กำหนดให้สี่เหลี่ยม ABCD มีความยาวด้าน AB = a, BC = b, CD = c และ DA = d, s = (a + b + c + d)/2 และ AREA = พื้นที่สี่เหลี่ยม ABCD
จะได้ว่า AREA = sqrt[(s - a)(s - b)(s - c)(s - d) - abcd(cos(A+C)/2)^2]
หรือ AREA = sqrt[(s - a)(s - b)(s - c)(s - d) - abcd(cos(B+D)/2)^2]
พิสูจน์
ลากเส้นทแยงมุม BD และกำหนดให้ BD = x
พื้นที่สามเหลี่ยม ABD = (a*d*sinA)/2 และ พื้นที่สามเหลี่ยม BCD = (b*c*sinC)/2
เพราะฉะนั้น AREA = (a*d*sinA + b*c*sinC)/2
4*AREA = 2(a*d*sinA + b*c*sinC)
16*(AREA^2) = 4[(a^2)(d^2)(sinA)^2 + 2*a*b*c*d*sinA*sinC + (b^2)(c^2)(sinC)^2] --- (1)
จากสามเหลี่ยม ABD โดยกฎของโคไซน์ จะได้ x^2 = a^2 + d^2 - 2*a*d*cosA
จากสามเหลี่ยม BCD โดยกฎของโคไซน์ จะได้ x^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cosC
เพราะฉะนั้น a^2 + d^2 - 2*a*d*cosA = b^2 + c^2 - 2*b*c*cosC
a^2 + d^2 - b^2 - c^2 = 2(a*d*cosA - b*c*cosC)
(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2 = 4[(a^2)(d^2)(cosA)^2 - 2*a*b*c*d*cosA*cosC + (b^2)(c^2)(cosC)^2] --- (2)
(1) + (2); 16*(AREA^2) + (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2 = 4[(a^2)(d^2)(sinA)^2 + 2*a*b*c*d*sinA*sinC + (b^2)(c^2)(sinC)^2] + 4[(a^2)(d^2)(cosA)^2 - 2*a*b*c*d*cosA*cosC + (b^2)(c^2)(cosC)^2]
16*(AREA^2) + (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2 = ...
16*(AREA^2) + (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2 = 4[(a*d + b*c)^2 - 4*a*b*c*d*(cos((A + C) + 1))/2]
16*(AREA^2) = 4(a*d + b*c)^2 - (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2 - 16*a*b*c*d*(cos(A + C)/2)^2] --- (3)
จัดรูป 4(a*d + b*c)^2 - (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2 = (-a + b + c + d)(a - b + c + d)(a + b - c + d)(a + b + c - d) = 16(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)
จาก (3); 16*(AREA^2) = 16(s - a)(s - b)(s - c)(s - d) - 16*a*b*c*d*(cos(A + C)/2)^2]
เพราะฉะนั้น AREA = sqrt[(s - a)(s - b)(s - c)(s - d) - abcd(cos(A+C)/2)^2]
เพราะว่า A + B + C + D = 360 จะได้ (A + C)/2 = 180 - (B + D)/2
เพราะฉะนั้น [cos(A + C)/2]^2 = [cos(B + D)/2]^2
เพราะฉะนั้น AREA = sqrt[(s - a)(s - b)(s - c)(s - d) - abcd(cos(B+D)/2)^2]
ผิดนั่น ผิดนี่ !! 
แก้ไขเมื่อ 24 มิ.ย. 54 00:33:18
แก้ไขเมื่อ 24 มิ.ย. 54 00:19:01
แก้ไขเมื่อ 24 มิ.ย. 54 00:16:28
มุมภายในของสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า...ชวนงง
