ความคิดเห็นที่ 1 งั้นลองแบบนี้ได้มั้ยครับ 1/3 = 0.333... ย้ายข้างเอาสามไปคูณอีกด้านนึง 1 = 0.999... แต่ความจริงถ้า 1 = 0.999... แล้ว 0.5 ก็ควรจะเท่ากับ 0.4999... นี่นะ จากคุณ : Sleeper MoNKeY 2nd เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 16:43:17

ความคิดเห็นที่ 2 ถ้าคุณยังไม่ยอมรับความสัมพันธ์ระหว่างทศนิยมซ้ำกับเศษส่วน คุณก็ไม่สามารถเริ่มการพิสูจน์เหล่านี้ โดยใช้แค่ทศนิยมซ้ำ กับเศษส่วน และการบวก ลบ คูณ หาร ได้หรอกครับ เพราะมันเหมือนกับเลือกวิธีที่จะยอมรับได้ก่อน แล้วจึงเดินทางต่อ แต่ถ้าคุณยอมรับว่า 1/3 = 0.3333... แล้ว เรื่องพวกนี้ ก็จะตามมาเองครับ 0.4999... = 0.5 199.999... = 200 จากคุณ : basicguy เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 16:49:40

ความคิดเห็นที่ 3 1 = 0.999... เป็นจริงหรือไม่ 1/3 = 0.999.../3 0.333... = 0.333... ดังนั้นจึงเป็นจริง ส่วน 1/2 = 0.999.../2 0.5 = 0.4999... ไม่เท่ากัน แต่ไม่ได้แปลว่า  1 = 0.999...  เป็นเท็จนะครับ มันแปลว่า สมการยังไม่ถึงที่ยุติต่างหาก 0.4 + 0.1 = 0.4 + 0.0999... 0.1 = 0.0999... 0.1 / 3 = 0.0999.../3 0.0333... = 0.0333... อันนี้ ถึงจะสิ้นสุด สมการจะสิ้นสุด ว่าเป็นจริงหรือเท็จ ได้ก็ต่อเมื่อ ทั้ง สองข้าง 0.5 เป็นจำนวน ที่เป็น ทศนิยม แต่ 0.4999... เป็น สัญลักณ์แทนจำนวน ที่ เลขทศนิยม ปกติเขียนไม่ได้ (เพราะมันยาวไม่มีสิ้นสุดเท่านั้นเอง ไม่ใช่ หาค่าแน่นอนไม่ได้) จำนวนตรรกยะ หาค่าแน่นอนได้ อย่าง 1/3 1/9 เหล่านี้ รู้ค่าแน่นอนเพียงแต่ เขียนด้วยตัวเลขทศนิยมไม่ได้ ไม่ใช่ PI , e , sqrt(2) ที่ หาค่าแน่นอนไม่ได้ เพราะเป็นทศนิยมไม่ซ้ำ (เรียกว่เป็น อตรรกยะ)   การที่ข้างนึง ติด สัญลักษณ์ไว้ อีกข้างเป็นจำนวนแน่นอน จะบอกว่า ไม่เท่ากันยังไม่ได้ นะครับ ต้องถือว่า สมการ ยังไม่สิ้นสุด เหมือนจะบอกว่า 1 = x เป็นเท็จ เพราะ 1/2 = x/2 0.5 = x/2  จึงสรุปว่า 1 = x เป็นเท็จ [ อันนี้ ยังสรุปไม่ได้  ] ถ้าลงท้ายว่า 0.5 = 0.3 แบบนี้ ถึงบอกได้ว่าเป็น เท็จ หรือ ลงท้ายว่า x+1 = x แบบนี้ ถึงเป็นเท็จ จากคุณ : Humandroy เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 16:55:30

ความคิดเห็นที่ 4 "จะสรุปว่าเท่ากันได้ ต้องเอาเงื่อนไข ที่ว่า 1=0.999.... มาใช้ด้วย" ไม่ได้ใช้นี่ครับ ดูนะครับ ไม่มีการอ้างถึงเงื่อนไขที่ว่าตรงไหนเลย มีแต่ในข้อสรุปสุดท้าย 1/2 = 0.5 0.999.../2 = 0.4999... (0.999.../2)*2 = (0.4999...)*2 (0.999.../2)*2 = 0.999... = (0.4999...)*2 = 0.4999... + 0.4999... 0.999... = 0.4999... + 0.4999... 0.5 + 0.4999... = 0.999... 0.5 + 0.4999... = 0.999... = 0.4999... + 0.4999... 0.5 + 0.4999... = 0.4999... + 0.4999... 0.5 = 0.4999... 0.5 + 0.5 = 0.5 +  0.4999... 0.5 + 0.5 = 1 = 0.5 +  0.4999... = 0.999... 1.0 = 0.999... จากคุณ : ผลึกความคิด เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 16:59:24

ความคิดเห็นที่ 5 1/3 = 0.333.....   <<<  อาจจะไม่เท่ากันก็ได้นะ จากคุณ : สปุ้กนิกปาปิยองกุ๊กๆ เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 17:01:17

ความคิดเห็นที่ 6   คห.4 (0.999.../2)*2 = (0.4999...)*2 ขอแย้งครับ ถึงแม้ว่า 0.999..../2 = 0.4999..... เป็นจริง แต่คุณเอา (0.4999.... )*2 = 0.999..... ไม่ได้ เพราะผมเคยเอาเลขอื่น ที่ไม่ใช่ 10^ n คูณ ในกระทู้นี้ http://www.pantip.com/cafe/wahkor/topic/X9645452/X9645452.html มีคนตอบมากมาย ว่า ไม่มีตัวสุดท้าย บ้าง ไม่มี นิยาม บ้าง การคูณ ต้องเริ่มคูณที่ตัวหลังที่ตำแหน่ง อินฟินิตี้ ก่อนใช่ไหมครับ ซึ่งก็รู้ๆกันอยู่ว่า ยังไงก็เป็น เลข 9 พอมาคูณกับ 2 ต้องได้ เลข 8 ทด 1 ซึ่ง ทำไม่ได้ มันแย้งกัน เลยไม่มีนิยามการคูณ ด้วยเลขอื่นๆ ที่ไม่ใช่ 10^n ซึ่งไม่ต้องอาศัยตำแหน่งตัวสุดท้าย ใช้เลื่อนจุดเอา จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 17:50:53 A:203.155.9.163 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 7   คห.3 ผมบอกว่าตอนนี้กรุณา อย่าเพิ่งใช้ 1= 0.9999.... ก่อนนะครับ ดังนั้น ผมยังไม่ยอมรับ ข้อความนี้ มันแปลว่า สมการยังไม่ถึงที่ยุติต่างหาก 0.4 + 0.1 = 0.4 + 0.0999... เพราะผมเอา 1/2 = 0.5 0.9999..../2 = 0.4999..... ผมยังไม่ได้บอกว่าเท่ากันเลย คุณจับมาเท่ากันได้ไง จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 18:07:19 A:203.155.9.163 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 8 ... จากคุณ : pisity เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 18:10:17

ความคิดเห็นที่ 9   คห.5 ผมยอมรับ 1/3 = 0.3333..... แต่ผมไม่ยอมรับ 1 = 0.3333..... *3 เหตุผลแค่ ทุกๆวินาที ตัวเลข 3 หลังจุดทศนิยม จะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้นการคูณ คุณต้องคูณจากเลขหลังสุดใช่หรือไม่ สมมุติว่าตัวเลขที่ตำแหน่งอนันต์ คือ 3 คุณ กำลังคูณ อยู่ แล้ว เลข 3 ที่ตำแหน่ง อนันต์ +1 ก็มาอีกแล้ว แสดงว่า คุณยังไม่ได้คูณที่ตัวสุดท้ายจริงๆ เลข 0.9999.... มันจะออกมาไม่ได้ เพราะคุณคูณ ไม่ใช่ตำแหน่งสุดท้าย มันจะออกมาเป็นเลขประมาณนี้ 0.999999.....33333333 ยกเว้น คุณต้องมีความไว จริงๆๆ ที่คูณเลขที่ตำแหน่งอนันต์ ได้ทันก่อนมันจะเกิด เลข 3 มาอีก จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 18:15:32 A:203.155.9.163 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 10   ถ้าสมมุติคุณไวพอ ที่จะคูณเลข 3 กับ 0.3333..... ได้ 0.9999..... งั้นลองคูณ เลข 3 กับ 0.9999..... สิ ว่าได้เท่าไหร่ จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 18:21:50 A:203.155.9.163 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 11   1 = x เป็นเท็จ เพราะ 1/2 = x/2 0.5 = x/2 จึงสรุปว่า 1 = x เป็นเท็จ [ อันนี้ ยังสรุปไม่ได้ ] .......................................................... 0.5 เป็นค่าที่แน่นอน(ตรงนี้ผมบอก) และ 0.49999....ก้เป็นค่าที่แน่นอน(อันนี้คห.3 บอก) จากประโยคตรงนี้ 0.5 เป็นจำนวน ที่เป็น ทศนิยม แต่ 0.4999... เป็น สัญลักณ์แทนจำนวน ที่ เลขทศนิยม ปกติเขียนไม่ได้ (เพราะมันยาวไม่มีสิ้นสุดเท่านั้นเอง ไม่ใช่ หาค่าแน่นอนไม่ได้) แต่ 0.5 = X/2 ผมไม่หมายถึงตัวแปร ผมไม่ได้เทียบแบบนี้ ผมเทียบ 0.5 =0.4999... จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 18:39:55 A:203.155.9.163 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 12 #10 มีข้อบังคับข้อไหน บังคับว่าจะต้องคูณจากหลักสุดท้ายมา 3*0.9999.... = 2.(7+2)(7+2)(7+2)(7+2)... = 2.9999999.... ผมคูณจากหน้าไปหลัง แล้วเอาหลักข้างหลังมาบวกเอาก็ได้ครับ จากคุณ : เถ้าลอย เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 18:44:43

ความคิดเห็นที่ 13 0.4999... = 0.4 + 0.0999...              = 0.4 + (0.333...)x3 /10              = (4/10) + (1/3)x3/10              = (4/10)+(3/30)              = (12+3)/30              =(15)/30              = 0.5 ดังนั้น 0.4999... = 0.5 และเลขที่เป็น ทศนิยม .999... ก็เป็นในลักษณะเดียวกันนี้ แก้ไขเมื่อ 03 ก.ย. 53 19:13:42 จากคุณ : Darkvider เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 19:10:15

ความคิดเห็นที่ 14 ทุกๆวินาที ตัวเลข 3 หลังจุดทศนิยม จะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เจอประโยคนี้ ก็ไปไม่เป็นแล้วครับ จากคุณ : ผู้เฒ่าสายลม เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 19:11:16

ความคิดเห็นที่ 15   #9 เวลามันเกี่ยวด้วยหลอครับเนี้ย จากคุณ : แมวกินปลา เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 19:34:43

ความคิดเห็นที่ 16   คห 3 คุณ Humandroy บอกไว้ชัดเจนเลยครับ 0.5 เป็นจำนวน ที่เป็น ทศนิยม แต่ 0.4999... เป็น สัญลักณ์แทนจำนวน ที่ เลขทศนิยม ปกติเขียนไม่ได้ (เพราะมันยาวไม่มีสิ้นสุดเท่านั้นเอง ไม่ใช่ หาค่าแน่นอนไม่ได้) จำนวนตรรกยะ หาค่าแน่นอนได้ อย่าง 1/3 1/9 เหล่านี้ รู้ค่าแน่นอนเพียงแต่ เขียนด้วยตัวเลขทศนิยมไม่ได้ ไม่ใช่ PI , e , sqrt(2) ที่ หาค่าแน่นอนไม่ได้ เพราะเป็นทศนิยมไม่ซ้ำ (เรียกว่เป็น อตรรกยะ) จากคุณ : วันฉุก เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 19:35:40 A:202.176.107.114 X: TicketID:284592

ความคิดเห็นที่ 17   จึงอย่าเอา สัญลักณ์ มาบวกลบคูณหาร เพื่อพิสูจน์ 0.999...=1 จากคุณ : วันฉุก เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 19:40:11 A:202.176.107.114 X: TicketID:284592

ความคิดเห็นที่ 18 #6  อ่าน คณิตศาสตร์ ม.4 พื้นฐาน เรื่อง ระบบจำนวนจริง นะครับ http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/real_opt.html อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0 (2-1) * 2 = 1 การหารจำนวนจริง บทนิยาม เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0    a/b = a*(b-1) 0.999.../2 = 0.999... * (2-1) จำนวนจริงมีสมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc (0.999.../2) * 2 = (0.999... * (2-1)) * 2 สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c (0.999... * (2-1)) * 2 = 0.999... * ((2-1) * 2) สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc 0.999... * (2-1) * 2 = 0.999... * 1 เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1 0.999... * 1 = 0.999... (0.999.../2) * 2 = (0.999... * (2-1)) * 2 = 0.999... * ((2-1) * 2) = 0.999... * 1 =  0.999... (0.999.../2) * 2 = 0.999... สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a 0.999... = (0.999.../2) * 2 อันนี้ จขกท. ยอมรับ เขียนมาในหัวกระทู้ 0.999.../2 = 0.4999... จำนวนจริงมีสมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc (0.999.../2) * 2 = (0.4999...) * 2 สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c จากข้างบน 0.999... = (0.999.../2) * 2 และ (0.999.../2) * 2 = (0.4999...)*2 ดังนั้น  0.999... = (0.4999...)*2 มันเท่ากันเพราะสมบัติของจำนวนจริง เช่นเรารู้ว่า A,B เป็นจำนวนจริง และ A/2 = B ดังนั้น A = B*2 ไม่เห็นต้องไปคิดเรื่องคูณจากหลังไปหน้า-หน้าไปหลังอะไรเลย สิ่งที่เรากำลังพูดถึง มันคือจำนวน ไม่ใช่แค่ตัวเลข จากคุณ : ผลึกความคิด เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 19:40:11

ความคิดเห็นที่ 19   ต้องคูณด้วยความเร็วเหนือแสง ถึงจะเจอตำแหน่งสุดท้าย อย่าปล่อยให้มันเจเนอเรทตัวต่อไปทัน จากคุณ : ... เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 19:40:51 A:116.58.231.242 X: TicketID:208572

ความคิดเห็นที่ 20 เวลา... ความเร็วเหนือแสง... generate ทศนิยม... เริ่มรู้สึกว่ามันชักจะเรื่อยเปื่อยกันไปใหญ่แล้วครับ จากคุณ : Limelight เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 20:32:54

ความคิดเห็นที่ 21   1/3 = 0.3333... 2/3 = 0.6666... 3/3 = 1 ถ้าบอกว่า 1/3 * 3 = 0.3333.... x 3 0.3333... x 3 มันทำยังไงหรอ ??? เอาแบบขั้นตอนการคูณเลยนะ จากคุณ : RakRok12 เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 22:29:55

ความคิดเห็นที่ 22 #21 0.333...x3 = 0.333.. + 0.333.. + 0.333.. = 0.999.. จากคุณ : เถ้าลอย เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 23:49:28

ความคิดเห็นที่ 23   นั่นแหละบวกกันยังไง ??? 0.333.. + 0.333.. + 0.333..   ใช้หลักอะไรบวก ???? หลักแรกที่บวกคือ ??? จากคุณ : RakRok12 เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 23:51:17

ความคิดเห็นที่ 24 บวกจากหน้าไปหลังสิครับ ไม่มีกฏข้อไหนทางคณิตศาสตร์ บังคับให้เริ่มบวกจากหลักสุท้าย จากคุณ : เถ้าลอย เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 00:08:12

ความคิดเห็นที่ 25 ท่านนักคณิตศาสตร์ทั้งหลายช่วยลองหาคำตอบเล็กๆ ค่า พาย * 7/3 ให้ผมหน่อย แต่ให้หาด้วยวิธีการ ค่าพายผมให้คุณเลือกใช้เลยตั้งแต่ พายแท้ พายไม่ซ้ำ พาย อนุโลม 22/7 ทศนิยมล้วนๆ ครับ กรุณาอย่าตัด 7 กับ 7 ออก อยากทราบจริงๆ ทำได้อย่างไรกัน การ นำทศนิยม อนันต์ มา คูณ กับ ทศนิยมไม่รู้จบเนี่ยะ ถ้า หากคุณทำไม่ได้ แล้วคุณ นำ 0.333... อนันต์ มาคูณ ได้อย่างไรครับ ถ้าไม่ใช่ ทฤษฎีตามใจฉัน แล้วถ้า มีการ คูณ 3 ใส่ 0.333... ได้ แล้วทำไมที 1^infinity ถึงหาค่าไม่ได้หล่ะครับ และท่านนักคณิตศาสตร์ ก็จะใช้ข้อความประมาณว่า พวกนี้แย่ เรียนมาน้อย ไม่เข้าใจเรื่องลึกซึ้ง ผมคิดว่าหลายๆท่านในที่นี้ไม่มีใครดูถูกคณิตศาสตร์หรอกครับ 1+1 = 2 ก็ไม่เคยมีใครแย้ง แต่เรื่องนี้ ถ้าจะอ้างว่าพิสูจน์แล้วว่าเท่ากันด้วยหลักการของตัวเองอย่างเดียว อยากให้ลองหาค่า พาย * 7/3 ให้ผมทีสิครับ โดยไม่ใช้การ ตัดเศษส่วนนะครับย้ำ ใช้ ทศนิยมล้วนๆ เลย ไม่ใช่หนีหายกันไปหมดหล่ะครับ จากคุณ : WindMaster เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 03:05:19

ความคิดเห็นที่ 26   #17 ทำไมจะใช้สัญญลักษณ์ไม่ได้ละครับ? 1+1 = 2 สมการข้างบนนี้ มีสัญญลักษณ์หลายตัว ถ้าไม่ใช้สัญญลักษณ์ ไม่ใช้คำพูด แล้วจะให้ทำอย่างไร? คุณก็นิยามมาสิครับ ว่า สัญญลักษณ์ 0.999... ของคุณ หมายความถึงค่าอะไร? จะได้คุยกันต่อได้ หลายต่อหลายคนที่ยืนยันว่า 0.999... = 1 (รวมทั้งผมด้วย) ก็แสดงนิยามแล้วว่าสัญญลักษณ์ 0.999... ที่เป็นที่ถกกันนั้นคือ สัญญลักษณ์แทนค่าอะไร 0.999... คือสัญญลักษณ์แทนค่าลิมิตของลำดับนี้ {0, 0.9, 0.99, 0.999, ...} ซึ่งเท่ากับ 1 จากคุณ : kuzibimun เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 03:39:15

ความคิดเห็นที่ 27   ตื่นเช้ามา มาคนตอบเยอะ เริ่มจากคุณ คห.12 เถ้าลอย ก่อน การที่คุณจะบวก หรือ ลบ หรือ คูณ ปกติคุณไม่ทำจากหลังมาหน้าก่อนหรือครับ แล้วคุณไม่เผื่อตัวทดเลยหรอ 3*0.9999.... จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 06:43:42 A:124.121.82.216 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 28   ความคิดเห็นที่ 22 #21 0.333...x3 = 0.333.. + 0.333.. + 0.333.. = 0.999.. .................................................................... ลองบวกแบบที่มีตัวทดสิครับ 0.3333....*5 = เท่าไหร่ จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 06:50:09 A:124.121.82.216 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 29   เวลา... ความเร็วเหนือแสง... generate ทศนิยม... เริ่มรู้สึกว่ามันชักจะเรื่อยเปื่อยกันไปใหญ่แล้วครับ จากคุณ : Limelight เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 20:32:54 ............................................................................ ต้องคูณด้วยความเร็วเหนือแสง ถึงจะเจอตำแหน่งสุดท้าย อย่าปล่อยให้มันเจเนอเรทตัวต่อไปทัน จากคุณ : ... เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 19:40:51 A:116.58.231.242 X: TicketID:208572 ........................................................................................ ทุกๆวินาที ตัวเลข 3 หลังจุดทศนิยม จะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เจอประโยคนี้ ก็ไปไม่เป็นแล้วครับ จากคุณ : ผู้เฒ่าสายลม เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 19:11:16 ............................................................................... ขอบคุณทั้ง 3 ท่าน นะครับ ที่ยังไม่เชื่อ เรื่องที่ผม สมมุติขึ้น ที่ผมคิดแบบนี้ เพราะมีคนชอบบอกว่า มันไม่มีนิยาม ทำไม่ได้ เมื่อไม่มีนิยาม ก้ทำให้มันมีสิครับ สมัยก่อน ผมว่ามันก็ไม่มีนิยามทั้งนั้น พอตัวไม่มีนิยามก้ไม่คิดให้มันมี หรือว่านิยาม ถุกจำกัด ห้ามสร้างขึ้นเพิ่มเติมผมก้ไม่รู้ เรื่องที่มันจะ gen ตัวมันเองทุกเสี้ยววินาที ผมแค่คิดมาเปรียบเทียบว่าตัวสุดท้ายมันอยู่ที่ไหน ใครจะไปถึงได้ เพื่อตัดปัญหาการที่จะทำ จากตัวหลังมาทางหน้า ให้ทำได้แต่ตัวหน้าไปทางหลัง เช่น การหาร การคูณด้วย 10^n ส่วนการคูณด้วยตัวอื่น หรือการบวก การลบ ห้ามทำ จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 06:59:48 A:124.121.82.216 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 30   สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c จากข้างบน 0.999... = (0.999.../2) * 2 และ (0.999.../2) * 2 = (0.4999...)*2 ดังนั้น 0.999... = (0.4999...)*2 มันเท่ากันเพราะสมบัติของจำนวนจริง เช่นเรารู้ว่า A,B เป็นจำนวนจริง และ A/2 = B ดังนั้น A = B*2 ไม่เห็นต้องไปคิดเรื่องคูณจากหลังไปหน้า-หน้าไปหลังอะไรเลย สิ่งที่เรากำลังพูดถึง มันคือจำนวน ไม่ใช่แค่ตัวเลข จากคุณ : ผลึกความคิด เขียนเมื่อ : 3 ก.ย. 53 19:40:11 .................................................................... เรื่องนี้ผมเรียนมานานมากจนไม่แม่นทฤษฎีแล้ว แต่ก็คิดว่าต้องมีคนแย้งเรื่องคุณสมบัติ ของ จำนวนจริง ซึ่งผมก็คิดไว้แล้วว่า ยังไง ซึ่งผมพยายามจะบอกว่า ตัวเลขทศนิยมว้ำไม่รู้จบนี้ มันไม่อยู่ในคุณสมบัติของจำนวนจริง เหมือนกับแต่ก่อน คิดว่าแสงเป็นอนุภาคมีคุณสมบัติการสะท้อน แล้วตอนหลังพบว่าแสงมีคุณสมบัติอื่นอีก เช่นการแทรกสอด แล้วตกลงแสงเป็นอนุภาคไหมครับ เป็นต้น ยกตัวอย่างให้เห็นภาพ เหมือนแบ่งแก้วเป็นสองส่วน แล้วกลับมาต่อใหม่ ยังไงก็ไม่เหมือนเดิมครับ ไม่รู้ว่าผมจะเสนอความคิดนี้แล้วจะมีคนเชื่อผมหรือไม่ อย่างน้อย ก็ให้เกิดการกระตุ้นให้คนสนใจมากขึ้นครับ จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 07:15:35 A:124.121.82.216 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 31   0.999... คือสัญญลักษณ์แทนค่าลิมิตของลำดับนี้ {0, 0.9, 0.99, 0.999, ...} ซึ่งเท่ากับ 1 .................................................................... น่าจะเขียนว่า lim 0.999....=1 จะทำให้คนเข้าใจได้ดีกว่า ถ้า 0.999....=0.9999.... แต่ไม่เท่ากับ 1 จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 07:20:04 A:124.121.82.216 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 32   คห.13 ผมบอกไปแล้ว ว่าผมไม่ยอมรับ 0.333...*3=0.9999..... เหตุผลบอกไปแล้ว เกี่ยวกับคุณไม่ไวพอที่จะคูณตัวสุดท้ายได้ ถ้าคุณไวพอต้องคูณตัวที่มีตัวทด เช่น 0.3333....*8 เป็นต้น จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 07:24:37 A:124.121.82.216 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 33 ถ้าคุณแย้งว่า มันไม่มีสมบัติพวกนี้ ก็แสดงว่าคุณคิดว่ามันไม่ใช่จำนวนจริง งั้นผมสรุปใหม่ - ไม่มี "จำนวนจริง 0.999... ที่ไม่เท่ากับ 1" - "ถ้ามีจำนวนจริง 0.999..." มันก็จะเท่ากับ 1 ตามเหตุผลที่เขียนไว้ข้างบน และตามที่คนอื่นๆ เขาพิสูจน์กัน การบวก การคูณ ไม่เกี่ยวกับความเร็ว เลขตัวหลังๆ ไม่ได้เพิ่มจำนวนขึ้นเรื่อยๆ มันมีอยู่แล้วตั้งแต่แรก ไม่ได้สร้างเพิ่มขึ้นมาเรื่อยๆ ไม่จำเป็นต้องทำทีละหลัก ทำพร้อมๆ กันทั้งหมดก็ได้ ก็เรารู้อยู่แล้วว่ามันเป็นเลขอะไร ถึงแม้เราจะไม่ได้แจกแจงเขียนมันออกมาทั้งหมดก็ตาม เราคิดได้ง่ายเพราะว่ามันเหมือนกันหมด จากคุณ : ผลึกความคิด เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 09:25:38

ความคิดเห็นที่ 34 0.333... = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + 3/10000  ... 0.333... * 8 = 24/10 + 24/100 + 24/1000 + 24/10000  ...             = 2.4 + 0.24 + 0.024 + 0.0024  ...             = 2.666 ... จากคุณ : ผลึกความคิด เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 09:29:44

ความคิดเห็นที่ 35 #27 เริ่มจากคุณ คห.12 เถ้าลอย ก่อน การที่คุณจะบวก หรือ ลบ หรือ คูณ ปกติคุณไม่ทำจากหลังมาหน้าก่อนหรือครับ แล้วคุณไม่เผื่อตัวทดเลยหรอ 3*0.9999.... จากคุณ : สงสัยจัง จะ + - * / ทำจากหน้าไปหลัง หลังไปหน้า ปัดขึ้นแล้วลบออก ปัดออกแล้วบวกเข้า ทำวิธีไหนก็ได้ที่สะดวกครับ ไม่มีหลักตายตัว บางโจทย์บวกจากหน้าไปหลังยาก บางโจทย์ บวกจากหน้าไปหลังง่ายก็มี บางโจทย์แทนค่าแล้วค่อยมาถอดออกทีหลังก็ง่าย บางโจทย์คิดในใจ ก็ปัดขึ้นแล้วลบออกทีหลัง บางโจทย์ก็ใช้วิธีแยกคิด ตราบใดที่ยังไม่มีกฏกำหนดตายตัว ว่าต้องคิดจากหลักสุดท้าย คิดยังไง ผลก็ออกมาเท่ากันครับ จากคุณ : เถ้าลอย เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 11:09:29

ความคิดเห็นที่ 36   ถ้าจะบอกว่า บวกกันได้ 0.333.. + 0.333.. + 0.333.. บวกกันพร้อมกันหรอ ตามหลักบวกกันแบบนั้นหรอ ????? ถ้ายังงั้น 1 x 2 :: (0.333.. + 0.333.. + 0.333..) x 2 1 x 2 :: (0.333.. + 0.333.. + 0.333..) + (0.333.. + 0.333.. + 0.333..) 2 = 1.999... ??? งั้นหรอ ถ้าสมบัติจำนวนจริง a x c = b x c ; a = 1 , b = 0.999.. , c = จำนวนใดๆ แสดงว่าจะต้องพิสูจน์ได้ด้วยสิ ????? ไม่เช่นนั้นอะไรแน่ที่ผิด ???? หรือจะบอกสมบัติผิด ???? จากคุณ : RakRok12 เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 11:15:17

ความคิดเห็นที่ 37   ลองพิสูจน์หน่อยว่า 1 x c :: 0.999.. x c ด้วยจำนวน c ใด ๆ หน่อย ?? 1 x 3 :: 0.999.. x 3 พิสูจน์หน่อย จากคุณ : RakRok12 เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 11:17:59

ความคิดเห็นที่ 38   ไม่รวมไปถึง c ที่เป็นจำนวนจริงอื่นด้วยนะ ถ้า c เป็น 0.999.. ล่ะ ??? ควรจะต้องหาได้ด้วยใช่หรือไม่ ??? จากคุณ : RakRok12 เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 11:19:27

ความคิดเห็นที่ 39   แล้ว 0.999.. x 0.999.. มันหายังไงหรอ 5555 จากคุณ : RakRok12 เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 11:21:40

ความคิดเห็นที่ 40   #31 lim 0.999... ไม่นิยาม เนื่องจาก 0.999... ไม่ใช่ลำดับ เมื่อไม่ใช่ลำดับ จึงไม่สามารถพูดถึง limit ของมันได้ 0.999... เป็น สัญญลักษณ์แทนจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง ซึ่งมีหลายสัญญลักษณ์ อีกสัญญลักษณ์ที่แทนจำนวนจริงเดียวกันนี้ คือ 1 จากคุณ : kuzibimun เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 11:36:39

ความคิดเห็นที่ 41 0.999... x 0.999.. (9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 + ...) x (9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 + ...) 81/100 + (81x2)/1000 + (81x3)/10000 + ... sum(n=1 to infinity) n(92)/10n+1 = 0.999... แก้ไขเมื่อ 04 ก.ย. 53 13:43:22 จากคุณ : เถ้าลอย เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 12:27:21

ความคิดเห็นที่ 42   แล้ว 1 x 0.999.. ได้เท่าไหร่ ???   1 หรือ 0.999.. จากคุณ : RakRok12 เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 14:29:10

ความคิดเห็นที่ 43 ^ ได้ทั้ง 2 อย่างครับ มันเท่ากัน จากคุณ : ผลึกความคิด เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 15:48:26

ความคิดเห็นที่ 44 #36 2 = 1.999... ??? งั้นหรอ ใช่ครับ 2 = 1.999... ไม่เห็นจะมีอะไรผิดนี่ครับ  คุณคิดว่าอะไรผิดก็บอกมาสิ จากคุณ : ผลึกความคิด เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 16:16:23

ความคิดเห็นที่ 45 1 = 0.99... 1 + 1 = 0.99... +1 2 = 1.99... 3 = 2.99... 4 = 3.99... ปัญหาพวกนี้ ไม่ใช่ปัญหาคณิตศาสตร์ของการ + - * / ธรรมดาๆครับ ถ้าเข้าใจในเรื่องอนุกรม จะเข้าใจปัญหานี้ได้ไม่ยาก จากคุณ : เถ้าลอย เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 16:23:39

ความคิดเห็นที่ 46   x จากคุณ : www เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 16:28:29 A:183.89.101.56 X: TicketID:285621

ความคิดเห็นที่ 47   ลองพิสูจน์ด้วยวิธีอื่นดูครับ x = 0.999... 10x = 9.999... 10x - x = 9.999... - 0.999... 9x=9 x=1 จากคุณ : www เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 16:31:17 A:183.89.101.56 X: TicketID:285621

ความคิดเห็นที่ 48   กลับมาต่อนะครับ ความคิดเห็นที่ 34 0.333... จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 17:54:41 A:124.122.199.112 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 49   อ้าวไม่ขึ้น เอาใหม่ ยิ่งขี้เกียจพิมพ์อยู่ ความคิดเห็นที่ 34 0.333... = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + 3/10000 ... 0.333... * 8 = 24/10 + 24/100 + 24/1000 + 24/10000 ... = 2.4 + 0.24 + 0.024 + 0.0024 ... = 2.666 ... จากคุณ : ผลึกความคิด เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 09:29:44 ...................................................... ผมกดเครื่องคิดเลขดู ได้ 2.6664 นะครับ ถ้ามีตัวต่อไป เลข 4 จะเปลี่ยนเป็น 6 และตำแหน่งต่อไปก็จะมีเลข 4 รออยู่เสมอ เรียกว่า ถึงจุดอนันต์เมื่อไหร่ เจอเลข 4 ลงท้ายแน่ จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 17:57:55 A:124.122.199.112 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 50   1 = 0.99... 1 + 1 = 0.99... +1 2 = 1.99... 3 = 2.99... 4 = 3.99... ปัญหาพวกนี้ ไม่ใช่ปัญหาคณิตศาสตร์ของการ + - * / ธรรมดาๆครับ ถ้าเข้าใจในเรื่องอนุกรม จะเข้าใจปัญหานี้ได้ไม่ยาก จากคุณ : เถ้าลอย เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 16:23:39 ................................................................. ผมเรียนไปแล้วว่า กรุณาอย่าเพิ่งใช้ 1=0.999.... ตอนนี้ เพราะเราต้องการ พิสูจน์ว่า 1=0.9999...... จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 18:00:34 A:124.122.199.112 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 51   ความคิดเห็นที่ 47 ลองพิสูจน์ด้วยวิธีอื่นดูครับ x = 0.999... 10x = 9.999... 10x - x = 9.999... - 0.999... 9x=9 x=1 จากคุณ : www เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 16:31:17 A:183.89.101.56 X: TicketID:285621 .................................................... วิธีการ นี้ ผมเคยใช้บ่อย เฉพาะตอนสอบ นะครับ เพราะผมต้องตอบเอาใจคนให้คะแนน แต่ตอนนี้ ผมไม่ได้สอบเลยอยากบอกว่า 0.9999...... ลบ 0.999..... ความจริงไม่ได้ 0 นะครับ มันมีข้อยกเว้น เช่นเดียวกับ X/X=1 มันก็มีข้อยกเว้น เมื่อ X=0 ไม่ได้ ในสายตาคุณเห็น 0.9999..... (ตัวตั้ง)เหมือนกันกับ 0.9999....(ตัวตาม) เลยคิดว่า X-X=0 ใช่ไหม ที่จริงมันใช้ไม่ได้กับ เลขทศนิยมซ้ำ เพราะมันคือข้อยกเว้น เหตุผล ผมอธิบายไปแล้ว ว่า ทุกๆเสี้ยววินาที มันจะ gen เลข 9 ขึ้นเรื่อยๆ นับตั้งแต่คุณเริ่มสนใจมัน และความเร็วที่มัน gen เลข 9 ขึ้นมา ก็ไม่เท่ากัน ดังนั้น ตอนที่คุณลบ คุณรู้ได้ยังไงว่า ตำแหน่งหลังจุดทศนิยมมันเท่ากันพอดี เพราะมันยังวิ่งไปหาจุดอนันต์เรื่อยๆ เวาลาคุณลบ กัน จะต้องมีตัวใดตัวหนึ่ง เกินตำแหน่ง คำตอบออกมาจะได้ประมาณนี้ 0.00000.......09999999... วันนี้คุณอาจจะขำ วันหน้า คุณอาจคิดถึงคำพูดผมก้ได้ จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 18:26:29 A:124.122.199.112 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 52   #36 2 = 1.999... ??? งั้นหรอ ใช่ครับ 2 = 1.999... ไม่เห็นจะมีอะไรผิดนี่ครับ คุณคิดว่าอะไรผิดก็บอกมาสิ จากคุณ : ผลึกความคิด เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 16:16:23 .............................................................. ผมไม่ได้ว่าคุณผิด เพราะเรากำลัง ถกกันอยู่เรื่อง 1=0.9999.... ดังนั้น อย่าเพิ่งใช้ 1=0.9999..... ตอนนี้ ต้องพิศูจน์ให้ได้ก่อนครับ ค่อยเอามาใช้ จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 18:29:51 A:124.122.199.112 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 53   ความคิดเห็นที่ 42 แล้ว 1 x 0.999.. ได้เท่าไหร่ ??? 1 หรือ 0.999.. จากคุณ : RakRok12 เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 14:29:10 ................................................... ได้ 0.9999...... ครับ เพราะมันเปิดโอกาสให้ 10^n คูณได้ 1= 10^0 เลย ได้ค่าเท่าเดิม จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 18:33:03 A:124.122.199.112 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 54   ความคิดเห็นที่ 40 #31 lim 0.999... ไม่นิยาม เนื่องจาก 0.999... ไม่ใช่ลำดับ เมื่อไม่ใช่ลำดับ จึงไม่สามารถพูดถึง limit ของมันได้ 0.999... เป็น สัญญลักษณ์แทนจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง ซึ่งมีหลายสัญญลักษณ์ อีกสัญญลักษณ์ที่แทนจำนวนจริงเดียวกันนี้ คือ 1 จากคุณ : kuzibimun เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 11:36:39 .......................................................... เมื่อเขียน lim 0.999..... = 1 ไม่ได้ ต้องบัญญัติ คำอื่นมาใส่แล้วครับ เพราะ0.9999.....มันไม่เท่ากับ 1 แต่คุณต้องการบอกค่าที่มันวิ่งเข้าใกล้ 1เช่นมาบอกว่า 0.9999...... มันมีค่าเข้าใกล้ 1 คุณอาจจะเขียนว่า near 0.9999.....= 1 ก็ได้ (อันนี้ผมเสนอ ไม่เอาก็ได้) จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 18:41:56 A:124.122.199.112 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 55   ความคิดเห็นที่ 41 0.999... x 0.999.. (9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 + ...) x (9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 + ...) 81/100 + (81x2)/1000 + (81x3)/10000 + ... sum(n=1 to infinity) n(92)/10n+1 = 0.999... แก้ไขเมื่อ 04 ก.ย. 53 13:43:22 จากคุณ : เถ้าลอย เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 12:27:21 .................................................. อย่าเพิ่งไปถึงขั้นนั้นเลยครับ เอาจำนวนเต็ม(ที่ไม่ใช่ 10^n) คูณ 0.9999............. ยังยากเลยครับ ไม่รู้จะตอบตัวสุดท้ายยังไง จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 18:45:31 A:124.122.199.112 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 56 "เหตุผล ผมอธิบายไปแล้ว ว่า ทุกๆเสี้ยววินาที มันจะ gen เลข 9 ขึ้นเรื่อยๆ นับตั้งแต่คุณเริ่มสนใจมัน และความเร็วที่มัน gen เลข 9 ขึ้นมา ก็ไม่เท่ากัน" โอเคครับ ปิดประเด็น เลิกคุย เพราะท่าทางจะคุยต่อก็ไม่มีประโยชน์ จากคุณ : เถ้าลอย เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 18:47:23

ความคิดเห็นที่ 57   ถ้าคุณแย้งว่า มันไม่มีสมบัติพวกนี้ ก็แสดงว่าคุณคิดว่ามันไม่ใช่จำนวนจริง งั้นผมสรุปใหม่ - ไม่มี "จำนวนจริง 0.999... ที่ไม่เท่ากับ 1" - "ถ้ามีจำนวนจริง 0.999..." มันก็จะเท่ากับ 1 ตามเหตุผลที่เขียนไว้ข้างบน และตามที่คนอื่นๆ เขาพิสูจน์กัน การบวก การคูณ ไม่เกี่ยวกับความเร็ว เลขตัวหลังๆ ไม่ได้เพิ่มจำนวนขึ้นเรื่อยๆ มันมีอยู่แล้วตั้งแต่แรก ไม่ได้สร้างเพิ่มขึ้นมาเรื่อยๆ ไม่จำเป็นต้องทำทีละหลัก ทำพร้อมๆ กันทั้งหมดก็ได้ ก็เรารู้อยู่แล้วว่ามันเป็นเลขอะไร ถึงแม้เราจะไม่ได้แจกแจงเขียนมันออกมาทั้งหมดก็ตาม เราคิดได้ง่ายเพราะว่ามันเหมือนกันหมด จากคุณ : ผลึกความคิด เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 09:25:38 .................................................................... ผมไม่เห็น 0.9999.....=1 ตรงไหนเลย แต่ค่าประมาณใกล้เคียง 1 มาก อาจจะใกล้มากๆๆๆๆๆทำให้หลายคนคิดว่ามันเท่ากัน มันกำลังวิ่งเข้าหา 1 อยู่ ทุกขณะ แต่ไปไม่ถึงสักที เหมือนกับ คุณ เอา เลข 1 หาร 2 ได้เท่าไหร่ แล้วหาร 2 ไปเรื่อยๆๆ หารให้ตายมันก้ไม่มีวันเท่ากับ 0 ไปได้ แต่มันเข้าใกล้ 0 เลย ใช้ค่าประมาณ เป็น 0 เลย จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 18:58:22 A:124.122.199.112 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 58   ความคิดเห็นที่ 56 "เหตุผล ผมอธิบายไปแล้ว ว่า ทุกๆเสี้ยววินาที มันจะ gen เลข 9 ขึ้นเรื่อยๆ นับตั้งแต่คุณเริ่มสนใจมัน และความเร็วที่มัน gen เลข 9 ขึ้นมา ก็ไม่เท่ากัน" โอเคครับ ปิดประเด็น เลิกคุย เพราะท่าทางจะคุยต่อก็ไม่มีประโยชน์ จากคุณ : เถ้าลอย เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 18:47:23 ..................................................................... อ้าว ไม่ถกต่อแล้วหรือครับ ผมพูดผิดตรงไหน ถ้าคุณ เถ้าลอยคิดว่า 0.9999...... มันที่ตำแหน่งหลังจุดทศนิยมคงที่ แล้วมันมีเลข 9 กี่ตัวครับ ถ้าคุณตอบได้ ความคิดของคุณก็ถูกทั้งหมด เช่น คุณสามารถบวก หรือ ลบ จากตัวหน้าไปตัวหลังได้ จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 19:14:39 A:124.122.199.112 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 59   การเปลี่ยนเศษส่วนให้เป็นทศนิยมทำได้อย่างไร? (ห้ามใช้เครื่องคิดเลขหรือคอมพิวเตอร์ช่วยคำนวณ) 1/9 = ? 1/9 = 0.111 หรือไม่? 1/9 – 0.111 > 0, หรือ 1/9 – 0.111 = 0 1/9 = 2/18 (เท่ากันด้วยเหตุผลทางกายภาพและคณิตศาสตร์) 1/9 = 0.111 (โดยกายภาพแล้วเท่ากันหรือไม่? แต่ ทางคณิตศาสตร์กำหนดให้เท่ากัน) เรายอมรับข้อกำหนดทางคณิตศาสตร์หรือไม่? ถ้ายอมรับ ก็เป็นอันสรุปได้ว่า 1/9 = 0.111 และ 0.999 = 1 ถ้าไม่ยอมรับก็เป็นอันสรุปได้ว่า 1/9 - 0.111 > 0 และ 1 =/= 0.999 จากคุณ : ร่วมวงด้วยคน เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 19:32:57 A:152.78.249.174 X: TicketID:252772

ความคิดเห็นที่ 60   ขอบคุณที่มาร่วมวงสนทนา ถ้ายอมรับ ก็เป็นอันสรุปได้ว่า 1/9 = 0.111 และ 0.999 = 1 ถ้าไม่ยอมรับก็เป็นอันสรุปได้ว่า 1/9 - 0.111 > 0 และ 1 =/= 0.999 ผม ขอแสดงความคิดเห็นว่า 1/9 = 0.9999..../9 1/3 = 0.9999.../3 1/6 = 0.9999.../6 1/7 = 0.9999.../7 แต่ 1/2 =/= 0.9999.../2 1/4 =/= 0.9999.../4 1/5 =/= 0.9999.../5 1/8 =/= 0.9999.../8 ครับ จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 20:00:25 A:124.122.199.112 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 61   การที่อ้างว่า 0.9999......=0.99999..................9 n ตัว ผมว่าแค่นี้ก้ผิดแล้ว เลข 9 มีมากมาย จน นับ n ตัวไม่ได้ อย่าตีกรอบให้มัน เอา 9 ตัวสุดท้ายไปดักไว้ครับ มันอาจจะเป็น 0.9999...........9999999999 n ตัว ก้ได้ ดังนั้น จะ มีค่า n ตัวไม่ได้ มันจะวิ่งต่อไปเรื่อยๆๆๆ ไม่มีที่สิ้นสุด ตราบใดที่สนใจมันอยู่ มันเป็นตัวเลขที่มีชีวิต จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 20:28:39 A:124.122.199.112 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 62 พอตอบหลายๆกระทู้ผมว่า เริ่มหาคำอธิบายกระชับๆสำหรับคนไม่เข้าใจได้ละ 0.999..... มี 9 ไปจนถึง อนันต์ ณ ที่ อนันต์ 0.999.... จะมีค่าเป็น 1 ดูได้จาก ค่าของอนุกรม ที่ลู่เข้า 1 เมื่อเข้าใกล้อนันต์ พฤติกรรม 0.999... จะวิ่งไปเรื่อยๆ ถ้าไม่ถึงอนันต์จะไม่เท่ากับ 1 ปกติแล้วเราจะวิ่งไล่ไม่ไปถึงอนันต์ (คห ที่ 51 เป็นคำถามที่ดีมากครับ เดี๋ยวผมจะตอบใน rep ทันไป) แต่ 0.999... โดยตัวของมันเองบอกอยู่แล้วว่า วิ่งไปจนถึง อนันต์ (เครื่องหมาย 9 ซ้ำ ที่เราใส่ไปใน 0.999... นั่นไง) เพราะฉะนั้น 0.999... เท่ากับ 1 ครับ  :) เราไม่สามารถใช้จุดสองจุด แยกระหว่างตำแหน่ง 0.999..กับ 1 ออกจากกันได้ (ไม่มีตัวเลขที่อยู่ระหว่าง 2 ตัวนี้) กรณีนี้รวมไปถึง 1.999... , 2.4999... , 9,999.999... หรืออื่นๆด้วยครับ ไม่จำเป็นต้องบวกจากหลังมาหน้าครับ จริงๆถ้ามันบวกจากหลังมาหน้าไม่ได้ เราก็ไม่จำเป็นต้องใช้วิธีเชคค่าด้วยการบวก หรอก จากคุณ : Firion เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 20:36:01

ความคิดเห็นที่ 63 #4 กับ #18 ผมนั่งพิมพ์เป็นชั่วโมง พิสูจน์ ตามที่คุณอยากให้ทำแล้ว คือ เริ่มจากการหารด้วย 2 ถ้าคุณเห็นว่าบรรทัดไหน ประโยคไหนผิด ก็บอกมา จะได้พิจารณาจุดที่ความเข้าใจไม่ตรงกัน แก้ไขเมื่อ 04 ก.ย. 53 20:40:54 จากคุณ : ผลึกความคิด เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 20:40:23

ความคิดเห็นที่ 64   จาก คห.4 นะครับ 0.999... = 0.4999... + 0.4999... ถูก 0.5 + 0.4999... = 0.999... ถูก 0.5 + 0.4999... = 0.999... = 0.4999... + 0.4999... ถูก 0.5 + 0.4999... = 0.4999... + 0.4999... ถูก 0.5 = 0.4999... อันนี้ เริ่ม ไม่เห็นด้วยครับ ไม่ใช่ผิดนะครับ คุณมอง 0.5+x=x+x ใช่ไหม คุณให้ 0.4999.... =x แล้ว ลบ X ทิ้งทั้งสองข้าง เหลือ 0.5 = x ที่ผมไม่เห็นด้วย อยู่ในความเห็นที่ 47 ความคิดเห็นที่ 51 ความคิดเห็นที่ 47 ลองพิสูจน์ด้วยวิธีอื่นดูครับ x = 0.999... 10x = 9.999... 10x - x = 9.999... - 0.999... 9x=9 x=1 จากคุณ : www เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 16:31:17 A:183.89.101.56 X: TicketID:285621 ................................................ วิธีการ นี้ ผมเคยใช้บ่อย เฉพาะตอนสอบ นะครับ เพราะผมต้องตอบเอาใจคนให้คะแนน แต่ตอนนี้ ผมไม่ได้สอบเลยอยากบอกว่า 0.9999...... ลบ 0.999..... ความจริงไม่ได้ 0 นะครับ มันมีข้อยกเว้น เช่นเดียวกับ X/X=1 มันก็มีข้อยกเว้น เมื่อ X=0 ไม่ได้ ในสายตาคุณเห็น 0.9999..... (ตัวตั้ง)เหมือนกันกับ 0.9999....(ตัวตาม) เลยคิดว่า X-X=0 ใช่ไหม ที่จริงมันใช้ไม่ได้กับ เลขทศนิยมซ้ำ เพราะมันคือข้อยกเว้น เหตุผล ผมอธิบายไปแล้ว ว่า ทุกๆเสี้ยววินาที มันจะ gen เลข 9 ขึ้นเรื่อยๆ นับตั้งแต่คุณเริ่มสนใจมัน และความเร็วที่มัน gen เลข 9 ขึ้นมา ก็ไม่เท่ากัน ดังนั้น ตอนที่คุณลบ คุณรู้ได้ยังไงว่า ตำแหน่งหลังจุดทศนิยมมันเท่ากันพอดี เพราะมันยังวิ่งไปหาจุดอนันต์เรื่อยๆ เวาลาคุณลบ กัน จะต้องมีตัวใดตัวหนึ่ง เกินตำแหน่ง คำตอบออกมาจะได้ประมาณนี้ 0.00000.......09999999... วันนี้คุณอาจจะขำ วันหน้า คุณอาจคิดถึงคำพูดผมก้ได้ จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 18:26:29 A:124.122.199.112 X: TicketID:155104 จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 21:21:09 A:124.122.199.112 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 65   ผลบวกของอนุกรมอนันต์ ผลบวกของอนุกรมจำกัด xN = a0 + a0*r + a0*r^2 + ... + a0*r^N ---- (1) r*xN = a0*r + a0*r^2 + ... + a0*r^N + a0*r^(N+1) -----(2) (1) - (2) (1 - r)*xN = a0 - a0*r^(N+1) xN =a0* [1 - r^(N+1)] / (1 - r) -------(3) ถึงตรงนี้คงไม่มีใครคัดค้าน ตรงนี้รับได้หรือไม่ มีทฤษฎีอยู่ว่า ถ้า 0< r < 1 แล้ว lim ( N --> inf) [r^(N+1)] = 0 ถ้ายอมรับไม่ได้ก็จบที่สมการ (3) แล้วสรุปว่า 1 =/= 0.999... ไม่ต้องคิดต่อ ถ้ายอมรับได้ก็จะพิสูจน์ต่อไปได้ว่า x = a0 + a0*r + a0*r^2 + ... = a0/(1 - r) * lim (N-->inf) [1 - r^(N+1)] = a0/(1 - r) สรุป x = a0 + a0*r + a0*r^2 + ... = a0/(1 - r) ------ (4) ถ้ายอมรับว่า 1/9 = 0.9999..../9 1/3 = 0.9999.../3 1/6 = 0.9999.../6 1/7 = 0.9999.../7 ก็เท่ากับยอมรับว่า x = a0 + a0*r + a0*r^2 + ... = a0/(1 - r) เพราะ 0.9999..../9 = (1/9)*[9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...] = 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... (ในที่นี้ a0 = 9/10 และ r = 1/10) = (1/10) / (1 - 1/10) = (1/10) / (9/10) = 1/9 ซึ่งก็ต้องยอมรับด้วยว่า 1/2 = 0.9999.../2 เพราะ 0.9999.../2 = (9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... )/2 = 9/20 + 9/200 + 9/2000 + ... (a0 = 9/20, r = 1/10) = (9/20) / (1 - 1/10) = (9/20) / (9/10) = 1/2 หมายเหตุ ความหมายของทฤษฎีนี้ ถ้า 0< r < 1 แล้ว lim ( N --> inf) [r^(N+1)] = 0 คือ (อธิบายโดยตัวอย่าง) 0.1^0 = 1 0.1^1 = 0.1 0.1^2 = 0.01 0.1^3 = 0.001 0.1^4 = 0.0001 . . . 0.1^10 = 0.0000000001 . . . 0.1^100000000000 = ???? (น้อยมากจนถือว่าเท่ากับ 0 ได้หรือไม่ ?) ตามความคิดเห็นของผมก็คือ ที่ถกเถียงกันตอนนี้คือ ฝ่ายหนึ่งยอมรับข้อตกลงนี้ (ทฤษฎีนี้) จึงมีความเห็นว่า 0.999... = 1 อีกฝ่ายหนึ่งไม่ยอมรับข้อตกลงนี้ จึงเกิดความเห็นว่า 0.999... =/= 1 เมื่อเห็นความจริงข้อนี้ เราควรจะทำอย่างไรต่อไปดี?? จากคุณ : ร่วมวงด้วยคน เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 21:26:07 A:152.78.249.174 X: TicketID:252772

ความคิดเห็นที่ 66   ส่วน คห.18 ดังนั้น 0.999... = (0.4999...)*2 ตรงนี้ไม่เห็นด้วยเพราะ 0.49*2 = 0.98 0.499*2 = 0.998 0.4999*2= 0.9998 0.49999*2 = 0.99998 0.49999.........*2 =0.9999..........8 หรือเปล่า เพราะ ตัวสุดท้าย ณ จุด อนันต์ ก้คือ 9 เมื่อ คูณ 2 แล้วมันได้อะไรครับ ยกเว้น คุณจะบอกว่า มันไม่มีตัวสุดท้าย เมื่อไม่มีตัวสุดท้าย 0.49999...... = 0.49999........ ก็ยังยากแล้ว เพราะต่างก็กำลังจะวิ่งไปยังไม่ถึง ณ จุด อนันต์ เราจะรู้ได้ยังไงว่า มันจะวิ่งไปพร้อมๆกัน ได้ตำแหน่งหลังจุดทศนิยม เท่ากัน จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 21:33:23 A:124.122.199.112 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 67 ในสายตาคุณเห็น 0.9999..... (ตัวตั้ง)เหมือนกันกับ 0.9999....(ตัวตาม) เลยคิดว่า X-X=0 ใช่ไหม ที่จริงมันใช้ไม่ได้กับ เลขทศนิยมซ้ำ เพราะมันคือข้อยกเว้น เหตุผล ผมอธิบายไปแล้ว ว่า ทุกๆเสี้ยววินาที มันจะ gen เลข 9 ขึ้นเรื่อยๆ นับตั้งแต่คุณเริ่มสนใจมัน และความเร็วที่มัน gen เลข 9 ขึ้นมา ก็ไม่เท่ากัน ดังนั้น ตอนที่คุณลบ คุณรู้ได้ยังไงว่า ตำแหน่งหลังจุดทศนิยมมันเท่ากันพอดี เพราะมันยังวิ่งไปหาจุดอนันต์เรื่อยๆ เวาลาคุณลบ กัน จะต้องมีตัวใดตัวหนึ่ง เกินตำแหน่ง คำตอบออกมาจะได้ประมาณนี้ 0.00000.......09999999... เป็นการเปรียบเทียบ ที่ผมอ่านแล้วทึ่งที่สุดตั้งแต่ถกเรื่องนี้มา ถึงมันจะเท่ากัน แต่ในเมื่อมันวิ่งไปถึงอนันต์แล้วรู้ได้อย่างไรว่ามันจะ เท่ากันไปสม่ำเสมอ ตอบว่าของแบบนี้ต้องพิสูจน์เท่านั้นครับ แนวคิดนี้ มีมาก่อนแล้ว และย้ำถึงความสำคัญของ limit ครับ ยกตัวอย่างนะครับ ฟังชั่น (sin(x))/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ฟังชั่นจะมีค่าเท่าไร ดูผ่านๆ ตอบได้เลยว่า 0/0 ซึ่งหาค่าไม่ได้ แต่ความจริงแล้วไม่ใช่ครับ คำตอบ ของ sin0/0 ข้อนี้มีค่าเป็น 1 !! เพราะตัวตั้งกับตัวหาร อัตราการวิ่งเข้าถึง 0 มันไม่เท่ากัน คำตอบจึงไม่ออกมาเป็น 0/0 เสมอไปครับ ทั้งๆที่มันเป็น 0 ทั้งตัวตั้งและตัวหาร แต่ขั้นตอนการทำ ทำให้คำตอบออกมาไม่เหมือนเดิม เช่นเดียวกับ 0.999... เราจะใช้การบวก ลบ คูณ หาร ไปจนถึง อนันต์ไม่ได้ ต้องใช้ limit ดูพฤติกรรม  เช่นกัน หวังว่าคงจะทำให้เคลียร์ขึ้นบ้างนะครับ ผมคงไม่บอกว่า 0.999... = 1 แต่อยากให้คุณลองศึกษาเองดูครับ เพราะ 0.999... คือ limit ของ ลำดับ แบบหนึ่ง เช่นกัน (ไม่ใช่ lim ของ 0.999 นะ แต่ตัว 0.999.. น่ะ คือ limit) จากคุณ : Firion เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 21:38:52

ความคิดเห็นที่ 68 ---- 0.5 + 0.4999... = 0.4999... + 0.4999... ถูก 0.5 = 0.4999... อันนี้ เริ่ม ไม่เห็นด้วยครับ ไม่ใช่ผิดนะครับ คุณมอง 0.5+x=x+x ใช่ไหม คุณให้ 0.4999.... =x แล้ว ลบ X ทิ้งทั้งสองข้าง เหลือ 0.5 = x ---- X = 0.4999... มองมันเป็นจำนวนนะครับ 0.5 + 0.4999... = 0.4999... + 0.4999... 0.5 + X = X + X เรื่องการลบ ก็คล้ายๆ การหาร แต่ต่างนิดหน่อยตรงที่ การลบไม่มีการห้ามตัวลบเป็นศูนย์ การลบจำนวนจริง บทนิยาม เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ   a - b = a + (-b)   นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b เพื่อไม่ให้ยุ่งยากเสียเวลา ผมจะใช้การบวกด้วยอินเวอร์สการบวกไปเลย สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a อินเวอร์สการบวกของ X เขียนว่า -X X + (-X) = 0 = (-X) + X 0.5 + X = X + X สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน  ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c (0.5 + X) + (-X) = (X + X) + (-X) สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c (0.5 + X) + (-X) = 0.5 + (X + (-X)) = 0.5 + 0 = 0.5 (X + X) + (-X) = X + (X + (-X)) = X + 0 = X สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c จากสมการข้างบนเอามาเขียนรวมกัน   0.5 = 0.5 + 0 = 0.5 + (X + (-X)) = (0.5 + X) + (-X)   (0.5 + X) + (-X) = (X + X) + (-X)   (X + X) + (-X) = X + (X + (-X)) = X + 0 = X จะได้ 0.5 = X จากคุณ : ผลึกความคิด เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 22:43:34

ความคิดเห็นที่ 69   มันก็จริงที่ว่า การที่ 0.999.. = 1 นั้น เป็นการเรียกใช้ lim ค่าเข้าใกล้ 1 ซึ่งมันไม่ใช่ 1 คือค่าเข้าใกล้ ก็น่าจะเป็นเหตุผลที่มันเกิดขึ้นมา เหมือน คห. 67 ว่ามา จากคุณ : RakRok12 เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 22:49:05

ความคิดเห็นที่ 70 ผมคิดเหมือนกันว่า 0.3333... ไม่สามารถนำมา * / ได้ เพราะจำนวนที่ไม่สิ้นสุดเป็นinfinityของมัน 0.3333... * อะไรก็ตาม ผมว่าไม่นิยาม เหมือนเคสที่ 1^infiny ไม่นิยามด้วยเช่นกันนะแหละ จากคุณ : 3N เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 00:09:06

ความคิดเห็นที่ 71 10x - x = 9.999... - 0.999... 9x=0.999... x=1 พิสูจน์แบบนี้ก็เหมือนกัน ไม่ต่างกับถามว่า อินฟินิตี้ -อินฟินิตี้ =0 รึเปล่ายังไงยังงั้น เพราะเราไม่รุ้ว่า 9.9999... และ 0.9999.... ที่มีเลข 9 จนถึงอนันต์ ค่าอินฟินิตี้ของมันเท่ากันจริงหรือ ไม่ต่างกับยัดเยียดว่า อินฟินิตี้ -อินฟินิตี้ =0 นะแหละ จากคุณ : 3N เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 00:47:03

ความคิดเห็นที่ 72 ค่าของมันไม่ใช่อินฟินิตี้ จากคุณ : ผลึกความคิด เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 01:19:03

ความคิดเห็นที่ 73   แต่มัน เป็นอนุกรมอินฟินิตี้ นี่  ??? เราไม่สามารถหาความเป็น infinity ได้ นอกจากการ take limit อย่างเดียว จากคุณ : RakRok12 เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 02:46:10

ความคิดเห็นที่ 74 #71 เข้าใจผิดหลายๆ ถูก ที่ว่าเราไม่สามารถ + - * / ได้ แต่คุณผิดเพราะกรณีนี้ต่างจาก inf - inf อย่างสิ้นเชิง เพราะ ค่าของมันไม่ใช่ inf ไม่งั้น 1.000.... ซึ่งมีทศนิยม inf จำนวนเหมือนกันก็ใช้ทำอะไรไม่ได้แล้วครับ แค่ +1.000.... ยังสรุปไม่ได้ว่าเท่ากับ 2 เลย ใครบอก 1ฅ ไม่นิยามครับ 1ฅ คือรูปแบบไม่กำหนดในแคลคูลัสต่างหาก ซึ่งนอกจากนี้แล้วเขาไม่เคยระบุไว้ว่า 1ฅ ไม่นิยามครับ  ที่ไม่นิยาม นั่นมัน (-1)ฑฅ ครับ แก้ไขเมื่อ 05 ก.ย. 53 03:59:40 จากคุณ : Firion เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 03:58:35

ความคิดเห็นที่ 75   สวัสดียามเช้าครับทุกท่าน เรามาเริ่มกันต่อ นะครับ คห.65 คุณร่วมวงด้วยคน ถ้ายอมรับว่า 1/9 จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 07:45:12 A:124.121.85.232 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 76   อ้าวไม่ขึ้น เอาใหม่ ถ้ายอมรับว่า 1/9 = 0.9999..../9 1/3 = 0.9999.../3 1/6 = 0.9999.../6 1/7 = 0.9999.../7 ก็เท่ากับยอมรับว่า x = a0 + a0*r + a0*r^2 + ... = a0/(1 - r) เพราะ 0.9999..../9 = (1/9)*[9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...] = 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... (ในที่นี้ a0 = 9/10 และ r = 1/10) = (1/10) / (1 - 1/10) = (1/10) / (9/10) = 1/9 ............................. ผมไม่ได้ยอมรับด้วยสูตร ผลบวกอนุกรม นะครับ แต่ผมยอมรับเพราะผมตั้งหาร แล้วได้ตัวเลขที่หน้าตาเหมือนกัน 1/3= 0.3333...... 0.9999..../3=0.3333...... แต่ผมยอมรับแบบมีเงื่อนไขว่ามันเท่ากันตอนที่มันอยู่เฉยๆยังไม่ได้ทำโอเปอร์เรชั่น บวก ลบ คูณ (ยกเว้นคูณด้วย 10^n) นะครับ จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 07:50:18 A:124.121.85.232 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 77   ท่านต่อมา คุณผลึกความคิด จากสมการข้างบนเอามาเขียนรวมกัน 0.5 = 0.5 + 0 = 0.5 + (X + (-X)) = (0.5 + X) + (-X) (0.5 + X) + (-X) = (X + X) + (-X) (X + X) + (-X) = X + (X + (-X)) = X + 0 = X จะได้ 0.5 = X จากคุณ : ผลึกความคิด เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 22:43:34 ....................................................................... ผมนึกแล้วว่าคุณมองอย่างที่ผมนึกไว้ ผมจะบอกว่า คุณจะใช้ บวก หรือ อินเวอร์ส การบวก ก้ตาม มันไม่สามารถใช้ได้กับเลข ทศนิยมซ้ำครับ ผมให้เหตุผลของผมไปหลายครั้งแล้ว คราวนี้ผมถามคุณมั้ง ว่า ตัวเลข ที่คุณเห็น 0.49999......มันมีทศนิยมกี่ตำแหน่ง แล้วคุณไปถามคนอื่น ตัวเลขเดียวกันนี้ ด้วยคำถามเดียวกันนี้ เขาตอบตรงกับคุณหรือไม่ ถ้าเท่ากัน มันถึงจะลบกันด้วย 0 ครับ 0.4999............ _ (ตัวตั้ง) 0.4999........... (ตัวตาม) 0.0000000000.........009999 (คำตอบอาจเป็นแบบนี้) จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 08:04:53 A:124.121.85.232 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 78   ขอบคุณ Firion ที่ช่วยยกเหตุผล ซับพอร์ท เหตุผลของผม ปกติผมลืมนึกถึงมันเลย มีคนว่าผม เพราะเราเรื่อง เวลา ความเร็ว มาเกี่ยว ถ้าคุณกลับไปอ่าน ความเห็นต้นๆ จะมีคน ว่าผมอย่างน้อย 3 คน ที่ผมอธิบาย เรื่องการ generate เลข ด้วยเวลา ที่เร็วมาก และความเร็วที่ไม่เท่ากัน ถึงแม้ว่า ผลการพิสูจน์ ออกมา 1=0.9999...... ก็ตาม แต่อย่างน้อย ผมเชื่อว่า สิ่งที่ผมบอกวันนี้ อาจมีคนนำเอาไปคิดต่อวันหน้าก้ได้ ข้างล่างเหตุผลซัพพอร์ท ................................................................................. ยกตัวอย่างนะครับ ฟังชั่น (sin(x))/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ฟังชั่นจะมีค่าเท่าไร ดูผ่านๆ ตอบได้เลยว่า 0/0 ซึ่งหาค่าไม่ได้ แต่ความจริงแล้วไม่ใช่ครับ คำตอบ ของ sin0/0 ข้อนี้มีค่าเป็น 1 !! เพราะตัวตั้งกับตัวหาร อัตราการวิ่งเข้าถึง 0 มันไม่เท่ากัน คำตอบจึงไม่ออกมาเป็น 0/0 เสมอไปครับ ทั้งๆที่มันเป็น 0 ทั้งตัวตั้งและตัวหาร แต่ขั้นตอนการทำ ทำให้คำตอบออกมาไม่เหมือนเดิม เช่นเดียวกับ 0.999... เราจะใช้การบวก ลบ คูณ หาร ไปจนถึง อนันต์ไม่ได้ ต้องใช้ limit ดูพฤติกรรม เช่นกัน หวังว่าคงจะทำให้เคลียร์ขึ้นบ้างนะครับ ผมคงไม่บอกว่า 0.999... = 1 แต่อยากให้คุณลองศึกษาเองดูครับ เพราะ 0.999... คือ limit ของ ลำดับ แบบหนึ่ง เช่นกัน (ไม่ใช่ lim ของ 0.999 นะ แต่ตัว 0.999.. น่ะ คือ limit) จากคุณ : Firion เขียนเมื่อ : 4 ก.ย. 53 21:38:52 จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 08:15:14 A:124.121.85.232 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 79   ความคิดเห็นที่ 70 ผมคิดเหมือนกันว่า 0.3333... ไม่สามารถนำมา * / ได้ เพราะจำนวนที่ไม่สิ้นสุดเป็นinfinityของมัน 0.3333... * อะไรก็ตาม ผมว่าไม่นิยาม เหมือนเคสที่ 1^infiny ไม่นิยามด้วยเช่นกันนะแหละ จากคุณ : 3N เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 00:09:06 ........................................................................ ผมยังไม่คิดเหมือนคุณ 100% แต่ความคิดเราใกล้เคียงกันครับ ถ้าเราเปลี่ยนแปลงคนทั้งโลกได้ ผมยกให้ใช้ชื่อคุณเลย 3N ผมจะบอกว่าทฤษฎี 3N คือ ทศนิยมซ้ำไม่รู้จบ ไม่สามารถเอามา คูณ ด้วยจำนวนจริงใดๆได้ยกเว้น ในรุปของ 10^n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม และไม่สามารถนำมา บวกและลบ ด้วยจำนวนจริงใดๆได้ แต่สามารถนำมาหารด้วยจำนวนจริงใดๆได้ หลักการ คุณสามารถทำ โอเปอร์ชั่นใดๆ ที่ไม่ได้ยุ่งกับตัวหลังสุดของมันได้ จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 08:25:21 A:124.121.85.232 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 80   คุณร่วมวงด้วยคน คห.65 คือ (อธิบายโดยตัวอย่าง) 0.1^0 = 1 0.1^1 = 0.1 0.1^2 = 0.01 0.1^3 = 0.001 0.1^4 = 0.0001 . . . 0.1^10 = 0.0000000001 . . . 0.1^100000000000 = ???? (น้อยมากจนถือว่าเท่ากับ 0 ได้หรือไม่ ?) ............................................................. อันนี้ผมชอบคุณมาก ที่คุณยอมรับว่ามันน้อยมาก แต่ก็ยังไม่เท่ากับ 0 ใช่ไหม ถ้าเจอคนขี้เกียจทำต่อ ก็อนุโลมว่าเท่ากับ 0 ไปเลย ก็ไม่มีใครว่า แต่อย่างน้อย ความจริง ก็ไม่เท่ากับกับ 0 อยู่ดี เหมือนกันกับ 0.9999...... มันยังไม่เท่ากับ 1 แต่มันกำลังวิ่งเข้าหา 1 ไปเรื่อยๆ ถ้าเจอคนขี้เกียจเฝ้ารอ ก้บอกว่ามันเท่ากับ 1 เลย ทั้งๆที่รู้ว่าไม่ใช่ จากคุณ : สงสัยจริง เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 08:33:36 A:124.121.85.232 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 81 อ่านแล้วก็สนุกดีนะครับ งั้นผมขอสรุป เรื่องที่คุณ สงสัยจังยอมรับแล้วได้มั้ยครับ พวกเพื่อนๆ เค้าจะได้บีบเรื่องให้แคบลงมาได้ จะได้อธิบายถูกประเด็น ตอนนี้ เท่าที่อ่าน คห. 76 คุณยอมรับว่า 1/3 = 0.333... และ 0.999... /3 =0.333.. แล้วนะครับ(เพียงแต่ยังไม่เชื่อ เวลาเอามาบวก ลบ คูณ หาร นะครับ) โอเคนะ ประเด็นต่อมา(ของผมเอง ฮิฮิ) คุณคิดว่า ไอ้เจ้า 0.999.. เนี่ย มันอยู่บนเส้นจำนวนจริงๆ ในช่วง [0,1] หมายถึงมีค่าไม่น้อยกว่าศูนย์และไม่เกินหนึ่งใช่ไหมครับ (ถ้าไม่ใช่ก็จบประเด็น แต่ใช่เพื่อนๆเค้าจะได้มาซักกันต่อ) จากคุณ : The mask of tears เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 08:37:29

ความคิดเห็นที่ 82   ความคิดเห็นที่ 81 อ่านแล้วก็สนุกดีนะครับ งั้นผมขอสรุป เรื่องที่คุณ สงสัยจังยอมรับแล้วได้มั้ยครับ พวกเพื่อนๆ เค้าจะได้บีบเรื่องให้แคบลงมาได้ จะได้อธิบายถูกประเด็น ตอนนี้ เท่าที่อ่าน คห. 76 คุณยอมรับว่า 1/3 = 0.333... และ 0.999... /3 =0.333.. แล้วนะครับ(เพียงแต่ยังไม่เชื่อ เวลาเอามาบวก ลบ คูณ หาร นะครับ) โอเคนะ ประเด็นต่อมา(ของผมเอง ฮิฮิ) คุณคิดว่า ไอ้เจ้า 0.999.. เนี่ย มันอยู่บนเส้นจำนวนจริงๆ ในช่วง [0,1] หมายถึงมีค่าไม่น้อยกว่าศูนย์และไม่เกินหนึ่งใช่ไหมครับ (ถ้าไม่ใช่ก็จบประเด็น แต่ใช่เพื่อนๆเค้าจะได้มาซักกันต่อ) จากคุณ : The mask of tears เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 08:37:29 .................................................................. คุณเข้าใจผมถุกต้อง ทุกประการครับ เชิญซักต่อได้ครับ วันที่ 7-11 นี้ไม่อยุ่นะครับ ไปเที่ยว ถ้าผมยังไม่ได้ตอบผมจะขึ้นกระทู้ใหม่ตอบให้ แล้วกัน หมายเหตุ ผมตอบในส่วนที่เข้าใจนะครับ จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 09:33:11 A:124.121.85.232 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 83 ตอบ #77 ครับ การบวกกันได้ 0 มันเป็นสมบัติของอินเวอร์สการบวกของจำนวนจริงครับ ถ้าคุณไม่เชื่อว่า 0.4999... + (อินเวอร์สการบวกของ 0.4999...) = 0 ถ้าจะให้คิดว่า 0.4999... + (อินเวอร์สการบวกของ 0.4999...) อาจไม่เท่ากับ 0 ผมนึกเหตุผลได้ 3 กรณี 1. 0.4999... ไม่เป็นจำนวนจริง จึงไม่จำเป็นต้องมีอินเวอร์สการบวก อย่างที่จำนวนจริงทุกจำนวนเขามีกัน 2. จำนวนจริงบางจำนวน ไม่มีอินเวอร์สการบวก     (0.4999... เป็นจำนวนจริง แต่ไม่มีอินเวอร์สการบวก) 3. จำนวนจริงบางจำนวน กับอินเวอร์สการบวกของมัน บวกกันแล้วไม่ได้ 0   (0.4999... เป็นจำนวนจริง และมีอินเวอร์สการบวก แต่มันบวกกันแล้วไม้ได้ 0) คุณว่าเป็นแบบไหน หรือแบบอื่นก็ได้ แก้ไขเมื่อ 05 ก.ย. 53 10:44:47 จากคุณ : ผลึกความคิด เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 10:38:55

ความคิดเห็นที่ 84   ตอบคห.83 นะครับ 1. 0.4999... ไม่เป็นจำนวนจริง จึงไม่จำเป็นต้องมีอินเวอร์สการบวก อย่างที่จำนวนจริงทุกจำนวนเขามีกัน ผมไม่เลือกข้อนี้ครับ เพราะจำนวนจริง มันรวบรวม ทั้งตรรกยะ อตรรกยะ แล้ว 2. จำนวนจริงบางจำนวน ไม่มีอินเวอร์สการบวก (0.4999... เป็นจำนวนจริง แต่ไม่มีอินเวอร์สการบวก) ผมเกือบเลือกข้อนี้ แต่ยังไม่ครอบคลุมเรื่องการบวก การคูณ 3. จำนวนจริงบางจำนวน กับอินเวอร์สการบวกของมัน บวกกันแล้วไม่ได้ 0 (0.4999... เป็นจำนวนจริง และมีอินเวอร์สการบวก แต่มันบวกกันแล้วไม้ได้ 0) ไม่เลือกครับ คุณว่าเป็นแบบไหน หรือแบบอื่นก็ได้ ผมเลือกแบบที่ 4 จำนวนจริง บางจำนวน ไม่สามารถ ทำการบวก อินเวอร์สการบวก และคูณด้วยจำนวนจริงใดๆ(ยกเว้น 10^n) ได้ จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 11:20:08 A:124.121.85.232 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 85   อนุกรม อินฟินิตี้ ครับ ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// ผมคงไม่บอกว่า 0.999... = 1 แต่อยากให้คุณลองศึกษาเองดูครับ เพราะ 0.999... คือ limit ของ ลำดับ แบบหนึ่ง เช่นกัน (ไม่ใช่ lim ของ 0.999 นะ แต่ตัว 0.999.. น่ะ คือ limit) ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// เราจะหาค่ามัน ก็ต้องหาด้วย limit นี่   อุนกรมอินฟินิตี้ หาค่าได้ด้วยหรอ ???? มันคือค่าเข้าใกล้ไม่ใช่หรือไง ???? จากคุณ : RakRok12 เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 11:48:59

ความคิดเห็นที่ 86 (เนื่องจากงานเยอะ นานๆทีผมจึงจะเข้าซักถามนะครับคุณสงสัยจัง) ถามต่อนะครับ ในเมื่อคุณยอมรับว่า 0.333... = 1/3 ดังนั้นแสดงว่า คุณยอมรับ 0.333... เป็นจำนวนจริงใช่ไหมครับ (เพราะว่ามันก็คือ 1/3) จากคุณ : The mask of tears เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 15:31:43

ความคิดเห็นที่ 87   ถูกต้องครับ เพราะผมไม่อยาก ครีเอท จำนวนใหม่ แต่จำนวนจริง บางจำนวน ไม่สามารถ ทำการบวก อินเวอร์สการบวก และคูณด้วยจำนวนจริงใดๆ(ยกเว้น 10^n) ได้ จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 15:37:00 A:124.121.85.232 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 88 ถ้าเกิด 0.999 < 1 จริง ก็ต้องหา จำนวนที่อยู่ระหว่าง 0.999... กับ 1 อะครับ แก้ไขเมื่อ 05 ก.ย. 53 22:04:49 จากคุณ : ก้อนเมฆสีเทา (meklord) เขียนเมื่อ : 5 ก.ย. 53 21:52:01

ความคิดเห็นที่ 89   ถ้าคุณมอง 0.999... เป็นจำนวนตรรกยะ และ 1 เป็นจำนวนตรรกยะ มันย่อมมีจำนวนอตรรกยะ อยู่ตรงกลางเสมอ นั่นคือ 0.999... นั่นเองครับ ผมเขียนแสดงได้ 3*0.333... <(0.333...)^2< 1 จากทฤษฎีของผมเอง 0.999.... เป็นตัวพิเศษ เป็นได้ทั้งรูป ตรรกยะ และรูป อตรรกยะ หรือจะพูดแบบชาวบ้านง่ายๆก้ได้ครับ ว่าตัวนี้ยกเว้น จากการพิสูจน์ดังนี้ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง 0.99 <x<1.00 มี X ไหมครับ แล้ว 0.99<1.00 หรือเปล่า ทศนิยม 1000 ตำแหน่ง 0.999..................9 (9 มีพันตัว)<x<1.0000............0(0 มีพันตัว) มี X ไหมครับ ทศนิยม มากมาย ตัว (สมมุติว่า มากมายตัวเป็นค่าคงที่ๆเยอะมมาก) 0.999..................9 (9 มีมากมายตัว)<x<1.0000............0(0 มีมากมายตัว) มี X ไหมครับ จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 6 ก.ย. 53 06:03:20 A:124.121.81.128 X: TicketID:155104

ความคิดเห็นที่ 90   ขอแก้ข้อความข้างบน ไม่มีล็อกอินแก้ไม่ได้นะครับ 3*0.333... <(0.333...)^2< 1 แก้เป็น 3*0.333....<(0.333..) *3<1 จากคุณ : สงสัยจัง เขียนเมื่อ : 6 ก.ย. 53 06:08:27 A:124.121.81.128 X: TicketID:155104