 |
ความคิดเห็นที่ 4 |
เห็นถามมาพักนึงแล้ว ไม่ทราบว่าเป็นเพราะอะไรถึงยังไม่มีใครช่วยตอบ
(ผมรู้สึกไปเองหรือเปล่าก็ไม่รู้ ว่าคำขอความช่วยเหลืออาจฟังดูห้วนไปนิด เช่น ไม่มีสร้อยคำว่า ครับ/ค่ะ)
ยังไงผมช่วยดูให้นิดนึงละกันนะครับ
จะว่าไปแล้ว โจทย์ข้อนี้น่าจะเป็นโจทย์พื้นฐานมากๆ ของเรื่องอนุกรมกำลังนะครับ
ไม่ทราบว่าคุณศรัทธาดาวน์_7 ดูเลคเชอร์ให้ดีๆ และพยายามทำความเข้าใจแล้วหรือยัง
ยังไงขอให้ทวนหลักการและดูโจทย์ตัวอย่างจากเลคเชอร์ด้วยนะครับ
(แต่ถ้าพยายามทบทวน หรือพยายามทำความเข้าใจอย่างเต็มที่แล้วก็ขอโทษด้วยครับ)
---------------------------------------------------------------
สรุปหลักการคร่าวๆ นะครับ ถ้าเรามีิอนุกรมกำลัง Sum {n = 1 ถึง infinity} Cn(x - a)n
(บางครั้งตรง (x - a)n อาจเป็น (x - a)n + 1 ก็ใ้ช้หลักการเดียวกันครับ)
ก่อนอื่นให้ดูว่า Cn คืออะไร และค่า a เ็ป็นเท่าไหร่ แล้วเราจะหาช่วงของการลู่เข้าของอนุกรมได้ดังนี้ครับ
ขั้นที่ 1 หารัศมีการลู่เข้าของอนุกรมจากสูตร r = lim {n --> infinity} |Cn/Cn+1|
แล้วจะได้ว่าอนุกรมลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ในช่วง (a - r, a + r)
ขั้นที่ 2 เช็คจุดปลายของช่วงที่ได้จากขั้นที่ 1
กล่าวคือ เช็คว่าที่จุด x = a - r และ x = a + r นั้น อนุกรมจะลู่เข้าหรือลู่ออก
โดยนำแต่ละค่าแทนลงไปในอนุกรม แล้วดูว่าอนุกรมที่ได้เป็นอย่างไร
---------------------------------------------------------------
สำหรับโจทย์ข้อนี้ เรามีอนุกรมกำลัง Sum {n = 1 ถึง infinity} (-1)nxn/ln (n + 1)
จะเห็นว่า Cn = (-1)n/ln(n+1) (ปกติแล้ว Cn คือส่วนที่ไม่ใช่ (x - a)n ครับ)
และจะเห็นว่า a = 0 (เพราะ xn ในโจทย์คือ (x - 0)n)
เมื่อมอง Cn และค่า a ออกแล้ว ก็เริ่มทำตามขั้นตอนได้เลยครับ
ขั้นที่ 1 รัศมีของการลู่เข้าคือ
r = lim {n --> infinity} |Cn/Cn+1|
= lim {n --> infinity} |{(-1)n/ln(n+1) }/{(-1)n + 1/ln(n+2) }|
= lim {n --> infinity} {1/ln(n + 1)}/{1/{ln (n + 2)} (เราหาค่าสัมบูรณ์ ก็เลยตัดพวก (-1)n ทิ้งไปได้ครับ)
= lim {n --> infinity} ln(n + 2)/ln (n + 1)
.
.
.
= 1 (หาลิมิตโดยใช้กฎของโลปิตาล ทำรายละเอียดเองนะครับ)
ดังนั้น รัศมีของการลู่เข้าคือ r = 1
เราจึงได้ว่า อนุกรมลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ในช่วง (a - r, a + r) คือช่วง (0 - 1, 0 + 1) = (-1, 1)
ขั้นที่ 2 พิจารณาที่จุดปลายของช่วง
ที่จุด x = -1 จะได้อนุกรม Sum {n= 1 ถึง infinity} (-1)n(-1)n/ln (n + 1)
= Sum {n = 1 ถึง infinity} (-1)2n/ln (n + 1)
= Sum {n = 1 ถึง infinity} 1/ln (n + 1)
ซึ่งอนุกรมที่ได้นี้ิลู่ออกโดยการทดสอบแบบเปรียบเทียบ (เทียบกับอนุกรม Sum 1/(n + 1) ) ก็ได้ครับ
ลองทำรายละเอียดเองนะครับ เป็นการทบทวนเรื่อง Comparison Test ไปด้วยในตัว)
ที่จุด x = 1 จะได้อนุกรม Summation {n = 1 ถึง infinity} (-1)n(1)n/ln (n + 1)
= Summation {n = 1 ถึง infinity} (-1)n/ln (n + 1)
ซึ่งอนุกรมนี้เป็นอนุกรมสลับที่ลู่เข้า โดยการทดสอบอนุกรมสลับ
(ถ้าจำเป็น ก็ทบทวนเรื่องการทดสอบอนุกรมสลับที่เรียนมาก่อนหน้านี้อีกทีนะครับ)
ดังนั้น ช่วงของการลู่เข้าของอนุกรมกำลังคือช่วง (-1, 1]
(ที่ x = -1 ได้อนุกรมลู่ออก เลยเป็นปลายเปิด ส่วนที่ x = 1 ได้อนุกรมลู่เข้า เลยเป็นปลายปิดครับ)
รายละเอียดบางอย่างที่ละไว้ ลองพยายามทำเองนะครับ ไม่ยากเกินความสามารถแน่นอน : )
ป.ล.
ข้างบนเป็นเพียงขั้นตอนแบบหนึ่งในการหาช่วงการลู่เข้าของอนุกรมกำลังที่อยู่ในรูป Sum {n = 1 ถึง infinity} Cn(x - a)n + k
(เมื่อ k เป็นค่าคงตัวที่เป็นจำนวนเต็มซึ่ง >= -1) จริงๆ แล้วเรามีวิธีที่ทั่วไปกว่านี้สำหรับหาช่วงการลู่เข้าของอนุกรมกำลังใดๆ
แต่ผมขออนุญาตไม่พูดถึงละกันนะครับ ลองดูจากเลคเชอร์หรือหนังสือ Calculus ทั่วๆ ไปก็น่าจะมีอธิบายอยู่ด้วยแล้วครับ
แก้ไขเมื่อ 14 ม.ค. 53 07:53:34
แก้ไขเมื่อ 14 ม.ค. 53 07:51:54
แก้ไขเมื่อ 14 ม.ค. 53 01:58:02
แก้ไขเมื่อ 14 ม.ค. 53 01:29:00
แก้ไขเมื่อ 14 ม.ค. 53 01:19:57
| จากคุณ |
:
Accenda  
|
| เขียนเมื่อ |
:
14 ม.ค. 53 01:02:10
|
|
|
|
|
