PANTIP.COM : X10736289 ผลรวมของ พ.ท. รูปวงกลมเท่ากับเท่าไหร่ครับ??? [คณิตศาสตร์]

ความคิดเห็นที่ 6

ให้พื้นที่สามเหลี่ยมABC = S , รัศมีของวงกลมอันใหญ่สุด = R และให้ความสูงของสามเหลี่ยมABC = k

จากพื้นที่สามเหลี่ยมจะได้ว่า S = (1/2)ck \ k = 2S/c

วงกลมอันใหญ่สุดเป็นวงกลมแนบในสามเหลี่ยมABC ดังนั้น R = 2S/(a+b+c)

และได้ความสูงของสามเหลี่ยมEDC = k - 2R

อาศัยสามเหลี่ยมคล้ายระหว่างABCกับEDC จะได้
ความยาวED / c = (k - 2R)/k \ ความยาวED = c(k - 2R)/k

ดังนั้นพื้นที่สามเหลี่ยมEDC = (1/2)(ความยาวED)(c) = c(k-2R)²/(2k)

จะได้ว่า พื้นที่สี่เหลี่ยมABED = พื้นที่สามเหลี่ยมABC - พื้นที่สามเหลี่ยมEDC
= S - c(k-2R)²/(2k)
= 4Sc(a+b)/((a+b+c)²) ; แทนค่าR = 2S/(a+b+c) , k = 2S/c และจัดรูป

เนื่องจากพื้นที่สามเหลี่ยมABC = พื้นที่สี่เหลี่ยมABED + พื้นที่สี่เหลี่ยมEDGF + พื้นที่สี่เหลี่ยมGFTH + พื้นที่สี่เหลี่ยมอันถัดๆไปทั้งหมด

จากความคล้ายของรูปจะได้ว่า
พื้นที่วงกลมอันใหญ่สุด/พื้นที่สี่เหลี่ยมABED = พื้นที่วงกลมอันที่สอง/พื้นที่สี่เหลี่ยมEDGF = พื้นที่วงกลมอันที่สาม/พื้นที่สี่เหลี่ยมGFTH = ...

ดังนั้น พื้นที่รวมวงกลมทุกรูป = พื้นที่วงกลมอันใหญ่สุด x พื้นที่สามเหลี่ยมABC / พื้นที่สี่เหลี่ยมABED
= pSR²(a+b+c)² / (4S(a+b)c)

\ พื้นที่รวมวงกลมทุกรูป = pS² / (c(a+b)) ; แทนค่า R = 2S/(a+b+c) และจัดรูป

เราสามารถหาS ในรูปของa,b,cได้จากสูตรของเฮรอน
จะได้ S² = (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)/16

แทนค่า S² จะได้ว่าพื้นที่รวมวงกลมทุกรูป = (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)p / (16c(a+b)) <<< Ans

ได้ตรงกับความเห็น5ครับ
แก้ไขเมื่อ 27 มิ.ย. 54 11:59:37

จากคุณ : อิอิคุง

เขียนเมื่อ : 27 มิ.ย. 54 11:58:53