ต้องการพิสูจน์ว่า (p^t) * (1 - p)^(K - t) > (q^t) * (1 - q)^(K - t), 0 < q < p < 1เป็นจริงทุกจำนวนเต็ม 1 <= t <= K ในที่นี้ L(t):= (p^t) * (1 - p)^(K - t) และ R(t):= (q^t) * (1 - q)^(K - t)
*
*
*
(ติดตรงนี้ที่เดียว ยังไงลองทำความเข้าใจส่วนที่เหลือดูก่อนครับ)
*
*
*
เพราะฉะนั้น L(1) > R(1) --- (A)
เพราะว่า L(n) = (p^n) * (1 - p)^(K - n), L(n) = (p^(n + 1)) * (1 - p)^(K - n - 1), R(n) = (q^n) * (1 - q)^(K - n) และ R(n + 1) = (q^(n + 1)) * (1 - q)^(K - n - 1)
เพราะฉะนั้น L(n), L(n + 1), R(n) และ R(n + 1) เป็นจำนวนจริงบวก ---(B)
เพราะว่า p > q --> p - pq > q - pq --> p(1 - q) > q(1 - p)
และเพราะว่า 0 < q < p < 1 --> 0 < 1 - p < 1 - q < 1
เพราะฉะนั้น p/(1 - p) > q/(1 - q)
เพราะว่า L(n + 1)/L(n) = p/(1 - p) และ R(n + 1)/R(n) = q/(1 - q)
เพราะฉะนั้น L(n + 1)/L(n) > R(n + 1)/R(n) ---(C)
จาก (A), (B) และ (C) เพราะฉะนั้น (p^t) * (1 - p)^(K - t) > (q^t) * (1 - q)^(K - t), 0 < q < p < 1 เป็นจริงทุกจำนวนเต็ม 0 <= t <= K
เพราะว่า (p^t) * (1 - p)^(K - t) > (q^t) * (1 - q)^(K - t)
เพราะฉะนั้น (K C t) * (p^t) * (1 - p)^(K - t) > (K C t) * (q^t) * (1 - q)^(K - t) --- (0)
และ (K C (t + 1)) * (p^(t + 1)) * (1 - p)^(K - t - 1) > (K C (t + 1)) * (q^(t + 1) * (1 - q)^(K - t - 1) --- (1)
และ (K C (t + 2)) * (p^(t + 2)) * (1 - p)^(K - t - 2) > (K C (t + 2)) * (q^(t + 2) * (1 - q)^(K - t - 2) --- (2)
และ ...
และ (K C K) * (p^K) * (1 - p)^(K - K) > (K C K) * (q^K * (1 - q)^(K - K) --- (n)
(1) + (2) + ... + (n): Sigma[i = t +1 , i = k][(K C i) * (p^i) * (1 - p)^(K - i)] > Sigma[i = t +1 , i = k][(K C i) * (q^i * (1 - q)^(K - i)] --- (n)
เพราะฉะนั้น การโยนเหรียญทั้งสองเหรียญๆละ K ครั้ง โอกาสที่จะได้หัวของเหรียญแรกมากกว่า t ครั้ง มากกว่า โอกาสที่จะได้หัวของเหรียญที่สองมากกว่า t ครั้ง
โจทย์ ความน่าจะเป็นของการโยนเหรียญถ่วงสองเหรียญ
