ความคิดเห็นที่ 1 ขอใบ้ข้อ 1 ก่อนละกันครับ : )   [จะเป็นการ spoil หรือเปล่าเนี่ย] เทคนิคนึงคือพิจารณาพหุนาม Q(x) = P(x) + x - 2007   จากคุณ : Accenda เขียนเมื่อ : 14 ต.ค. 52 18:26:39

ความคิดเห็นที่ 2 ขอแอบงงนิดนึงอะครับ สัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็น 1 ไม่ได้แปลว่า P(X) = 1 + 1*X + 1*X^2 + ... + 1*X^2008 หรือครับ จากคุณ : IsaKlui เขียนเมื่อ : 14 ต.ค. 52 18:45:57

ความคิดเห็นที่ 3 ^ ^ ^ เออ... ใช่แฮะ สงสัย จขกท. จะหมายถึงสัมประสิทธิ์นำหรือเปล่าครับ จากคุณ : Accenda เขียนเมื่อ : 14 ต.ค. 52 18:49:46

ความคิดเห็นที่ 4 แล้วผมจะขออนุญาตตอบข้อ 2 ได้เปล่าครับ : ) จาก (x + y)^ 2 = (x + 1)(y - 1) = xy - x + y - 1   ......... [1] กระจายตรงๆ และจัดรูปนิดนึง จะได้ x^2 + y^2 = - xy - x + y - 1 จัดรูปใหม่จะได้ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = - xy + x - y + 1 = - ( xy - x + y - 1) ......... [2] จากสมการ [1] และ [2] จะเห็นว่า (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = -(x + y)^2 (x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (x + y)^2 = 0 แต่ x และ y เป็นจำนวนจริง จึงได้ว่า x = -1 และ y = 1 เท่านั้น   จากคุณ : Accenda เขียนเมื่อ : 14 ต.ค. 52 18:58:09

ความคิดเห็นที่ 5 ข้อ1. อ่านโจทย์แล้วไม่ค่อยเข้าใจเท่าไหร่ แต่ถ้าให้มั่วก็ตอบว่าP(2008)  = -1 ละกัน เพราะจากโจทย์จะเห็นว่า x + P(x) = 2007 มั่วแบบขอไปที ไปหรือเปล่าคับ -*- ข้อ 2.  x= -1 , y =1 (x+y)^2 = (x+1)(y-1) จัดรูปจะได้ x^2 + (y+1)x + (y^2 - y + 1) = 0 ดังนั้น x = [-(y+1) + ((y+1)^2 - 4(y^2 - y + 1))^(1/2)]/2 หรือ x = [-(y+1) - ((y+1)^2 - 4(y^2 - y + 1))^(1/2)]/2 จึงได้ว่า (y+1)^2 - 4(y^2 - y + 1) >= 0 (y-1)^2 <= 0 นั่นคือ y=1 จึงจะมี x ที่เป็นจำนวนจริง ก็เอาy=1 ไปแทนในสมการโจทย์จะได้ x = -1 ข้อ 3 ตอนนี้ยังไม่มีปัญญาคับขอเวลาคิดก่อน จากคุณ : อิอิคุง เขียนเมื่อ : 14 ต.ค. 52 19:05:48

ความคิดเห็นที่ 6 ข้อ 3 ก่อนอื่นย้าย (x)^1/2 ไปอยู่ทางขวากับเลข 1 แล้วยกกำลังสองทั้งสองข้าง สังเกตว่าจะเกิด x ทางซ้ายและขวา ทำให้หักล้างกันได้ ทางขวาเหลือ 2(x)^1/2 + 1 ยกกำลังสองทั้งสองข้างอีก สังเกตว่าจะเกิด 4x ทางซ้ายและขวา ทำให้หักล้างกันได้ ทางขวาเหลือ 4(x)^1/2 + 1 ทำแบบนี้ไปเรื่อยๆ สุดท้ายก็จะได้สมการ 3 = 2^(2009)(x)^(1/2) + 1 จึงได้ x = (1/2)^(4016) ยกกำลังไปมาชักงง รบกวนท่านอื่นช่วยเช็คด้วยครับ --------------------- ไหนๆ ก็เข้ามาตอบแล้ว ขอตอบข้อ 1 ให้ตลอดละกันครับ ถ้าเข้าใจโจทย์ไม่ผิด จาก คห #1 จะได้ Q(0) = Q(1) = ... = Q(2007) = 0 ดังนั้น P(x) + x - 2007 = Q(x) = x(x-1)...(x-2007)   P(x) = x(x-1)...(x-2007) + 2007 - x ===> P(2008) = 2008! - 1   --------------------------------------------- (แก้ไข error ข้อ 3 กับแก้คำผิด ...ขอบคุณ คห #7 ครับ) แก้ไขเมื่อ 14 ต.ค. 52 19:31:53 แก้ไขเมื่อ 14 ต.ค. 52 19:27:11 จากคุณ : Accenda เขียนเมื่อ : 14 ต.ค. 52 19:10:47

ความคิดเห็นที่ 7 ทำแบบเดียวกับที่คห 6บอกมันได้ x = (1/2)^4016 อะ จากคุณ : อิอิคุง เขียนเมื่อ : 14 ต.ค. 52 19:22:20

ความคิดเห็นที่ 8 ขออนุญาต จขกท. พ่วงไปด้วยอีกข้อนะครับ เป็นเรื่องพหุนามคล้ายๆ กับข้อ 1 เหมือนกัน เผื่อท่านใดอยากลองคิดเพิ่มเติม -------------------------------------------------------------------------------------- ให้ P(x) เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนเต็ม   โดยที่ P(2007) = P(2008) = P(2009) = 2551 จงพิสูจน์ว่า ไม่มีจำนวนเต็ม a ที่ทำให้ P(a) = 0 -------------------------------------------------------------------------------------- แก้ไขเมื่อ 14 ต.ค. 52 20:12:33 จากคุณ : Accenda เขียนเมื่อ : 14 ต.ค. 52 19:53:35

ความคิดเห็นที่ 9 ขอลองมั่วของคุณ Accenda ดูครับ พิสูจน์โดย Contradiction ให้ มีจำนวนเต็ม a ที่ทำให้ P(a) = 0 จะได้ว่า P(x) = (x-a)G(x) เมื่อ G(x) เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนเต็ม แทนค่า P(2007) = 2551 จะได้ว่า P(2007) = (2007-a)G(2007) = 2551 แต่ G(x) เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นจะได้ว่า a = 2006 (2551 เป็น Prime number) เมื่อแทนค่า P(2006) = 2551 และ a = 2006 จะได้ว่า P(2006) = (2006-2006)G(2006) = 2551 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นไม่มีจำนวนเต็ม a ที่ทำให้ P(a) = 0 ครับ พอได้ไหม อิอิ จากคุณ : IsaKlui เขียนเมื่อ : 14 ต.ค. 52 20:31:16

ความคิดเห็นที่ 10 อ้างอิงจาก #9 โดยคุณ IsaKlui นะครับ ----- P(2007) = (2007-a)G(2007) = 2551 แต่ G(x) เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นจะได้ว่า a = 2006 (2551 เป็น Prime number) ----- ^ ^ ทำไมถึงสรุปตรงนี้ว่า a = 2006 ครับ เพราะการที่จำนวนเต็ม x,y คูณกันได้ xy = 2551 นั้นมีความเป็นไปได้มากกว่าการที่ x = 1, y = 2551 นะครับ (เช่น x = 2551, y = 1 หรือ x,y อาจจะเป็นลบก็ได้) อ้างอิงอีกที่ครับ ----- เมื่อแทนค่า P(2006) = 2551 . . . ----- ^ ^ อันนี้มาจากไหนครับ เพราะผมไม่ได้กำหนดให้ P(2006) = 2551 แต่ว่า idea ก็พอเข้าเค้าแล้วนะครับ จากคุณ : Accenda เขียนเมื่อ : 14 ต.ค. 52 20:48:34

ความคิดเห็นที่ 11 แว้กจริงด้วยครับ งงไปหน่อย ยังงั้นแก้นิดนึง >< P(2007) = (2007-a)G(2007) = 2551 จะได้ว่า a = 2006,2008,4558,-544 ครับ เมื่อแทน P(2008) = (2008-a)G(2008) = 2551 จะได้ว่า 2 G(2008) = 2551 หรือ 0 G(2008) = 2551 หรือ 2550 G(2008) = 2551 หรือ 2552 G(2008) = 2551 ซึ่งทั้งสี่กรณีจะทำให้ได้ค่า G(2008) เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หรือหาค่าไม่ได้ ดังนั้นไม่มีค่า a ที่เป็นไปได้ครับ ถูกหรือยังอ่า >.< ผมว่ามันยังดูไม่ค่อยสวยเลยอะครับ แหงะๆ แก้ไขเมื่อ 14 ต.ค. 52 22:11:35 แก้ไขเมื่อ 14 ต.ค. 52 22:11:06 จากคุณ : IsaKlui เขียนเมื่อ : 14 ต.ค. 52 22:10:09

ความคิดเห็นที่ 12 #11 เท่าที่อ่านดูคิดว่าถูกต้องแล้วครับ (แต่ยังมีเครื่องหมายผิดอยู่บางที่นะครับ) ...ไม่เลวครับ คุณ IsaKlui : ) ตกลงผมให้เงื่อนไขมาเยอะเกิน เพราะเราไม่ต้องใช้ P(2009) = 2551 ด้วยซ้ำ ------------ ผมมีสงสัยตัวเองอยู่นิดนึงว่า จะแน่ใจได้ไงว่า G(x) มีสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนเต็ม คือดูผ่านๆ ก็คิดว่าใช่ แต่ก็ไปคิดถึงบางกรณีที่พหุนามที่มี สปส ไม่ใช่จำนวนเต็มสองพหุนาม ที่คูณกันแล้วกลายเป็นพหุนามที่มี สปส เป็นจำนวนเต็มน่ะครับ แต่สุดท้ายก็เห็นว่า เราสามารถแสดงได้ครับ ว่าในกรณีนี้ G(x) อยู่ใน Z[x] แน่ๆ ประเด็นนี้ก็เลยผ่าน (ท่านใดจะลองแสดงดูเพื่อความแน่ใจก็ได้นะครับ) หมายเหตุ: Z[x] คือเซตของพหุนามที่มี สปส เป็นจำนวนเต็ม ------------ ส่วนนี่คือวิธีที่ผมกะไว้ครับ พิจารณา Q(x) = P(x) - 2551 จะเห็นว่า Q(2007) = Q(2008) = 0 ดังนั้น Q(x) = (x-2007)(x-2008)G(x)  โดยที่ G(x) อยู่ใน Z[x] นั่นคือ P(x) - 2551 = (x-2007)(x-2008)G(x) สมมติว่ามีจำนวนเต็ม a ที่ P(a) = 0 จะได้ -2551 = (a-2007)(a-2008)G(a) สังเกตว่า a - 2007 และ a - 2008 เป็นจำนวนเต็มสองตัวที่อยู่ติดกัน แต่เราสามารถตรวจสอบได้ง่ายว่า -2551 ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป ผลคูณของจำนวนเต็มที่มีสองจำนวนในผลคูณเป็นตัวเลขที่อยู่ติดกันได้ จึงเกิดข้อขัดแย้งครับ : ) ----------- ป.ล. ต้องขอโทษคุณ It's my way จขกท. นี้ด้วยครับที่ใช้เนื้อที่ไปเยอะเลย แต่ก็เข้าใจว่า่น่าจะเกี่ยวกับโจทย์ข้อ 1 อยู่บ้างนะครับ : ) จากคุณ : Accenda เขียนเมื่อ : 14 ต.ค. 52 23:57:05

ความคิดเห็นที่ 13 ขอบคุณครับ . . . แต่วิธีพิสูจน์ของคุณ Accenda สวยกว่าเยอะเลยหงะ >.< แก้ไขเมื่อ 15 ต.ค. 52 00:22:14 จากคุณ : IsaKlui เขียนเมื่อ : 15 ต.ค. 52 00:21:02

ความคิดเห็นที่ 14   ป.ล. ต้องขอโทษคุณ It's my way จขกท. นี้ด้วยครับที่ใช้เนื้อที่ไปเยอะเลย แต่ก็เข้าใจว่า่น่าจะเกี่ยวกับโจทย์ข้อ 1 อยู่บ้างนะครับ : ) ยินดีเป็นอย่างยิ่งครับคุณ Accenda ถือว่าได้แลกเปลี่ยนความรู้กันครับ สำหรับคำตอบทั้งสามข้อ ข้อ 1 ตาม #6 ข้อ 2 ตาม #4,5 ข้อ 3 ตาม #6 (ส่วนตัวชอบโจทย์ข้อนี้จังครับ โจทย์สวย คำตอบสวย) ขออภัยที่โจทย์บางข้ออาจไม่เคลียร์ ผมแปลมาอีกที เลยอาจคลาดเคลื่อนบ้าง จากคุณ : It's my way เขียนเมื่อ : 15 ต.ค. 52 00:53:48