 |
ความคิดเห็นที่ 33 |
และแล้ว Perelman ก็ประกาศบทพิสูจน์ของ Poincaré Conjecture
เป็นอภิมหาเซอร์ไพรส์เมื่อ Perelman ไม่เพียงแต่ประกาศบทพิสูจน์ของ Poincare Conjecture เท่านั้น แต่ยังประกาศบทพิสูจน์ของ Geometrization Conjecture ด้วย โดยเขียน paper ชุดหนึ่งโพสต์ลงในเวบ ArXiv.org ระหว่างปี 2002-2003 [P1, P2, P3]
หัวใจในบทพิสูจน์ของ Perelman คือทฤษฎีของ Ricci Flow เขาไม่เพียงแต่นำมันมาประยุกต์ในทาง Topology ด้วยเทคนิคอันเยี่ยมยอดอย่างยิ่งเท่านั้น แต่ยังเพิ่มแนวคิดใหม่ๆ เข้าไปด้วย แนวคิดใหม่อย่างแรกคือการเชื่อมโยง Collapsing Theory ใน Riemannian Geometry เข้ากับ Ricci Flow เพื่อทำความเข้าใจส่วนของรูปร่างที่ยุบตัวไปยังมิติที่ต่ำลง แนวคิดใหม่อีกอย่างหนึ่งคือการตั้งปริมาณที่เรียกว่า entropy เพื่อใช้วัดความไร้ระเบียบในเชิงเรขาคณิตโดยรวมของปริภูมิ (แทนการใช้ Entropy วัดความไร้ระเบียบในระดับอะตอมอย่างในทฤษฎีแลกเปลี่ยนความร้อนยุคเก่า) entropy ของ Perelman นี้ก็เหมือนกับ entropy ในทางเทอโมไดนามิกส์ที่จะมีค่าเพิ่มขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป (นั่นคือค่าจะไม่ลดกลับลงไปอีก) โดยการใช้ฟังก์ชันของ entropy นี้และฟังก์ชันของ entropy อีกแบบหนึ่งที่เกี่ยวข้องกันซึ่งถูกนิยามในระดับย่อยลงไป (ได้แก่ L-length functional) เขาจึงสามารถทำความเข้าใจธรรมชาติของ singularity ที่ก่อตัวภายใต้ Ricci Flow ได้ โดยพบว่ามีประเภทของ singularity อยู่เพียงไม่กี่ประเภท และสามารถเขียนตัวแบบอย่างง่ายเพื่อแสดงการก่อตัวของมันได้ นี่เป็นพัฒนาการที่ถือเป็นความสำคัญอันดับหนึ่ง
เมื่อเข้าใจตัวแบบอย่างง่ายของ singularity point แล้ว ก็จะเป็นที่กระจ่าง [สำหรับ Perelman: ผู้แปล] ว่าจะตัดบริเวณที่อยู่ใกล้ๆ จุดเหล่านั้นออกไปอย่างไรเพื่อให้ใช้กระบวนการ Ricci Flow ต่อไปได้โดยไม่เกิด singualrity เมื่อมีผลลัพธ์เหล่านี้อยู่ในมือแล้ว Perelman ก็แสดงให้เห็นว่ารูปแบบของเวลาที่เกิด singularity จะไม่เป็นแบบระยะห่างจากกำแพงอย่างที่เราพบใน Zeno paradox [เวลาที่เกิด singularity ที่จุดหนึ่งจะไม่เข้าไปใกล้กับเวลาที่เกิด singualrity อีกจุดหนึ่งอย่างไม่มีที่สิ้นสุด: ผู้แปล] ถ้าไม่เช่นนั้น เช่น ถ้ามี singularity เกิดขึ้นที่จุดหนึ่งเมื่อเวลาผ่านไป 1 วินาที และเกิดที่อีกจุดหนึ่งเมื่อเวลาผ่านไป 1/2 วินาที ที่อีกจุดหนึ่งเมื่อเวลาผ่านไป 1/4 วินาที เป็นอย่างนี้ไปเรื่อยๆ แล้วเวลา 2 วินาที (1 + 1/2 + 1/4 + . . . = 2) จะตรงกับเวลาที่หลักการทางคณิตศาสตร์ของ Ricci Flow ไม่เป็นจริงอีกต่อไป [Perelman บอกไว้ใน paper: ผู้แปล ^_^] บทพิสูจน์ที่มีมาแล้วก็จะกลายเป็นไช้ไม่ได้
การโพสต์บทพิสูจน์ของเขาลงในเวบและการไปบรรยายตามที่ต่างๆ ในเวลาต่อมา ไม่ว่าจะเป็นที่ MIT, SUNY-Stony Brook, Princeton, University of Pennsylvania เป็นจุดเริ่มต้นของพยายามจากทั่วโลกที่จะทำความเข้าใจและตรวจสอบบทพิสูจน์ของเขา ในสหรัฐอเมริกา Bruce Kleiner และ John Lott ได้ช่วยกันเขียนบันทึกชุดหนึ่งเพื่ออธิบายรายละเอียดในงานของ Perelman บันทึกส่วนที่ผ่านการตรวจสอบแล้วจะค่อยๆ ถูกทยอยนำมาโพสต์ในอินเตอร์เนต ในที่สุดบันทึกฉบับสมบูรณ์ของทั้งสองคนก็ถูกนำมาโพสต์ลงใน ArXiv.org เมื่อเดือนพฤษภาคมปี 2006 และต่อมาก็กลายเป็นบทความทางวิชาการที่มีกรรมการอ่านตรวจสอบ โดยถูกตีพิมพ์ลงในวารสาร Geometry and Topology ในปี 2008 นับเป็นครั้งแรกที่ผลงานที่มีความสำคัญเป็นอย่างสูงเช่นนี้ถูกดำเนินการผ่านเวบไซต์สาธารณะ ต่อมา John Morgan และ Gang Tian ก็ได้เขียนบทความเกี่ยวกับบทพิสูจน์ของ Perelman มีความยาวขนาดหนังสือเล่มหนึ่ง และนำมาโพสต์ใน ArXiv.org เมื่อเดือนกรกฎาคมปี 2006 หลังจากนั้นก็ได้รับการตีพิมพ์เป็นหนึ่งในหนังสือชุด CMI's Monograph ของสมาคมคณิตศาสตร์แห่งสหรัฐอเมริกาเมื่อเดือนสิงหาคมปี 2007 ข้อเขียนเหล่านี้และข้อเขียนโดยคณะทำงานอื่นๆ และที่สำคัญคือการตรวจสอบอย่างละเอียดถี่ถ้วนโดยชุมชนคณิตศาสตร์เป็นเวลาหลายปี ถือได้ว่าเป็นการเพียงพอแล้วที่จะกล่าวว่า Perelman แก้ Poincare Conjecture ได้สำเร็จจริงๆ หลังจากการรอคอยมานานนับศตวรรษ ในที่สุดปัญหาก็ถูกแก้เสียที!
บทความหนึ่งในบรรดาบทความที่ปรากฏขึ้นหลังจากการพิสูจน์ของ Perelman ได้แก่บทความที่ตีพิมพ์ในวารสาร Asian Journal of Mathematics ซึ่งนำมาโพสต์ใน ArXiv.org ในเดือนมิถุนายนปี 2006 เขียนโดยทีมนักคณิตศาสตร์สัญชาติจีน-อเมริกันคือ Huai-Dong Cao (Lehigh University) และ Xi-Ping Zhu (Zhongshan University) อีกชิ้นหนึ่งคือบทความที่เขียนโดยนักคณิตศาสตร์ชาวยุโรป ได้แก่ Bessieres, Besson, Boileau, Maillot, และ Porti ซึ่งนำมาโพสต์ใน ArXiv.org เมื่อเดือนมิถุนายนปี 2007 บทความนี้ยังได้รับการตอบรับลงตีพิมพ์ในวารสาร Inventiones Mathematicae เมื่อเดือนตุลาคม ปี 2009 อีกด้วย และยังมีวิธีที่ต่างไปจากวิธีของ Perelman ในการพิสูจน์ขั้นตอนสุดท้ายของ Geometrization Conjecture
บทพิสูจน์ Poincare Conjecture และ Geometrization Conjecture ของ Perelman นับเป็นความก้าวหน้าที่สำคัญอย่างหนึ่งทางคณิตศาสตร์ แนวคิดและวิธีการของเขาได้ก่อให้เกิดการประยุกต์ใช้ใหม่ๆ ทาง Analysis และ Geometry เป็นที่เรียบร้อยแล้ว และแน่นอนว่าจะมีอีกหลายอย่างตามมาในอนาคต
เอกสารอ้างอิง
[C-G] J. Cheeger and M. Gromov, Collapsing Riemannian manifolds while keeping their curvature bounded. I and II, J. Differential Geom. Volume 23, Number 3 (1986), 309-346; Volume 32, Number 1 (1990), 269-298.
[D] S.K. Donaldson. An application of gauge theory to four-dimensional topology. J. Differential Geom., 18, (1983), 279-315.
[F] D. Friedan, Nonlinear Models in 2 + epsilon Dimensions, Annals of Physics 163, 318-419 (1985)
[Ha1] R. Hamilton, Three-manifolds with positive Ricci curvature, Journal of Differential Geometry, vol. 17:255-306 (1982)
[Ha2] R. Hamilton, Non-singular solutions of the Ricci flow on three-manifolds, Comm. Anal. Geom. 7(4): 695-729 (1999)
[Ha3] R. Hamilton, The Harnack estimate for Ricci flow, Journal of Differential Geometry, vol. 37:225-243 (1993)
[Ho] J. Honerkamp, (CERN), Chiral multiloops, Nucl. Phys. B36:130-140 (1972)
[M1] J. Milnor, The Poincaré Conjecture (2000)
[M2] J. Milnor, The Poincaé Conjecture, in The Millennium Prize Problems, J. Carlson, A. Jaffe, A. Wiles, eds, AMS (2004)
[P1] G. Perelman, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, arXiv.org, November 11, 2002
[P2] G. Perelman, Ricci flow with surgery on three-manifolds, arXiv.org, March 10, 2003
[P3] G. Perelman, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, arXiv.org, July 17, 2003
*** Accenda แปลจากบทความประกอบ Press Release ของ Clay Mathematicas Institute เขียนโดย Jeff Cheeger เมื่อ 18 มีนาคม (ฉบับแก้ไข 19 มีนาคม 2010)
แก้ไขเมื่อ 23 มี.ค. 53 03:52:21
| จากคุณ |
:
Accenda  
|
| เขียนเมื่อ |
:
23 มี.ค. 53 02:18:31
|
|
|
|
|
)
เป็นไงครับ หลังจากได้อ่านคำอธิบายแบบคร่าวๆ ที่ผมลองแปลดูเล่นๆ