 |
ความคิดเห็นที่ 11 |
การคำนวณเพื่อหาค่าประมาณของ Pi อาจทำได้หลายวิธี
ซึ่งวิธีที่ใช้กันส่วนใหญ่ก็มีอยู่ในวิชาที่เรียกว่า "การวิเคราะห์เชิงตัวเลข" (Numerical Analysis) ครับ
วิธีเบื้องต้นเท่าที่ผมนึกออกก็เช่น การประมาณค่าโดยใช้อนุกรมอนันต์ และการประมาณค่าโดยการหาปริพันธ์เชิงตัวเลข เป็นต้น
ขออนุญาตยกตัวอย่างวิธีที่ค่อนข้างพื้นฐานที่สุด คือการใช้อนุกรมอนันต์ เช่น อนุกรมเทย์เลอร์ละกันนะครับ
=================================
วิธีการคร่าวๆ คือ เราจะใช้อนุกรมเทย์เลอร์เพื่อเขียนค่า Pi ให้อยู่ในรูปของอนุกรมอนันต์
จากนั้นก็คำนวณหาค่า Pi จากอนุกรมที่ได้ โดยหากต้องการความแม่นยำมากขึ้น ก็เพิ่มจำนวนพจน์ในอนุกรมที่ใช้คำนวณไปเรื่อยๆ
(ดูตัวอย่างจากการคำนวณด้านล่างได้ครับ)
=================================
ต่อไปนี้จะเป็นตัวอย่างการหาค่า Pi จากอนุกรมเทย์เลอร์ ซึ่งในที่นี้ผมจะใช้อนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน acrtan(x) นะครับ
จากความรู้แคลคูลัสเบื้องต้น เราทราบว่าสำหรับจำนวนจริง x ใดๆ อนุกรมเทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชัน arctan(x) รอบจุด x = 0 คือ
arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + x^9/9 - x^11/11 + . . . (*)
[อธิบายเพิ่มเติม:
สูตรนี้มาจากวิธีการหาอนุกรมเทย์เลอร์ของ f(x) รอบจุด x = a ที่ว่า
f(x) = Summation {f^[n](a)(x-a)^n}/n! โดยทำการ Sum จาก n = 1 ถึง infinity
ในที่นี้ f^[n](a) หมายถึงอนุพันธ์อันดับที่ n ของ f ที่จุด x = a
สำหรับอนุกรมที่ได้ใน (*) เป็นกรณีที่ f(x) = arctan(x) และ a = 0 ครับ]
=================================
จากอนุกรมเทย์เลอร์ของ arctan(x) ใน (*) เมื่อแทนค่า x = 1 จะได้ว่า
acrtan(1) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + . . .
และเนื่องจาก arctan(1) = Pi/4 เราจึงได้ว่า
Pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + . . .
นั่นคือ
Pi = 4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 -1/15 + 1/17 - 1/19 + 1/21 - 1/23 + . . .) (**)
=================================
อนุกรมที่ได้ใน (**) นี่แหละครับ ที่เราจะเอามาใช้คำนวณหาค่า Pi ได้ละเอียดเท่าที่เราต้องการ เช่น
ถ้าใช้ผลบวกเพียง 5 พจน์แรก [คือหาค่าของ 4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9)] จะได้ค่าประมาณ 3.33968
ถ้าใช้ผลบวกถึง 10 พจน์แรก [คือหาค่าของ 4(1 - 1/3 + . . . + 1/17 - 1/19 )] จะได้ค่าประมาณ 3.04184
ถ้าใช้ผลบวกถึง 100 พจน์แรก จะได้ค่าประมาณ 3.13159
ถ้าใช้ผลบวกถึง 1,000 พจน์แรก จะได้ค่าประมาณ 3.14059
ถ้าใช้ผลบวกถึง 10,000 พจน์แรก จะได้ค่าประมาณ 3.14149
ถ้าใช้ผลบวกถึง 100,000 พจน์แรก จะได้ค่าประมาณ 3.14158
ถ้าใช้ผลบวกถึง 1,000,000 พจน์แรก จะได้ค่าประมาณ 3.14159
=================================
สังเกตว่าในตัวอย่างข้างบน กว่าเราจะได้ตัวเลขที่แม่นยำพอสมควรของค่า Pi ก็ต้องใช้จำนวนพจน์ในอนุกรมค่อนข้างมาก
แต่หากต้องการจะให้ได้ค่าที่แม่นยำภายในเวลาที่รวดเร็วขึ้น กล่าวคือใช้จำนวนพจน์ในการคำนวณน้อยลง
ก็อาจใช้อนุกรมอื่นๆ ที่มีประสิทธิภาพมากกว่า ตัวอย่างหนึ่งก็เช่นอนุกรมที่คุณ nonlocality ยกมาใน คห. #7 เป็นต้นครับ 
แก้ไขเมื่อ 06 ก.ย. 52 20:08:59
แก้ไขเมื่อ 06 ก.ย. 52 20:04:11
| จากคุณ |
:
Accenda 
|
| เขียนเมื่อ |
:
6 ก.ย. 52 19:48:44
|
|
|
|
|
... เข้ามาดู
