ความคิดเห็นที่ 1 คิดดูก่อน แก้ไขเมื่อ 10 ก.ย. 52 15:56:25 แก้ไขเมื่อ 10 ก.ย. 52 15:44:34 จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 10 ก.ย. 52 15:41:32

ความคิดเห็นที่ 2 x = 1 + n + n^2 + . . . + n^1090 อนุกรมเรขาคณิต x = (n^1091-1)/(n-1) หาค่า n ที่ทำให้ 109 หารลงตัว (n^1091-1)/(n-1) mod 109 = 0 มีได้ค่าเดียวคือ n = 1 แต่ n เป็น 1 ไม่ได้เพราะจะทำให้ x เป็น 0 / 0 ไม่นิยาม ดังน้น ไม่สามารถหาค่า n ได้ พิมพ์ตกไป ขอโทษทีค่ะ เติม /(n-1) แก้ไขเมื่อ 10 ก.ย. 52 17:41:55 จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 10 ก.ย. 52 17:07:12

ความคิดเห็นที่ 3 คุณ mint_la ครับ ขอถามอะไรหน่อยครับ "n^1091-1 mod 109 = 0 มีได้ค่าเดียวคือ n=1" แล้วถ้า n= 110 หล่ะครับลงตัวหรือเปล่าครับ? จากคุณ : jesus_god เขียนเมื่อ : 10 ก.ย. 52 17:28:22

ความคิดเห็นที่ 4 ต้องบอกว่า หาได้ค่าเดียวมากกว่า ^^ ><~ จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 10 ก.ย. 52 17:39:23

ความคิดเห็นที่ 5 เออ ขอถามนะอีกครับ อย่าเพิ่งเบื่อนะครับ ^-^ คือผมก็ไม่เคยเรียนหรอกนะ เรื่อง mod อะไรนั่นอ่ะครับ แต่ก็พอรู้จักนิดหน่อย ผ่านสื่อทางอินเตอร์เนต แต่ว่า ผมจะรู้ได้ไงว่า "(n^1091-1)/(n-1) mod 109 = 0 มีได้ค่าเดียวคือ n = 1" คือผมสงสัยว่า n ค่าอื่นไม่มีแล้วเหรอครับ? มีการพิสูจน์ยังไงครับ? ขอโทษนะครับ ถ้าถามจู้จี้ คือผมไม่รู้จริงๆครับ จากคุณ : jesus_god เขียนเมื่อ : 10 ก.ย. 52 18:22:03

ความคิดเห็นที่ 6 ท่านเทพ jesus_god ยังไม่รับรองคำตอบ ก็แสดงว่ายังไม่มีใครขอเบิกรางวัล 109 ตำลึงทองได้นะครับ :) จากคุณ : Accenda เขียนเมื่อ : 10 ก.ย. 52 19:10:14

ความคิดเห็นที่ 7 อธิบายไม่ดีทุกทีเลยน้า mint_la X = 1 + n + n^2 + . . . + n^1090 X = (n^1091 - 1)/(n-1)   จากทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ เมื่อ 109 เป็นจำนวนเฉพาะ และ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ที่ไม่ใช่จำนวนเท่าของ 109 n^108 mod 109 =1 n^216 mod 109 = 1 n^108X mod 109 = 1 1091 /108 ไม่ลงตัว ดังนั้น ไม่มีจำนวน n ใด ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข ยกเว้น (แก้ไขเพิ่มเติม) n mod p เท่ากับ 1 แต่เนื่องจาก ตัวส่วน (n-1) จะทำให้ X = (n^1091 - 1)/(n-1)  mod 109 ไม่ลงตัว ดังนั้น ไม่มีจำนวน nใดๆที่สอดคล้อง แก้แล้วแต่เหมือนยังผิดอยู่แลยค่ะ คิดไม่ออกแล้ว >< แก้ไขเมื่อ 10 ก.ย. 52 21:50:53 แก้ไขเมื่อ 10 ก.ย. 52 20:20:39 จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 10 ก.ย. 52 20:17:13

ความคิดเห็นที่ 8 mint_la ขอยกตัวอย่างหน่อย ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ ถ้า p เป็น จำนวนเฉพาะซึ่งไม่เป้นจำนวนเท่ากับ A แล้ว A^(p-1)  mod p = 1 เช่น mint_la สมมุติ A = 3 จำนวนเฉพาะ = 5 จะได้ 3^4 mod 5 = 1 81 mod 5 = 1 ## หรือเขียนอีกแบบนึงได้ว่า 3^(5-1) - 1 mod 5 = 0 3^(5-1) - 1 หาร 5 ลงตัว ถ้ายังไม่เข้าใจ ลองเซิจใน google ดูค่ะ ไม่รู้ว่าจะผิดไหม ถ้าผิดขออภัยไว้ ณ ที่นี้ด้วยค่ะ แก้ไขเมื่อ 10 ก.ย. 52 20:40:49 จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 10 ก.ย. 52 20:38:19

ความคิดเห็นที่ 9 ขอชื่นชมในความพยายามของคุณ mint_la ให้คะแนนไปก่อนนิดนึงละกันนะครับ (จขกท. เองจะยังไม่ขอรับรองคำตอบที่ตอบมาว่าถูกหรือผิดนะครับ อย่างไรก็ตาม ยังมีจุดที่ทำให้สงสัยได้อีกพอสมควร ขอรอดูท่านอื่นๆ ไปก่อนละกันนะครับ) จากคุณ : Accenda เขียนเมื่อ : 10 ก.ย. 52 20:52:27

ความคิดเห็นที่ 10 ผมไม่ได้ว่าคุณ mint_la อธิบายไม่ดีเลยนะครับ อิอิ ว่าแต่ภาระหน้าที่นี้มันตกมาอยู่กับผมตอนไหนนี่ครับ ขอผมทำความเข้าใจสักพักนะครับ ป.ล.ผมไม่แม่นเรื่อง mod ขอแรงคุณ Accenda ช่วยสกีนอีกรอบครับ แก้ไขเมื่อ 10 ก.ย. 52 20:59:24 จากคุณ : jesus_god เขียนเมื่อ : 10 ก.ย. 52 20:58:03

ความคิดเห็นที่ 11 เพราะคุณ Accenda  เอามาถาม จึงต้้องพยายามมากหน่อย เนื่องจาก เป็น 1 คน ที่ตอบแล้วรู้สึก มีพลังขึ้นมาทันทีเลยหละค่ะ ขอบคุณสำหรับ โจทย์ดีๆ ^^ รอ คอมเม้น จาก คุณ jesus_god และท่านอื่นๆด้วยค่ะ ไม่ค่อยแน่ใจคำตอบเหมือนกัน ยิ่งถ้าเป็นคุณเซียน ด้วยแล้ว โดนหักคะแนนหมดแน่ จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 10 ก.ย. 52 20:59:15

ความคิดเห็นที่ 12 คุณ jesus_god ล้อเล่นเฉยๆ นะครับ : ) งั้นระหว่างนี้ก็ขอวิจารณ์คำตอบของคุณ mint_la ไปก่อนละกัน เอาจาก #7 นะครับ ขอแค่จุดเดียวก่อนนะครับ ตรงสองสามบรรทัดสุดท้าย การที่ 1091 หารด้วย 108 ไม่ลงตัว แล้วทำให้สรุปว่าไม่มี n ค่าอื่นที่ทำให้ = 1 mod 109 ได้อย่างไรครับ ขยายความหน่อยครับ ตรรกะของคุณ mint_la คือว่า  ถ้า n^m = 1 mod 109 แล้ว m ต้องหารด้วย 108 ลงตัวเท่านั้น หรือเปล่าครับ แต่ยกตัวอย่างกรณี p = 3 นะครับ โอเคว่า n^(p-1) = n^2 = 1 mod 3 และ n^m = 1 mod 3 เมื่อ 2 หาร m ลงตัว แต่ก็ยังมี m และ n อื่นๆ ที่ m หารด้วย 2 ไม่ลงตัว แต่ n^m = 1 mod  3 เช่น n = 4,m = 5 ทำให้ 4^5 =  1 mod 3 ทั้งๆ ที่ 2 หาร 5 ไม่ลงตัว เป็นต้นครับ แก้ไขเมื่อ 10 ก.ย. 52 23:44:50 แก้ไขเมื่อ 10 ก.ย. 52 21:50:05 แก้ไขเมื่อ 10 ก.ย. 52 21:40:47 แก้ไขเมื่อ 10 ก.ย. 52 21:39:00 จากคุณ : Accenda เขียนเมื่อ : 10 ก.ย. 52 21:20:21

ความคิดเห็นที่ 13 ขอยก #7 มาตอบใหม่ละกันค่ะ น่าจะได้แล้ว X = 1 + n + n^2 + . . . + n^1090 อนุกรมเรขาคณิต X = (n^1091 - 1)/(n-1)   ให้ A =  (n^1091 - 1) และ B = (n-1) ถ้า A หาร 109 ไม่ลงตัวแล้ว X หาร 109  ไม่ลงตัว ถ้า X หาร 109 ไม่ลงตัวแต่ A หาร 109 ลงตัว แล้ว B จะหาร 109 ลงตัว (ยกตัวอย่างกำหนด B = 5 ; 35/B หาร 5 ไม่ลงตัว แต่ 35 หาร 5 ลงตัว ดังนั้น B จะหาร 5ลงตัว) หรือในทางกลับกัน ถ้า A หาร 109 ลงตัว โดยที่ B หาร 109 ลงตัวด้วยแล้ว X จะหาร 109 ไม่ลงตัว จากทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ เมื่อ 109 เป็นจำนวนเฉพาะ และ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ที่ไม่ใช่จำนวนเท่าของ 109 n^(108X) mod 109 = 1 เนื่องจาก n^1091 = (n^1080)(n^11) ดังนั้น ถ้าให้ n^1091 mod 109 = 1 ก็ต่อเมื่อ n^11 mod 109 = 1 หรือ n mod 109 = 1 แต่เนื่องจาก n mod 109 = 1 ทำให้ n -1 หรือ B หาร 109 ลงตัว จึงทำให้ไม่มีจำนวน n ใดๆที่สอดคล้อง ทำให้ X หาร 109 ลงตัว สุดความสามารถแล้วค่ะ >< ~ แก้ไขเมื่อ 10 ก.ย. 52 22:42:55 แก้ไขเมื่อ 10 ก.ย. 52 22:38:55 แก้ไขเมื่อ 10 ก.ย. 52 21:43:25 แก้ไขเมื่อ 10 ก.ย. 52 21:40:40 แก้ไขเมื่อ 10 ก.ย. 52 21:36:38 จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 10 ก.ย. 52 21:24:32

ความคิดเห็นที่ 14 จาก #13 ของคุณ mint_la นะครับ  คำว่า "หาร" น่าจะหมายถึง "หารด้วย" หรือเปล่าครับ และยังมีจุดที่สามารถตั้งข้อสงสัยได้อยู่อีกนะครับ เช่น 1. จากที่ X = A/B แล้วสรุปว่า ถ้า  A หารด้วย 109 ลงตัว และ B หารด้วย 109 ลงตัว แล้ว X หารด้วย 109 ไม่ลงตัวนั้น ในกรณีทั่วไปอาจจะไม่จริงนะครับ เช่นในกรณีที่ A มี 109^2 เป็นตัวประกอบ และใน B มี 109 เป็นตัวประกอบอยุ่ตัวเดียว พอหา A/B ก็ยังมี 109 เป็นตัวประกอบอยู่นะครับ 2. จากส่วนแรกมายังส่วนที่สอง ที่เริ่มอ้างใช้ทฤษฎีบทฯ มันเชื่อมโยงกันอยู่ยังไงครับ น่าจะอธิบายให้คนอ่านเห็นได้ชัดเจนกว่านี้นะครับ 3. ส่วนสุดท้ายที่ได้ n^11 = 1 mod 109 แล้วสรุปว่า n = 1 mod 9 มายังไงครับ ----------------------------------------------------------------------------- โดยภาพรวมแล้วก็ถือว่าคุณ mint_la พอจะมาถูกทางนะครับ เพียงแต่เหตุผลประกอบยังไม่ชัดเจนและหนักแน่นพอ หากจะให้คะแนนแบบใจดีหน่อย จาก 10 คงให้ได้ไม่เกิน 6 ครับ เอ... นี่ก็จะเลยวันที่ 10 เดือน 9 แล้วนะครับ งั้นพอเลยเที่ยงคืนไปแล้วผมจะมาแปะเฉลยของผมนะครับ จากคุณ : Accenda เขียนเมื่อ : 10 ก.ย. 52 23:55:40

ความคิดเห็นที่ 15 ว้าว เป็นการวิธีการที่สวยงามดีครับ (แต่ไม่รู้ว่าคุณ Accenda จะมีเสริมอะไรหรือเปล่านะ) แต่ตอนนี้ผมไม่มีเสริมอะไรเลย นอกจากคำว่า หาร ควรเป็น หารด้วย เท่านั้นแหล่ะ ป.ล. Mint_la เทพีแห่งห้องคณิตศาสตร์ จากคุณ : jesus_god เขียนเมื่อ : 10 ก.ย. 52 23:56:42

ความคิดเห็นที่ 16 แง้้้ ผิดอีกเยอะเลยจริงๆด้วย ดูเป็นต่ออยู่อ่ะค่ะ ^^ แต่สัญญาว่าจะคิดต่อให้เสร็จ พรุงนี้ค่อยเฉลยนะน้าาา จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 10 ก.ย. 52 23:58:45

ความคิดเห็นที่ 17 อ้าว กำลังอยากจะเฉลยพอดี ว่าแต่คุณ mint_la ก็ได้ idea มาพอสมควรแล้วนะครับ ตกลงอยากให้รอไปก่อนหรืออยากให้เฉลยครับ (จขกท. ไม่อยากรอแล้วครับ แหะๆ) จากคุณ : Accenda เขียนเมื่อ : 11 ก.ย. 52 00:04:08

ความคิดเห็นที่ 18 ผ่านวันที่ 10 เดือน 9 แล้ว รางวัล 109 ตำลึงทอง ไม่ต้องมอบแล้ว แต่ยอมรับจริงๆ ว่าคุณ Mint_la ความพยายามสูงมาก จากคุณ : jesus_god เขียนเมื่อ : 11 ก.ย. 52 00:22:38

ความคิดเห็นที่ 19 งั้นขออนุญาตเฉลยนะครับ ท่านใดที่ยังอยากคิดดูก่อนก็อย่าเพิ่งอ่านละกันครับ   ในเฉลยนี้มีการใช้สัญลักษณ์ "a ขีดแนวนอนสามขีด b (mod n)" อ่านว่า "a คอนกรุเอนซ์ (congruence) กับ b มอดูโล n" ซึ่งหมายถึง a - b หารด้วย n ลงตัวนะครับ นอกจากนี้ก็มีการใช้สมบัติพื้นฐานง่ายๆ ของคอนกรุเอนซ์มอดูโล n นิดหน่อยครับ แต่ที่สำคัญ มีการอ้างใช้ Fermat's Little Theorm ซึ่งเดี๋ยวผมจะพิสูจน์ที่มาให้ดูข้างล่างด้วยครับ หมายเหตุ ขออภัยที่ต้องใช้ภาษาอังกฤษนะครับ บังเอิญใช้ Latex สะดวกกว่ามาก และใน Latex ผมยังพิมพ์ไทยไม่ได้ครับ หากมีข้อสงสัย ข้อท้วงติง หรือข้อแนะนำในจุดใด ขอเชิญแลกเปลี่ยนได้เต็มที่ครับ จากคุณ : Accenda เขียนเมื่อ : 11 ก.ย. 52 00:26:11

ความคิดเห็นที่ 20 ส่วนนี่คือ Fermat's Little Theorem นะครับ จะเห็นว่าการพิสูจน์ข้างล่างนี้ไม่ยากเลย เพียงแต่ใช้ทฤษฏีบททวินาม (Binomial Theorem) กับ Mathematical Induction ก็พอแล้ว เช่นเคยนะครับ หากมีข้อสงสัย ข้อท้วงติง หรือข้อแนะนำในส่วนใด เชิญพูดคุยได้เต็มที่ครับ (ได้ทั้งในส่วนของคณิตศาสตร์และในส่วนของภาษาอังกฤษนะครับ) จากคุณ : Accenda เขียนเมื่อ : 11 ก.ย. 52 00:34:33

ความคิดเห็นที่ 21 สงสัยค่ะ (-" - )/ ทำไม n^2-1 หาร 109 ลงตัว พอมาตอนหลังกลายเป็น 109 หาร n^2 - 1 ลงตัวอ่ะคะ อย่างเช่น 6 หาร 2 ลงตัว ไม่ได้หมายความว่า 2 หาร 6 ลงตัวนี่นาคะ(เศษ2 ) จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 11 ก.ย. 52 01:04:20

ความคิดเห็นที่ 22 : ) ตรงไหนครับ mint_la ? a ขีดสามขีด b (mod n) หมายถึง a - b หารด้วย n ลงตัวนะ คำว่า x หาร  (divides) y หมายถึง x เป้นตัวหาร y เป็นตัวตั้ง คำว่า x หารด้วย (is divided by) y หมายถึง x เป็นตัวตั้ง y เป็นตัวหารนะ จากคุณ : Accenda เขียนเมื่อ : 11 ก.ย. 52 01:11:07

ความคิดเห็นที่ 23 เข้าใจแล้วค่ะ ไม่เข้าใจตอนสุดท้าย บรรทัดที่ 4 จากล่าง ที่บอกว่า n  หาร 109 เหลือเศษ 1นี้ มันแปลกๆไหมคะ ถ้าแทน n ด้วย 3 ก็ไม่ได้แล้วอ่ะค่ะ แก้ไขเมื่อ 11 ก.ย. 52 01:29:11 จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 11 ก.ย. 52 01:28:20

ความคิดเห็นที่ 24 ตอบ #23 นะครับ mint_la ต้องอ่านข้อความทั้งประโยคนะ ข้อความนั้นพูดว่า ถ้า 109 หาร n - 1 ลงตัว แล้ว n congruence กับ 1 mod 109 อันนี้ก็คือความหมายตามบทนิยามของคอนกรุเอนซ์ไงครับ โครงสร้างของการพิสูจน์ในเฉลย เริ่มจากการสมมติว่าถ้ามี n อย่างที่ว่าในตอนเริ่มต้นของการพิสูจน์ แล้วก็จะทำให้ได้ผลลัพธ์ต่างๆ ส่งต่อกันมาเรื่อยๆ นะ สุดท้ายก็มาเจอ contradiction mint_la ต้องดูโครงสร้างทาง logic ของการพิสูจน์ให้ดีนะ ในช่วงท้ายก่อนจะขึ้นย่อหน้าสุดท้าย เราพบว่าจากที่ทำมาจะมีความเป็นไปได้สองกรณี และในย่อหน้าสุดท้าย ก็เป็นการแสดงว่า ทั้งสองกรณีจะนำไปสู่ contradiction หมดเลย แก้ไขเมื่อ 11 ก.ย. 52 01:57:52 แก้ไขเมื่อ 11 ก.ย. 52 01:55:24 จากคุณ : Accenda เขียนเมื่อ : 11 ก.ย. 52 01:36:27

ความคิดเห็นที่ 25 อ่านแล้ว งงโครงสร้างนิดหน่อยค่ะ คือต่างจากของมิ้น ตรงที่ว่า ตอนแรก ให้ X หาร ลงตัวแล้ว จะได้ n แบบนี้ออกมา ตอนหลังเอาค่า n ที่ได้ ไปแทนในสมการ แล้วปรากฏว่า ทำให้หาร 109 ไม่ลงตัวคือได้เศษ 1 ไม่ก็ -1 ทำให้ขัดแย้งกับ ข้อความเดิมที่ว่า X หาร 109 ได้ลงตัว ดังนั้น สรุปว่าไม่มี n ตามเงื่อนไข สุดยอดเลยย  ค่ะ ปล.เราไปหลงทำอะไรอยู่เนี่ยย T-T จากคุณ : หลานแว่น (mint_la) เขียนเมื่อ : 11 ก.ย. 52 01:56:31

ความคิดเห็นที่ 26 อีกนิดนะครับ mint_la : ) mint_la น่าจะระวังการใช้คำว่า "หาร"  "หารด้วย" "หารลงตัว" อะไรพวกนี้ให้ถูกนะ อย่างใน #25 ก็ยังพูดผิดอยู่เลย ทั้งที่ผมและคุณ jesus_god ก็ทักมาแล้วหลายรีพลาย อย่าง "ให้ X หาร ลงตัว... " ควรพูดให้ชัด ให้ถูกไปเลยว่า "ให้  X หารด้วย 109 ลงตัว" นะครับ : ) (เพราะ X ของ mint_la คือ 1 + ... + n^1090 มันคือตัวตั้ง ไม่ใช่ตัวหาร) แต่อย่างไรตาม ก็ขอชื่นชมอีกครั้งในความพยายามนะครับ   จากคุณ : Accenda เขียนเมื่อ : 11 ก.ย. 52 02:11:05