1-(1-2+3-4+5-...) - (1-1+1-1+...) -3s = 1+3s-0.5 -6s = 0.5 s = -1/12 จากคุณ : ศล เขียนเมื่อ : 8 ส.ค. 52 12:54:22

ความคิดเห็นที่ 27 #26 จับผิดก่อนเลย เราก็จะพบว่า 1+2+3+... = -1/12 จาก s = 1+2+3+... 4s = 2(2+4+6+...) s-4s = (1+2+3+...) - 2(2+4+6+...) << ผิดบรรทัดนี้ เพราะ ทั้ง s และ 4s = infinity ,infinity-infinity ไม่นิยาม เหมือนดังตัวอย่างนี้ 2infinity = infinity+1 2infnity-infinity = 1 infinity = 1 เห็นไหมว่าถ้าไม่จำนิยามให้ดี infinity จะกลายเป็นอะไรก็ได้ ^^ แก้ไขเมื่อ 08 ส.ค. 52 14:09:32 จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 8 ส.ค. 52 14:01:12

ความคิดเห็นที่ 28 #27 เรียนท่านผู้รู้ ออกตัวอีกทีว่าเรื่องนี้เป็นเรื่องที่ผมไม่เข้าใจ แต่ก็จะแสดงความเห็นตามที่ผมคิด เชื่อว่าท่านผู้รู้ยังจับคีย์เวิร์ด 'เรายอมรับว่า 1-1+1-1+... = 0.5'(**) ไม่ได้นะครับ ข้อความดังกล่าวอยู่ในรูป 'ถ้าเรายอมรับว่า 1-1+1-1+... = 0.5 แล้ว 1+2+3+... = -1/12' (วิชาตรรกศาสตร์เบื้องต้นบอกเราว่าถ้าคุณใช้ argument อะไรแย้งสิ่งที่ยอมรับแล้วทำให้มันเป็นเท็จ ประโยค 'ถ้าเรายอมรับว่า 1-1+1-1+... = 0.5 แล้ว 1+2+3+... = -1/12' เป็นจริงเสมอ แล้วคุณค่าของการจับผิดแบบเลื่อนลอยของคุณมันอยู่ตรงไหนล่ะครับ คุณก็บอกว่าหนูไม่ยอมรับ (**) ซะก็จบ ครึ่งหลังจากนั้นไม่ต้องไปจับผิดให้เมื่อยกิ่งสมอง) อีกอย่าง ไม่ต้องจับผิดผมหรอกครับ เราถ้าคุณใช้การรวมแบบรามานุจัน (Ramanujan summation ดู http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation) ก็จะได้คำตอบ -1/12 เหมือนกัน ในจดหมายจากรามานุจันถึงฮาร์ดี้วันที่ 27 ก.พ. 1913 เขียนว่า 'I told him that the sum of an infinite number of terms of the series: 1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12 under my theory.' หรือไม่ คุณลองดูที่ออยเลอร์พิสูจน์ว่า 1 + 2 + 3 +... = -1/12 จาก http://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2004/zeta.pdf การแสดงผลรวมด้วยสมมติฐานแบบดังกล่าว ผมลอกมาจากบทความ Divergent Series: Why 1+2+3+... = -1/12 ของ Bryden Cais คุณผู้รู้ลองแวะไปอ่านครับ (หรือจะลองส่งจดหมายการค้นจุดผิดของคุณไปบอกผู้เขียนบทความดังกล่าวด้วยก็ดี) http://webpages.math.luc.edu/~mgb/courses/SummerSeminar2007/DivergentSeries.pdf ประเด็นที่ผมปิดท้ายคำตอบด้วย s = -1/12 (เมื่อเรายอมรับ (**)) มีจุดมุ่งหมายเพื่อแสดงให้เห็นว่าเมื่อใดก็ตามที่เราเข้าไปยุ่งเกี่ยวกับอนันต์ คำตอบของมันขึ้นอยู่กับสมมติฐานที่เราตั้งไว้เกี่ยวกับมันครับ ในปัญหาของกระทู้นี้ ถ้าเราใช้กรอบความรู้ของจำนวนจริง และต่อให้เราประดิษฐ์ inf ว่าเป็นภาคขยายของจำนวนจริง มันก็ไม่เชื่อฟังกฎของจำนวนจริง (คุณต้องสร้างกฎใหม่ขึ้นมาเพื่ออธิบายมันโดยเฉพาะ) จึงเปรียบเทียบไม่ได้ หรือถ้าหากคุณตีความว่ามันเป็น size มันก็พูดได้ เพราะถ้าคุณไป double size ของอนันต์ เป็นสองอนันต์ มันก็ยังมี size เท่าเดิม (ด้วยวิธีการที่เราเข้าไปจัดการกับมัน) ส่วนที่คุณผู้รู้พูดว่าถ้าจำไม่แม่นว่าจะเป็นอย่างโน้นอย่างนี้ ก็อยากจะเตือนด้วยความหวังดีว่าอย่าสักแต่ว่าจำโดยไม่รู้ว่าจำอะไรลงไปครับ แบบนั้นสิ่งที่คุณจำมันก็เป็นขยะดี ๆ นี่เอง แก้ไขเมื่อ 08 ส.ค. 52 15:08:21 จากคุณ : ศล เขียนเมื่อ : 8 ส.ค. 52 15:07:50

ความคิดเห็นที่ 29 แล้วคุณค่าของการจับผิดแบบเลื่อนลอยของคุณมันอยู่ตรงไหนล่ะครับ >> ตรงนี้ ไม่ได้เป็นการจับผิดแบบเลื่อนลอย เพราะ จับผิดด้วยเ้หตุผลค่ะ คุณค่าของมันก็คือ การ imply ว่าไม่ยอมรับ(**)ด้วย คุณก็บอกว่าหนูไม่ยอมรับ (**) ซะก็จบ ครึ่งหลังจากนั้นไม่ต้องไปจับผิดให้เมื่อยกิ่งสมอง) >> บอกไม่ยอมรับอย่างเดียวได้อย่างไรคะ  เพราะจะโดนหาว่าจับผิดแบบเลื่อนลอย เหมือนจะขัดแย้งกับด้านบนนะ  ลองดูเหตุผลก่อนว่าไม่ยอมรับเพราะอะไร (ตามที่ได้ชี้แจงไปแล้ว)^^ "ลอก" บทความมา แต่ไม่จำเป็นว่า บทความนั้นจะใช้ได้ สมมุติตัวอย่างเดิม แต่เปลี่ยนตัวเลข 2infinity = infinity-1/12 2infnity-infinity = -1/12 infinity = -1/12 1+2+3+... = infinity = -1/12 เห็นไหมคะการคิดแบบนี้ทำให้ได้คำตอบอะไรก็ได้ แบบนี้เค้าเลยไม่นิยาม ให้ น่ะค่ะ หรือเป็นเพราะ #26 ไม่ได้ แสดงให้ชัดเจนเกี่ยวกับ (**)หรือเปล่าอยู่ๆก็ยกมา จะบอกว่า"หากเรายอมรับในสิ่งผิด เราก็ต้องยอมรับผลของสิ่งผิดอันใหม่ด้วย" ไม่ได้บอกว่าประโยคอันนี้ไม่ถูกแยกแยะด้วย คงไม่ต้องส่งไปต่อว่าต้นฉบับ ที่"ลอก"มา สุดท้ายเห็นตรงกับ การยุ่งกับ infinity มันก็ไม่เชื่อฟังกฎของจำนวนจริง แต่ infinity เราได้กำหนดขอบเขตการใช้ของมันด้วยนิยามค่ะ สรุปที่ขีดเส้นใต้ "คำตอบของมันขึ้นอยู่กับสมมติฐานที่เราตั้งไว้เกี่ยวกับมันครับ" คิดว่า ถูกและ เค้าก็ได้ตั้งสมมุติฐานร่วมกันไว้แล้ว เรียกว่า "นิยาม" ก็เลยตอบว่า ตัวเลขสองตัวด้านบน นั้นเท่ากันค่ะ (infinity = 2infinity) ปล.ลดดีกรีความโมโหลงนิดนึงนะ ^^ พูดดีๆก็ได้ เราก็ตอบเท่าที่รู้เหมือนกันนะ จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 8 ส.ค. 52 18:43:56

ความคิดเห็นที่ 30 ยกตัวอย่างอีกข้อของ infinity ละกัน infinity = 2infinity ถ้าคิดตามระบบจำนวนจริง หาร infinity ทั้งสองข้าง 1 = 2 นั่นไง ขัดแย้งละ เหมือนการหารด้วย 0 เลย ดังนั้น infinity ตัด infinity  ไม่นิยาม หรือจะตอบว่า แล้วแต่ว่าจะตั้งสมมุติฐานอะไรให้มันก็ได้ ถ้าไม่ไปขัดแย้งกับที่ตั้งอยู่แล้วน่ะค่ะ ให้เป็น mint ก็ได้นะ จะได้ว่า 1mint=2mint เป็นต้น จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 8 ส.ค. 52 18:50:37

ความคิดเห็นที่ 31   แล้วถ้างั้น 9/0 กับ (9/0) + 2 อะไรมากกว่ากันครับ จากคุณ : พู่กันลายหมอก เขียนเมื่อ : 8 ส.ค. 52 21:31:41

ความคิดเห็นที่ 32 อย่าง #31  ตอบไม่ได้ค่ะ เพราะ ไม่นิยามทั้งคู่ จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 8 ส.ค. 52 21:40:05

ความคิดเห็นที่ 33 ผิดคิวครับ ขอโทษครับผม แก้ไขเมื่อ 08 ส.ค. 52 22:17:26 จากคุณ : +5 Coulomb เขียนเมื่อ : 8 ส.ค. 52 22:08:40

ความคิดเห็นที่ 34 ต้องสรุป โดยใช้ นิยาม จากคุณ : Forever27 เขียนเมื่อ : 8 ส.ค. 52 23:01:37

ความคิดเห็นที่ 35 ผมเคยเขียนในลักษณะตามคำถามนี้เลยครับเขียนว่า (2x1)+(2x2)+(2x3)+(2x4)+.........= 1+2+3+4+......... อาจารย์วงกลมด้วยปากกาสีแดง เเล้วเขียนกำกับไว้ว่า เขียนแบบนี้ไม่มีความหมาย พร้อมกับหักคะแนนไปครึ่งนึง เพียงเพราะเขียนอะไรที่ไม่มีความหมายลงไป แก้ไขเมื่อ 08 ส.ค. 52 23:32:44 จากคุณ : เซียนแห่งmath เขียนเมื่อ : 8 ส.ค. 52 23:30:34

ความคิดเห็นที่ 36 1+2+3+4+......... =  ฅ หมายความว่า อนุกรมลู่ออกไปยังอินฟินิตี้ กล่าวเป็นภาษามนุษย์ว่า อนุกรมตัวนี้มันมีค่าเยอะมาก ๆ แต่ไม่รู้ว่าค่าเป็นเท่าไหร่ อีกตัวก็เช่นเดียวกัน ถ้าเราเอาอนุกรมสองตัวมาหา partial sum  take limit เข้าใกล้ infinity จะได้ 2inf = inf ตามนิยาม(mint_la)โพสไว้ ทำให้ได้ว่า ผลบวกอนุกรมลู่ออก หรือมันมีค่าเยอะมาก  ๆ แต่ก็ไม่รู้เหมือนกันว่ามันมีค่าเท่าไหร่ จากคุณ : เซียนแห่งmath เขียนเมื่อ : 8 ส.ค. 52 23:35:39

ความคิดเห็นที่ 37 อีกตัวอย่างการใช้นิยาม อนุกรมสองตัวบวกกัน ตัวนึงลู่เข้า ตัวนึงลู่ออก กลายเป็น a+inf = inf ทำให้รู้ว่าผลบวกอนุกรมทั้งสองลู่ออก หรือมีค่าเยอะมาก ๆ จากคุณ : เซียนแห่งmath เขียนเมื่อ : 8 ส.ค. 52 23:37:04

ความคิดเห็นที่ 38 ส่วนระบบที่คุณศลว่ามานั้น คงต้องพวกที่เรียน formal proof ผมไม่มีความรู้มากนักในทาง logic เพราะ formal proof จะเป็นตัวบอกว่ายอมรับอะไร ไม่ยอมรับอะไร จากคุณ : เซียนแห่งmath เขียนเมื่อ : 8 ส.ค. 52 23:46:07

ความคิดเห็นที่ 39 ชัดเจนเลย ขอบคุณ คุณเซียนแห่งmath มากเลยค่ะ ด้านบนสงสัย mint_la โดนหักคะแนนไม่เหลือแน่เลย ^^ infinity นี้ ส่วนมากน่าจะใช้กับ limit มากกว่า แต่จะไปเรียนเลยคงไม่ไหวค่ะ ความพยายามน้อย คุณเซียนแห่งmathนอนดึกจังเลย ^^ สงสัยงานเยอะ จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 9 ส.ค. 52 02:16:49

ความคิดเห็นที่ 40 2 จำนวนนี้ อันไหนมันมากกว่ากัน 1. 1+2+3+... 2. (2x1)+(2x2)+(2x3)+... สองข้อนี้เป็นผลรวมอนุกรมเลขคณิตไม่สิ้นสุดลู่ออก ผลรวมอาจเป็นอนันต์(infinity) หรือหาค่าไม่ได้ ข้อแรกผลรวมจำนวนเต็มบวกจะสิ้นสุดหลังบวกตัวสุดท้าย ตัวสุดท้ายคือจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุด ใครบอกได้ว่าคือจำนวนเท่าไหร่ ใครบอก X คือจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุด ย่อมบอก X+1>X ผลบวกข้อแรกไม่อาจหาค่าได้ แต่คงมีค่ามาก ส่วนข้อสองผลรวมจำนวนเต็มคู่ ไม่อาจหาค่าจำนวนเต็มคู่ที่มากที่สุด ใครบอก X คือจำนวนเต็มคู่ที่มากที่สุด ย่อมบอก X+2>X ผลบวกข้อสองไม่อาจหาค่าได้ คิดว่าผลรวมทั้งสองข้อน่าจะตอบว่ามิอาจหาค่าได้ จากคุณ : ชื่อนี้ได้มั้ยฮะ เขียนเมื่อ : 9 ส.ค. 52 19:21:34