ความคิดเห็นที่ 1   โอกาสโยน3ครั้งติดต่อกันแล้วไม่เจอ1 เป็น (5/6)^3=57.87% โอกาสโยน4ครั้งติดต่อกันแล้วไม่เจอ1 เป็น (5/6)^4=48.23% จึงมีโอกาสครึ่งต่อครึ่งที่จะเจอแต้ม1ในครั้งที่4 แต่เนื่องจากเรามีโอกาสโยนถึง10ครั้ง ดังนั้นจึงน่าเสี่ยงที่จะโยนให้ได้แต้ม4ครั้งติดต่อกันแล้วจึงหยุดครับ แก้ไขเมื่อ 16 พ.ย. 52 12:13:19 จากคุณ : หนุ่มสอนราม (หนุ่มสอนราม) เขียนเมื่อ : 16 พ.ย. 52 12:12:30

ความคิดเห็นที่ 2 ยากแหะ ยังนึกวิธีไม่ออก ผมแย้งคห 1 เล็กน้อย สมมุติว่าให้ Ex(n) เป็นคะแนนที่จะได้เมื่อโยน n ครั้ง ซึ่ง Expected Value ต่อกา่รโยน 1 ครั้ง = 3 ดังนั้น Ex(4) = 12 สมมติว่าโยนครั้งที่ 5 ได้ 1 คือ reset แต้มเป็น 0 เราจะพบว่้าเหลือโอกาสโยนอีก 5 ครั้ง ซึ่งมี Ex(5) = 15 สูงกว่าการหยุด เราไม่น่าจะต้องหยุดเล่นในครั้งที่ 4 ครับ แม้ว่าโอกาสซวยจะสูงเกินครึ่งแล้วก็ตาม เพราะยังมีโอกาสเอาคืน จากคุณ : house (panote_saechiew) เขียนเมื่อ : 16 พ.ย. 52 12:17:54

ความคิดเห็นที่ 3 สมมุตโยนมา n ครั้ง คะแนน k กรณีหยุด คะแนน = k กรณีทอย แล้วได้ = 5/6*(3+k) กรณีทอยแล้วเสีย = 0+Ex(10-n)= 3*(10-n-1) เท่าที่นึกออกคือ ผมเล่นไปเรื่อยๆ โดยเลือกทางเลือกที่ดีที่สุดในสามทางนี้แหละครับ จากคุณ : house (panote_saechiew) เขียนเมื่อ : 16 พ.ย. 52 12:22:03

ความคิดเห็นที่ 4   งั้นผมคิดต่อจาก #1 ซึ่งผมได้แล้วว่าจุดเหมาะสมที่สุดคือการได้แต้มติดต่อกัน 4 ครั้ง แต้มเฉลี่ยต่อการโยน1ครั้ง=(0+3+4+5+6)/5=3.6 ดังนั้นมีโอกาสที่จะได้แต้มประมาณ 3.6x4=14.4 แต้ม ก็นำมาใช้เป็นเกณฑ์ได้ว่าถ้าโยนได้แต้มรวมเกิน14แต้มแล้วหยุดได้ครับ จากคุณ : หนุ่มสอนราม (หนุ่มสอนราม) เขียนเมื่อ : 16 พ.ย. 52 12:32:48

ความคิดเห็นที่ 5 ถ้าทำตาราง แต้มเฉลี่ย ต่อ ความน่าจะเป็น แล้วก็พอจะตัดสินใจได้นะครับ No  Point   SurvivalRate 1      3.6        83.33 2      7.2        69.44 3    10.8        57.86 4    14.4        48.22 5    18.0        40.18 6    21.6        33.48 7    25.2        27.90 8    28.8        23.25 9    32.4        19.37 10  36.0        16.14 ถ้าทอยได้เกิน 14.4 ก็น่าจะหยุดแล้วครับ เป็นจุดเซฟ ----------------- แก้ไขแนวคิดหน่อย แก้ไขเมื่อ 16 พ.ย. 52 13:36:08 จากคุณ : geefa เขียนเมื่อ : 16 พ.ย. 52 13:34:09

ความคิดเห็นที่ 6 ไม่มั่นใจนะครับ ถ้าเป็นผมผมจะทำแบบนี้ ลองทอย 4 ครั้งก่อน ถ้าแต้มรวมน้อยกว่า 12 แต้ม ก็ทอยอีกครัง(ครั้งที่ 5) ถ้าได้มากกว่าหรือเท่ากับ 12 ก็หยุดเกมนะการทอยครั้งนั้น (ครั้งที่ 4) แต่ ถ้ายังได้แต้มน้อยกว่า 12 ( ออก 1 หรือ 2 ) ในกรณีที่ออก 1 ในครั้งที่ 5 ก็ทอยไปอีก 4 ครั้ง (คือการทอยถึงครั้งที่ 9 นั่นเอง) ถ้าน้อยกว่า 12 ก็ทอยอีกครั้ง แต่ถ้ามากกว่าหรือเท่ากับ 12 ก็หยุดเกม ณ.ตาที่ 9 ในกรณีที่ออก 2 ในครั้งที่ 5 ก็ให้ทอยไปจนกว่าจะเกิน 12 เกินเมื่อไหร่ก็หยุด ไม่เกินก็ถือว่าโชคไม่ดี >-< แก้ไขเมื่อ 16 พ.ย. 52 14:43:05 จากคุณ : jesus_god เขียนเมื่อ : 16 พ.ย. 52 14:35:35

ความคิดเห็นที่ 7 คุณ house และ คุณหนุ่มสอนราม ผมว่าแต้มเฉลี่ยในการโยนแต่ละครั้งไม่เป็นค่าคงที่นะครับ เช่น ค่าคาดหมายของคะแนนจากการโยนครั้งที่ 1 (0 + 0 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 18/6 = 3 ค่าคาดหมายของคะแนนรวมจากการโยนครั้งที่ 2 (0 + 3 + 6 + 7 + 8 + 9)/6 = 5.5 หมายความว่าค่าคาดหมายของคะแนนที่ได้จากการโยนครั้งที่ 2 เท่ากับ 2.5 #5 คุณ geefa ไม่แน่ใจว่าผมเข้าใจตารางรึเปล่านะครับ สมมติว่าตอนนี้ผมโยนครั้งที่ 4 และได้คะแนนรวม 15 ตารางดังกล่าวแนะนำให้ผมหยุดใช่มั้ยครับ? เพราะตารางบอกว่าถ้าโยนอีกครั้งผมมีโอกาสได้ 1 สูง!!! แบบนี้รึเปล่า? #6 คุณ jesus_god ตัวเลข 12 นี่ มีที่มาที่ไปยังไงครับ จากคุณ : ศล เขียนเมื่อ : 16 พ.ย. 52 15:15:18

ความคิดเห็นที่ 8   คุณศล แต้มเฉลี่ยที่คุณคิดไม่คงที่เนื่องจากคุณไปคิดการทอยลูกเต๋าได้แต้ม1ด้วย แต่ผมตัดกรณีได้แต้ม1ออกเพื่อคิดกรณีที่เป็นคะแนนติดต่อกันเท่านั้น เพราะหากคะแนนถูกresetแล้ว ก็ไม่จำเป็นต้องนำมาคิดค่าเฉลี่ยของการได้คะแนน ดังนั้นจะได้ค่าคงที่คือ3.6 ตามที่คุณgeefaสรุปเป็นตารางค่อนข้างชัดเจนแล้วครับ หมายความว่าถ้าตั้งใจทอยได้แต้มติดกัน4ครั้ง แต่ไปเจอ1ในครั้งที่3แสดงว่าต้องทอยต่อถึงครั้งที่7 และการคิดคะแนนก็จะคิดเฉพาะครั้งที่4ถึง7เท่านั้น(จึงไม่ต้องนำ3ครั้งแรกมาหาค่าเฉลี่ย) ส่วนการจะดูว่าจะหยุดอยู่ที่ได้แต้ม4ครั้งหรือจะทอยต่อหากคะแนนไม่เกิน14 ขึ้นอยู่กับว่าแต้มที่ได้มีความสำคัญแค่ไหน หากนำแต้มที่ได้ไปแลกของรางวัลก็คงหยุดได้โดยไม่ต้องดูว่าแต้มมากหรือน้อย แต่หากเป็นการแข่งขันเพื่อหาผู้ชนะ ถ้าแต้มไม่เกิน14จะมีโอกาสแพ้สูง กรณีนี้ก็ควรจะทอยต่อ ซึ่งจะกดดันอีกฝ่ายให้ทอยจนได้แต้ม1ไปด้วยครับ แก้ไขเมื่อ 16 พ.ย. 52 20:06:01 จากคุณ : หนุ่มสอนราม (หนุ่มสอนราม) เขียนเมื่อ : 16 พ.ย. 52 19:46:34

ความคิดเห็นที่ 9 ตัวเลข 12 เกิดจากกับดักทางความคิดของผมเองครับ คือ ตอนแรกผมคิดแบบคุณศลเลยคือ ค่าความคาดหมายเป็นดังนี้ โยนครั้งที่ 1  (0 + 0 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 18/6 = 3         โยนครั้งที่ 2  (0 + 3 + 6 + 7 + 8 + 9)/6 = 5.5 โยนครั้งที่ 3  (0 + 5.5 + 11.5 + 12.5 + 13.5 + 14.5)/6 ประมาณ 9.6 โยนครั้งที่ 4  (0 + 9.6 + 21.1 +22.1 +23.1 +24.1)/6 ประมาณ 16.7 และโอกาสที่โยน 4 ครั้งติดกันแล้วหน้า 1 ไม่ออกนั้น = (5/6)4*100 = 48.23% แต่ที่ผมติดกับดักทางความคิด(ที่ผิด)ของตัวเองคือ ผมดันไปมองว่าโยนครั้งที่ 3 ได้ 9.6 และโยนครั้งที่ 4 ได้ 16.7 แสดงว่าโยนเพิ่ม 1 ครั้ง แต้มได้เพิ่มขึ้นมา 16.7-9.6 = 7.1 แต้ม ซึ่งลูกเต๋าแต้มมันสูงสุดคือ 6 แต้ม อ้าวว แล้วนี่มันได้ 7.1 แต้ม ผมก็เลยคิดว่าผมคิดวิธีนี้ผิด ผมก็เลยคิดว่า หรือที่ถูกมันจะเป็นอย่างนี้น้าาา ค่าความคาดหมาย โยนครั้งที่ 1,2,3,4,...,9,10 =  (0 + 0 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 18/6 = 3 โยน 4 ครั้งก็น่าจะ 4*3 = 12 นี่แหล่ะครับที่มาของเลข 12 ของผม (ที่มันผิดนั่นเอง) แล้วถ้าให้ผมตอบใหม่ละ ผมก็คงจะเปลี่ยนเลข 12 เป็น 16.7 (แต่ผมขอไม่ตอบดีกว่า) อ่อผมลองโยนลูกเต๋าแบบ random ตาละ 10 ครั้ง 3 ตา โดยลองแบบนับแต้มที่เหลือตอนสุดท้ายเลย แล้วใช้กติกาตามโจทย์ทุกอย่าง ได้ผลดังนี้ เกมแรก ได้แต้มที่เหลือจากการทอย 10 ครั้ง คือ 31 เกมสอง ได้แต้มที่เหลือจากการทอย 10 ครั้ง คือ 28 เกมสาม ได้แต้มที่เหลือจากการทอย 10 ครั้ง คือ 30 (เอามาให้ดูเฉยๆนะครับ) จากคุณ : jesus_god เขียนเมื่อ : 16 พ.ย. 52 20:00:36

ความคิดเห็นที่ 10 [เพิ่มเติม] ลองทอยจริงๆดู ตาละ 10 ครั้ง อีก 2 ตา โดยลองแบบนับแต้มที่เหลือตอนสุดท้ายเลย แล้วใช้กติกาตามโจทย์ทุกอย่าง ได้ผลดังนี้ เกมสี่ ได้แต้มที่เหลือจากการทอย 10 ครั้ง คือ 0 เกมห้า ได้แต้มที่เหลือจากการทอย 10 ครั้ง คือ 0 แตกต่างจากเกมหนึ่ง สอง สาม ราวฟ้ากับเหว (สงสัยดวงตก) 555+ จากคุณ : jesus_god เขียนเมื่อ : 16 พ.ย. 52 20:08:32

ความคิดเห็นที่ 13 คุณหนุ่มสอนราม พอเข้าใจแล้วครับว่า คุณคิดเฉพาะกรณีที่ไม่เกิดแต้ม 1 เลย แต่ผมไม่เห็นด้วยว่าการคิดด้วยวิธีดังกล่าวจะบอกอะไรได้ เช่น สมมติผมทอยได้ 15 ผมควรจะหยุด? เพราะตารางบอกว่า ผมมีโอกาสได้ 1 เพิ่มมากขึ้นในการทอยครั้งถัดไป! (ฟังดูแปลกมั้ยครับ ทั้ง ๆ ที่โอกาสได้ 1 ในการทอยแต่ละครั้งเป็นอิสระจากกัน) พอลองคิดดู สมมติตอนนี้ผมได้ 15 ในการทอยครั้งถัดไป คะแนนที่เป็นไปได้ของผมคือ 0 เมื่อทอยได้ 1 15 เมื่อทอยได้ 2 18 เมื่อทอยได้ 3 19 เมื่อทอยได้ 4 20 เมื่อทอยได้ 5 21 เมื่อทอยได้ 6 ค่าคาดหมายเท่ากับ (0 + 15 + 18 + 19 + 20 + 21)/6 = 93/6 = 15.5 > 15 ทำไมผมถึงควรเลือกที่จะหยุด? และถ้าสมมติว่าผมทอยได้ 15 ตั้งแต่ครั้งที่ 4? เหตุผลที่ของคุณ house ใน 2 ก็น่าจะนำมาพิจารณาด้วยนะครับ จากคุณ : ศล เขียนเมื่อ : 17 พ.ย. 52 10:35:13

ความคิดเห็นที่ 14 คือ ถ้าโยนแล้วได้ 1 นี่ซวยหมาเลยอ่ะ ได้ๆ น่าสนุกขอกลับไปคิดก่อนน่ะครับ จากคุณ : Santa_Baby เขียนเมื่อ : 17 พ.ย. 52 11:04:50

ความคิดเห็นที่ 15 avg for 1 time = 3.000 avg for 2 time = 5.524 avg for 3 time = 7.593 avg for 4 time = 9.292 avg for 5 time = 10.745 avg for 6 time = 11.991 avg for 7 time = 12.997 avg for 8 time = 13.830 avg for 9 time = 14.508 avg for 10 time = 15.120 ขออนุญาตขี้โกงครับ เขียนโปรแกรมให้มันช่วยคิด ได้ค่าเฉลี่ยมาดังนี้อ่ะครับ แต่คำตอบของคำถามเรื่อง strategy อันนี้ยังคิดไม่ออกครับ จากคุณ : Santa_Baby เขียนเมื่อ : 17 พ.ย. 52 12:43:46

ความคิดเห็นที่ 16 ผลจากโปรแกรม ใกล้เคียงกับการคำนวณครับ คะแนนรวมเฉลี่ยในการโยนครั้งที่ n ที่ผมคิดไว้ได้ xn = xn-1 + (3 - xn-1/6) เมื่อ x0 = 0 จากคุณ : ศล เขียนเมื่อ : 17 พ.ย. 52 13:18:11

ความคิดเห็นที่ 17   คุณศล ตามความเห็นผมการทอยลูกเต๋าแต่ละครั้งเป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกันก็จริง แต่ถ้าเป็นการทอยอย่างต่อเนื่อง จะต้องดูภาพรวมในเชิงสถิติ กรณีการทอยแต่ละครั้งโอกาสเกิด 1 เป็น 16.7% ซึ่งก็เท่ากับโอกาสเกิดแต้มอื่น ถ้าเราคิดว่าโอกาสเกิด 1 น้อย เราก็ทอยไปได้เรื่อยๆไม่มีสิ้นสุด จึงไม่ใช่วิธีที่ถูกต้อง เพราะในความเป็นจริงแล้วถ้าแต้ม 1 ยังไม่ออก ในครั้งต่อไปโอกาสเกิดจะมีมากขึ้น ถ้าคิดค่าคาดหมายตามที่คุณศลยกตัวอย่าง จะได้ว่าค่าคาดหมายที่ควรหยุดทอยได้คือ 18 คะแนน แต่ถ้าจะให้ถูกต้องตามความเป็นจริงต้องนำโอกาสในการขึ้นแต้มแต่ละแต้มมาคิดน้ำหนักด้วย เช่นกรณีเราได้แต้มรวม 15 คะแนนหลังการทอยครั้งที่ 4 (สมมุติว่าได้ 4+3+3+5 แต้ม) โอกาสเกิดแต้มครั้งต่อไปเป็นดังนี้ 1 = 23.1% 2 = 23.1% 3 = 7.7% 4 = 11.5% 5 = 11.5% 6 = 23.1% (เนื่องจากแต้ม 1,2,6 ยังไม่ออกจึงมีโอกาสเกิดมากขึ้น ขณะที่แต้ม 3 เกิดขึ้นแล้วถึง 2 ครั้งจึงมีโอกาสเกิดน้อยที่สุด) เมื่อนำมาคิดค่าคาดหมายโดยใช้น้ำหนักจะได้เท่ากับ 0 x 0.231 + 15 x 0.231 + 18 x 0.077 + 19 x 0.115 + 20 x 0.115 + 21 x 0.231 = 14.187 ซึ่งน้อยกว่าเดิม ไม่ใช่ 15.5อย่างที่คุณศลคิด ดังนั้นที่ 15 คะแนนจึงควรหยุดทอยได้แล้วครับ แก้ไขเมื่อ 17 พ.ย. 52 13:25:35 จากคุณ : หนุ่มสอนราม (หนุ่มสอนราม) เขียนเมื่อ : 17 พ.ย. 52 13:24:58

ความคิดเห็นที่ 18 คุณหนุ่มสอนราม ผมไม่เห็นด้วยกับประโยคนี้ครับ "เพราะในความเป็นจริงแล้วถ้าแต้ม 1 ยังไม่ออก ในครั้งต่อไปโอกาสเกิดจะมีมากขึ้น" เหตุผลคือความอิสระต่อกันของเหตุการณ์จากการทอยแต่ละครั้ง ตัวอย่างได้ 15 แต้ม จากการโยนสี่ครั้ง 4 3 3 5 แล้วสรุปว่าในการโยนครั้งที่ห้า แต้ม 1 2 และ 6 มีโอกาสออกมากว่า ผมว่าฟังไม่ขึ้นครับ เพราะการโยนครั้งที่ 5 เป็นอิสระจากการโยน 4 ครั้งที่ผ่านมา แต้มใดแต้มหนึ่งใน 1-6 ก็ต้องมีโอกาสขึ้นเท่า ๆ กัน คือ 1/6 เปรียบเทียบกับการโยนเหรียญ สมมติว่าผมโยนเหรียญไปแล้ว 3 ครั้งได้หัวทั้ง 3 ครั้ง แปลว่าครั้งต่อไป ผมจะมีโอกาสได้ก้อยมากกว่าหัวหรือครับ? ถ้าแปลเช่นนั้น ก็หมายความว่า P(HHHT) > P(HHHH) เป็นไปได้หรือครับ? จากคุณ : ศล เขียนเมื่อ : 17 พ.ย. 52 13:41:27

ความคิดเห็นที่ 19 คุณหนุ่มสอนราม มีอีกประโยคที่ผมไม่เห็นด้วย "ถ้าเราคิดว่าโอกาสเกิด 1 น้อย เราก็ทอยไปได้เรื่อยๆไม่มีสิ้นสุด" ผมคิดว่าการให้เหตุผลตรงนี้ผิด ถึงแม้ว่าโอกาสเกิด 1 หรือแต้มอื่น ๆ เท่ากัน ถึงแม้ว่ามันจะน้อย (หรือไม่น้อย) เราก็สามารถหยุดได้ด้วยเหตุผลอื่นครับ เช่น ได้ไม่คุ้มเสีย สมมติตอนนี้เรามีคะแนนอยู่ x การทอยได้แต้ม 1 ก็คือการได้คะแนนเพิ่มอีก -x การทอยได้แต้ม 2 คือการได้คะแนนเพิ่มอีก 0 การทอยได้แต้ม 3 คือการได้คะแนนเพิ่มอีก 3 ... จะเห็นว่า ถึงแม้โอกาสที่เกิด 1 มีเท่าเดิม (เพราะยังหาเหตุผลที่ทำให้มันเพิ่มขึ้นไม่ได้) มันก็ให้ค่าคาดหมายที่ลดลงเมื่อ x เพิ่มมากขึ้น ขณะที่แต้มอื่น ๆ ให้ผลตอบแทนที่เป็นบวกด้วยค่าคงที่ กรณีนี้ทำให้มีที่สิ้นสุดครับ จากคุณ : ศล เขียนเมื่อ : 17 พ.ย. 52 13:55:38

ความคิดเห็นที่ 20 >_< เย้ คุณศลครับ จากอสมการ ใน คห 3 ของผม กรณีหยุดและ ทอยต่อ ถ้าเอามาเทียบ (หยุดดีกว่าทอยต่อ)จะได้ว่า k > (5/6)(k+3) k > 15 ตอบถูก... ผมคิดง่ายๆคือการโยนเต๋าครั้งเดียว มีค่าคาดหวัง = 3, โอกาสที่แต้มในการโยนไม่เป็น 0 = 5/6 ดังนั้น ผลตอบแทนคาดหวังที่การโยนครั้งถัดไป != 0 คือ (5/6)(k+3) จากคุณ : house (panote_saechiew) เขียนเมื่อ : 17 พ.ย. 52 18:37:28

ความคิดเห็นที่ 21   คุณศล สาเหตุที่ควรใช้การคิดว่าโอกาสมีแต้ม 1 มากขึ้น เนื่องจากเป็นการคิดแต้มรวมซึ่งนำการทอยเต๋าก่อนหน้านั้นมาคิดด้วย การทอยเต๋าแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน แต่การคิดที่นำการทอยเต๋าครั้งก่อนมาใช้ด้วยไม่ควรคิดแบบอิสระ ยกตัวอย่างเดิม ถ้าผมทอยเจอแต้ม 1 ในครั้งที่ 3 แล้วทอยต่อครั้งที่ 4ถึง7 ได้แต้ม 4 3 3 5 ผมจะไม่เอาแต้ม 3 ครั้งแรกมาคิดโอกาสเกิด 1 อีก เพราะคะแนนนั้นไม่ได้ถูกเอามาใช้แล้ว พอครั้งที่ 4 จะคิดว่าโอกาสเกิดแต้ม 1 ถึง 6 เท่ากันหมดคือ 16.7% และเพิ่มเป็น 23.1% ในครั้งที่ 8 จะสังเกตุว่าโอกาสที่คิดการเกิด 1 ในครั้งที่ 5 เดิมคิดได้ 59.8%(จาก คคห5) แต่คราวนี้ผมบอกว่าเป็น 23.1% เพราะ 59.8% คิดก่อนการทอยเต๋า แต่ 23.1% คิดหลังจากรู้แต้ม 4 ครั้งแรกแล้ว ผลที่ได้จึงไม่เท่ากัน สรุปคือ ถ้าเป็นการทอยเต๋าไปเรื่อยๆโดยไม่มีผลต่อชีวิตเราเท่าไหร่ เราก็ไม่ต้องดูผลการทอยครั้งก่อน แต่ละครั้งที่ทอยก็จะมีโอกาสเกิด 1 เท่าๆกันตลอด เราสามารถเสี่ยงทอยไปจนกว่าจะพอใจ(หยุดเมื่อได้แต้มสูงพอ) แต่ถ้าเป็นการทอยที่มีบางสิ่งเป็นเดิมพัน เช่น การพนัน ก็ควรนำผลครั้งก่อนมาคิดเพื่อลดความเสี่ยง (โลภมากลาภหายครับ) การคิดในเชิงสถิติจะช่วยได้มากที่สุดในกรณีนี้ ทำให้โอกาสเกิดแต้มแต่ละครั้งไม่เท่ากัน หรือใครมีความเห็นอย่างไร แลกเปลี่ยนกันได้ครับ แก้ไขเมื่อ 18 พ.ย. 52 07:15:23 แก้ไขเมื่อ 18 พ.ย. 52 07:12:20 จากคุณ : หนุ่มสอนราม (หนุ่มสอนราม) เขียนเมื่อ : 18 พ.ย. 52 07:07:34

ความคิดเห็นที่ 22 คุณหนุ่มสอนราม ถ้าการทอยเต๋าแต่ละครั้งไม่เป็นอิสระจากกัน ขึ้นอยู่กับแต้มที่เกิดขึ้นก่อนหน้า คำถามคือ ใครเป็นคนจำแต้มที่เกิดขึ้นก่อนหน้าครับ? คน? ลูกเต๋า? ธรรมชาติ? แต่ไม่ว่าใครเป็นตัวจำแต้มแต้มที่เกิดขึ้นก่อนหน้า สิ่งนั้นต้องมีผลกระทบต่อการทอยเต๋าครั้งถัดไป ตรงนี้แหละครับ ที่ผมยอมรับไม่ได้ การทอยเต๋า การโยนเหรียญ หรือเกมสุ่มอื่น ๆ ที่เหตุการณ์แต่ละครั้งเป็นอิสระจากกัน เพราะเราถือว่ามัน memoryless สมมติว่าคุณทอยเต๋าแค่ 2 ครั้ง พิจารณาผลต่อเนื่องทั้ง 2 ครั้ง หลังจากโยนครั้งแรกคุณพบว่าได้แต้ม 1 หมายความว่าโยนครั้งต่อมา โอกาสเกิด 1-1 น้อยกว่า 1-x เมื่อ x ไม่เป็น 1 ใช่มั้ยครับ? ลองเช็คด้วยทฤษฎีของเบย์นะครับ กำหนด p(x|y) แทนโอกาสที่จะออกแต้ม x เมื่อครั้งที่แล้วออกแต้ม y p(x) แทนโอกาสที่จะออกแต้ม x p(x&y) แทนโอกาสที่จะออกแต้ม x และ y ข้ออ้างของคุณคือ p(2|1) > p(1|1) (คุณสามารถแทน 3 - 6 ในตำแหน่งของ 2 ได้) p(x|y) = p(x&y)/p(y) p(2|1) = p(2&1)/p(1) = (1/36)/(1/6) = 1/6 p(1|1) = p(1&1)/p(1) = (1/36)/(1/6) = 1/6 ***** บางทีคุณอาจจะเริ่มตรวจสอบข้ออ้างดังกล่าวกับอะไรที่ง่ายกว่า เช่น การโยนเหรียญ เกมนี้เราให้โยนเหรียญได้สูงสุด 10 ครั้ง ตราบได้ที่คุณยังโยนได้ H คุณจะได้ 1 บาท คุณจะหยุดเมื่อไรก็ได้ แต่ถ้าโยนได้ T คุณจะอดได้เงินทั้งหมดที่สะสมมา สมมติว่าตอนนี้คุณโยนเหรียญแล้ว 1 ครั้ง ได้ H (และเป็นเหรียญยุติธรรม) ข้ออ้างทั้งหมดของคุณ จะบังคับให้คุณพูดว่า ครั้งที่ 2 โอกาสได้ T มากกว่า H ดังนั้นจงหยุด สรุปแล้วเกมนี้คุณจะโยน 1 ครั้ง เพราะ 1. ถ้าโยนได้ T เกมจบ 2. ถ้าโยนได้ H คุณหยุดเนื่องจากครั้งต่อได้โอกาสได้ T มากกว่าได้ H ลองเปรียบเทียบกลยุทธ์โยน 1 ครั้ง ค่าคาดหมายของเงินที่คุณจะได้คือ 0.5 บาท คราวนี้สมมติว่ามีเด็กคนหนึ่ง สุ่มกลยุทธ์มั่ว ๆ ขึ้นมา ว่าเขาจะโยน 2 ครั้ง (ถ้าทำได้) นั่นคือ เขาอาจโยนได้ T, HH หรือ HT ค่าคาดหมายของเงินที่เขาจะได้เท่ากับ (1/4)(2) + (1/4)(1) = 0.75 บาท แต่คิดแบบนี้ เดี๋ยวอาจจะมีการยกพาราด็อกของเซนปีเตอร์สเปิร์กมาแย้ง เราจะคิดค่าคาดหมายของจำนวนทีที่โยนเมื่อเกมจบ (ตัวอย่างเกมจบ T, HT, HHT, HHHT, ..., HHHHHHHHHT, HHHHHHHHHH) จำนวนทีที่โยนคือ 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/25 + ... + 2x10/210 = 1.98 ที จากคุณ : ศล เขียนเมื่อ : 18 พ.ย. 52 09:34:52

ความคิดเห็นที่ 23 ต่อจาก #22 (ลืมสรุป) เนื่องจากเด็กคนดังกล่าวคำนวณค่าคาดหมายของจำนวนทีที่โยนได้น้อยกว่า 2 ดังนั้น ถ้าครั้งแรกเขาได้ H เขาก็เลือกที่จะหยุดเช่นกัน แต่ด้วยคนละเหตุผลกัน ตรงนี้แหละครับคือตัวอย่างจุดหักล้างคำว่า "ทอยตลอดไปจนกว่าจะพอใจ" และไม่ใช่เพราะโอกาสได้ T ในการโยนครั้งที่ 2 เพิ่มมากขึ้น (เพิ่มมาจากไหน? เพิ่มขึ้นได้ยังไง? มันรู้ได้ไงว่าครั้งที่แล้วออก H?) จากคุณ : ศล เขียนเมื่อ : 18 พ.ย. 52 10:14:02

ความคิดเห็นที่ 24 คุณ house เราใช้วิธีการเดียวกันครับ คือเปรียบเทียบผลตอบแทนที่จะได้จากการทอยต่อ เทียบกับการหยุดทอย แต่ค่าตัวเลขที่ได้ไม่ตรงกันทีเดียวครับ ผมได้แบบนี้ สมมติตอนนี้เรามีคะแนนอยู่ k ถ้าทอยได้ 1 เราจะมีคะแนน 0 ถ้าทอยได้ 2 เราจะมีคะแนน k ถ้าทอยได้ 3 เราจะมีคะแนน k+3 ถ้าทอยได้ 4 เราจะมีคะแนน k+4 ถ้าทอยได้ 5 เราจะมีคะแนน k+5 ถ้าทอยได้ 6 เราจะมีคะแนน k+6 ค่าคาดหมายของคะแนนหลังจากทอยเท่ากับ (5k + 18)/6 และเราต้องการให้ (5k + 18)/6 > k ได้ k < 18 ป.ล. นี่ไม่ใช่เฉลยนะครับ นี่คือคำตอบที่ผมคิดแล้วก็ทิ้งเอาไว้วันนั้น จากคุณ : ศล เขียนเมื่อ : 18 พ.ย. 52 10:20:12

ความคิดเห็นที่ 25 กลับมาดูอีกที อยากให้คุณศล ช่วยแนะนำ วิธีการคิด สูตรใน #16 ให้หน่อยครับ พิสูจน์ยังไงอ่ะครับ ผมว่ามันใช่เลยล่ะ เพราะผลจากการรัน 1,000,000 รอบแล้ว avg for 1 time = 3.002 avg for 2 time = 5.502 avg for 3 time = 7.598 avg for 4 time = 9.313 avg for 5 time = 10.778 avg for 6 time = 11.978 avg for 7 time = 12.974 avg for 8 time = 13.806 avg for 9 time = 14.505 avg for 10 time = 15.093 เทียบจาก exel 0.000 0.000 1.000 3.000 2.000 5.500 3.000 7.583 4.000 9.319 5.000 10.766 6.000 11.972 7.000 12.977 8.000 13.814 9.000 14.511 10.000 15.093 มันใกล้เคียงกันมากทีเดียวอย่างที่คุณศลได้บอกไว้เลยครับ กลับมาเรื่อง strategy คิดต่อจาก #24 ผมขอทำความเข้าใจดังนี้ ผิดตรงไหนบอกเลยน่ะครับ เราต้องการให้ (5k + 18)/6 > k ได้ k < 18 หมายความว่า ถ้า k < 18 แล้ว ก็ให้เราเล่นต่อไป จนกว่าเราจะได้คะแนน >= 18 ใช่ไหมครับ และ จากการใช้คอมพิวเตอร์ช่วยคำนวณและจากสูตรของคุณศลใน #16 หมายความว่า ในการโยน 1 - 10 ครั้งการที่เราจะได้คะแนน >= 18 นั้นมีโอกาสต่ำกว่าค่าเฉลี่ยเสียด้วยซ้ำ แล้วยังไงต่อ ผมกลับมานั่งคิดว่าสรุปคือ ถ้าอย่างนั้นจะตัดสินใจหยุดก็ต่อเมื่อได้แต้ม 18 แต่มาคิดต่อว่าสมมติครั้้งที่ 9 ได้ 18 แต้ม แล้วจะโยนครั้งที่ 10 ไหม เพราะอะไร ครั้งที่ 10 %wipe = 1/6 ส่วน% ได้คะแนนมากขึ้นเท่ากับ 2/3 ดังนั้นควรจะเสี่ยงต่อ เพราะโอกาสได้คะแนนเพิ่มขึ้นมากกว่าโอกาส wipe ? (อย่างนั้นหรือ) เด๋วมาต่อๆ งานเข้าครับ จากคุณ : Santa_Baby เขียนเมื่อ : 18 พ.ย. 52 12:16:14

ความคิดเห็นที่ 26 สูตรใน #16 ผมก็ทำเหมือน #24 ครับ สมมติคะแนนปัจจุบันคือ x คะแนนที่จะได้เพิ่มในรอบถัดไปคือ -x, 0, 3, 4, 5, 6 เมื่อทอยได้ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ตามลำดับ ค่าคาดหมายของคะแนนที่จะได้เพิ่มคือ (18 - x)/6 หรือ 3 - x/6 ดังนั้นคะแนนในรอบถัดไปคือ x + (3 - x/6) ที่ผมเขียนในรูปนี้ เพราะ จะเห็นง่าย ๆ ว่าเราต้องการค่าใน (...) > 0 ถ้าดูจากอสมการนี้ มันบอกว่าถ้า x < 18 ค่าคาดหมายในการโยนครั้งถัดไป จะมากกว่า 18 (ได้เพิ่มขึ้น) ผมก็คิดว่ากลยุทธ์น่าจะแค่นั้น ถ้าได้น้อยกว่า 18 ก็โยนต่อ ซึ่งมันจริงครับว่าเฉลี่ยของการโยนครบ 10 ครั้งมันแค่ 15 เอง แต่มันก็ไม่ได้แปลว่ามีอะไรขัดแย้งกับเลข 18 อะครับ คราวนี้จากตัวอย่างที่สมมติว่าครั้งที่ 9 ได้แต้ม 18 ถ้าเป็นผมผมหยุดครับ เพราะค่าคาดหมายของการได้ครั้งต่อไปมันลดลง ถ้าผมโยนได้ 1 ผมเหลือ 0 ถ้าผมโยนได้ 2 ผมมี 18 เท่าเดิม ถ้าผมโยนได้ 3 ผมได้เพิ่มอีก 3 เป็น 21 ถ้าผมโยนได้ 4 ผมได้เพิ่มอีก 4 เป็น 22 ถ้าผมโยนได้ 5 ผมได้เพิ่มอีก 5 เป็น 23 ถ้าผมโยนได้ 6 ผมได้เพิ่มอีก 6 เป็น 24 ค่าคาดหมายของคะแนนที่เหลือหลังจากโยนครั้งถัดไปคือ (0+18+21+22+23+24)/6 = 18 ไม่ได้เพิ่มขึ้น หรือลดลง การตัดสินใจตรงนี้ แล้วแต่ความคิดเห็นครับ ผมว่าไม่มีผิดถูก ลองคิดถึงทฤษฎีเกม ตอนนี้มีทางเลือก 2 ทาง 1. หยุด และได้ 18 2. เสี่ยง และได้ค่าคาดหมายเท่ากับ 18 จากคุณ : ศล เขียนเมื่อ : 18 พ.ย. 52 12:39:46

ความคิดเห็นที่ 27 อ่อครับ เข้าใจล่ะ ขอบคุณมากครับ เพิ่มเติมครับคุณศล ผมลองเปลี่ยนการทดสอบเป็น 10m รอบ และ เก็บค่าเฉลี่ยผลรวมของการโยน 1 ครั้ง จนถึง 30 ครั้งพบว่า avg for 1 time = 2.998 avg for 2 time = 5.499 avg for 3 time = 7.578 avg for 4 time = 9.317 avg for 5 time = 10.763 avg for 6 time = 11.981 avg for 7 time = 12.977 avg for 8 time = 13.815 avg for 9 time = 14.499 avg for 10 time = 15.096 avg for 11 time = 15.573 avg for 12 time = 15.974 avg for 13 time = 16.312 avg for 14 time = 16.562 avg for 15 time = 16.813 avg for 16 time = 17.030 avg for 17 time = 17.212 avg for 18 time = 17.337 avg for 19 time = 17.407 avg for 20 time = 17.533 avg for 21 time = 17.601 avg for 22 time = 17.695 avg for 23 time = 17.736 avg for 24 time = 17.725 avg for 25 time = 17.827 avg for 26 time = 17.828 avg for 27 time = 17.856 avg for 28 time = 17.855 avg for 29 time = 17.933 avg for 30 time = 17.920 แนวโน้มดูเหมือนว่าค่าเฉลี่ยผลรวมของการโยน n ครั้งจะ < 18 เสมอ นั่นหมายความว่า ถ้าคุณได้ 18 ก็พอได้แล้วมันเกินค่าเฉลี่ยแล้ว สมมติ ว่าผมกับคุณศล ย้อนเวลากลับไปเปนเด็ก ม3 แล้วมาเล่นเกมส์นี้ที่ซุ้มนั้น มันมีคำถามเกิดขึ้นในใจว่า สมมติเกิดเหตุการณ์อย่างนี้ ผมกับคุณศล โยนเต๋ามาถึงครั้งที่ 9 และ ต่างคนก็ต่างรู้ว่าอีกฝ่ายมีคะแนนรวมอยู่เท่ากับ 18 เหมือนกัน คนคุมซุ้มก็บอกว่า น้องศล กับ น้องอ๊อด พวกคุณจะโยนครั้งที่ 10 ไหม ถ้าโยนก็โยนได้เลย คำถามเลยถามว่า คุณศลจะโยนไหม ส่่วนคำตอบของผม ผมจะโยน เพราะดูเหมือนว่า ถ้าผมโยน(และคุณศลไม่โยน) ผมจะมีโอกาสชนะคุณศล คือ 2/3 และ มีโอกาสแบ่งของรางวัลคนละครึ่งอยู่ 1/6 และมีโอกาสแพ้เีพียง 1/6 คุณศล ว่าไหมครับ แต่ผมว่าคุณ ศล ต้องโยนครั้งที่ 10 แน่เลย (ผมขอเดา) จากคุณ : Santa_Baby เขียนเมื่อ : 18 พ.ย. 52 13:55:22

ความคิดเห็นที่ 28 แบบนั้นผมโยน ผมชอบวัดดวง ถ้าผมแพ้ คุณก็ต้องพาผมไปเลี้ยงไมโลเย็นปลอบใจ :P จากคุณ : ศล เขียนเมื่อ : 18 พ.ย. 52 15:44:21