 |
ความคิดเห็นที่ 25 |
เฉลยข้อ 1
วิธีที่ 1 (จากแนวคิดของคุณ jesus_god #19)
ก่อนอื่นต้องการแสดงว่า a, b, c มีเครื่องหมายเป็นบวกทั้งสามค่า หรือเป็นลบทั้งสามค่า
สมมติว่า a, b, c มีเครื่องหมายไม่เหมือนกัน เช่นสมมติว่า (a, b, c) มีเครื่องหมายเป็น (+, +, -)
จะได้ a/b > 0, b/c < 0 และ c/a < 0 และจาก (a/b) + (b/c) + (c/a) > 0 จะได้
a/b > -(b/c) - (c/a) (1)
เนื่องจาก a/b, -(b/c) และ -(c/a) ต่างมีค่าเป็นบวก จาก (1) เราจึงได้ว่า
b/a < 1/[ -(b/c) - (c/a) ] (2)
สังเกตว่าถ้า x, y เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว (x + y)[(1/x) + (1/y)] > 1 ดังนั้น 1/[ (1/x) + (1/y) ] < x + y เสมอ เราจึงได้ว่า
1/[ -(b/c) - (c/a) ] < -(c/b) - (a/c) (3)
จาก (2) และ (3) เราจึงได้ว่า b/a < -(c/b) - (a/c)
(a/c) + (c/b) + (b/a) < 0
ซึ่งอสมการสุดท้ายขัดแย้งกับเงื่อนไขที่โจทย์กำหนด จึงเป็นไปไม่ได้ที่ (a, b, c) มีเครื่องหมายเป็น (+, +, -)
ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแสดงได้ว่าเป็นไปไม่ได้ที่ (a, b, c) มีเครื่องหมายเป็น (+, -, +), (-, +, +), (+, -, -), (-, +, -), (-, -, +)
ดังนั้น a, b, c ต้องมีเครื่องหมายเป็นบวกทั้งสามค่า หรือเป็นลบทั้งสามค่า ทำให้ได้ (a + b + c)/(abc) > 0 ตามที่ต้องการ
--------------------------------------------------
วิธีที่ 2 (โดยเจ้าของกระทู้) ให้ x1 = a/b, x2 = b/c, x3 = c/a ให้ A = (a/b) + (b/c) + (c/a) และให้ B = (a/c) + (c/b) + (b/a)
สังเกตว่า x1 + x2 + x3 = A, x1x2 + x1x3 + x2x3 = B และ x1x2x3 = 1
แสดงว่า x1, x2, x3 คือคำตอบทั้งสามของสมการ x3 - Ax2 + Bx - 1 = 0
จะเห็นว่า x = 0 ไม่ทำให้สมการนี้เป็นจริง และจาก A, B > 0 จะเห็นว่าเมื่อ x < 0 จะได้ x3 - Ax2 + Bx - 1 < 0
ดังนั้นคำตอบของสมการดังกล่าวต้องเป็นบวกทั้งสามค่า นั่นคือ a/b, b/c และ c/a ต่างมีค่าเป็นบวก
ทำให้ได้ว่า a และ b มีเครื่องหมาย (บวกหรือลบ) เหมือนกัน และได้ว่า b และ c มีเครื่องหมายเหมือนกัน
ดังนั้น a, b, c มีเครื่องหมายเหมือนกันทั้งสามค่า
ซึ่งไม่ว่า a, b, c จะเป็นบวกทั้งสามค่า หรือเป็นลบทั้งสามค่า เราต่างได้ว่า (a + b + c)/(abc) > 0
| จากคุณ |
:
Accenda 
|
| เขียนเมื่อ |
:
29 พ.ย. 52 21:47:53
|
|
|
|
|
