ความคิดเห็นที่ 1 eigenvector ทุกอัน จะตั้งฉากกัน v1*v2 = 0 v1*v3 = 0 v2*v3 = 0 v1*v2 = 0*0 + 1*(-1) + 1*1 = 0 ให้ v3 = (a, b, c) v1*v3 = 0*a + 1*b + 1*c = 0 -----------(1) v2*v3 = 0*a - 1*b + 1*c = 0 ------------(2) (1) + (2) ได้ c = 0 (1) - (2)  ได้ b = 0 a เป็น อะไรก็ได้ สมการ (1), (2) เป็นจริงเสมอ ดังนั้น เพื่อความสะดวก ให้ a = 1 ดังนั้น v3 = (1, 0, 0) เราจะใช้วิธีนี้ หา eigenvector ตัวที่เหลือ กรณีที่มี eigenvalue ซ้ำกัน แก้ไขเมื่อ 06 ก.ค. 54 23:40:46 แก้ไขเมื่อ 06 ก.ค. 54 23:40:17 จากคุณ : sky-hook-damper เขียนเมื่อ : 6 ก.ค. 54 23:30:35

ความคิดเห็นที่ 2 ใน field ของผม เรียกว่า มี degeneracy จากคุณ : ped cad เขียนเมื่อ : 6 ก.ค. 54 23:50:42

ความคิดเห็นที่ 3 ผมไม่พูดอะไรยุ่งยาก เอาสไตล์นักฟิสิกส์ละกัน การหาไอเก็นมันคืออะไร? มันคือสมการนี้ Ax=ax โดย A เป็นเมทริกซ์ของเรา x เป็นไอเกนเวกเตอร์ a เป็น eigenvalue จุดมุ่งหมายของเราคือ หาเมทริกซ์อะไรซักตัวนึงที่คูณเมทริกซ์ของเราแล้วได้เมทริกซ์ที่ว่านั่นคูณสเกล่าร์ตัวนึง ดังนั้นต่อให้มีสเกลาร์แค่ค่าเดียว ก็เป็นไปได้อยู่แล้วครับที่เราจะมีเมทริกซ์หลายชุดซึ่งคูณกันแล้วได้ตามเงื่อนไขนั้น จากคุณ : ECOS (thelegendofm) เขียนเมื่อ : 7 ก.ค. 54 00:04:18

ความคิดเห็นที่ 4 #3 เข้าใจง่ายดี ว่ามันคืออะไร ดีกว่านิยามทางคณิตศาสตร์ จากคุณ : x เขียนเมื่อ : 7 ก.ค. 54 00:19:02 A:115.87.167.222 X: TicketID:052378

ความคิดเห็นที่ 5 ขอบพระคุณทุกท่านมากๆ ครับ สำหรับคำตอบ ผมเอาเอกสารที่ทำมาให้ดูครับ แสดงที่ Eigenvalue=1 แล้วได้ Eigenvector v2=(0,-1,1) ขอถามเพิ่มเติมครับ จากรูปข้างล่างผมจะแก้สมการจากเมตริกซ์ 0 0 0 0 1 1 0 1 1 ซึ่งผมแก้ได้ v2 แล้ว แต่แก้สมการยังไงเพื่อให้ได้ค่า v3 (1,0,0) ซึ่งเป็น eigenvector ตัวที่สามที่ได้จากเว็บที่ผมให้ จะแทน x1 เป็น 1 แล้วสรุปที่เหลือเป็น 0 ได้มั๊ยครับ งงมั๊ยครับ ผมไม่ค่อยเข้าใจเรื่องแก้สมการแบบหลายคำตอบน่ะครับ จากคุณ : peterdog เขียนเมื่อ : 7 ก.ค. 54 00:24:17

ความคิดเห็นที่ 6 #5 รูปที่แปะมาผิดนะครับ สมการแรกคือ 0 = 0 สมการที่สองคือ x2 + x3 =0 สมการที่สามคือ x2 + x3 =0 ดังนั้นไม่มีข้อกำหนดอะไรเลยว่า x1 ต้องเท่ากับ ศูนย์ =============================== จากสมการจะได้ว่า eigenvector ที่สอดคล้องกับ eigenvalue = 1 คือ เวกเตอร์ v1 = (x1, x2, x3) ใด ๆ ที่ x1, x2, x3 ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และ x2 + x3 = 0 ดังนั้นเราอาจเลือก v1 = (1, 1, -1) ก็ได้ หรือเลือก v1 = (1, -1, 1) ก็ได้ หรือเลือก v1 = (0, 1, -1) ก็ได้  หรือ เลือก v1 = (1, 0, 0) ก็ได้ เพราะต่างก็ ทำให้สมการ   A*v1 = 0 เป็นจริง ===================================== กรณี eigenvalue = 3 จะได้ว่า -2x1 = 0 -x2 + x3 = 0 x2 - x3 = 0 ดังนั้น eigenvector ที่สอดคล้องกับ eigenvalue = 3 คือ v3 = (0, x2, x3) ใด ๆ ที่ x2 หรือ x3 ไม่เป็นศูนย์ และ x2 = x3 ดังนั้น เราอาจเลือก v3 = (0, -1, -1)  ก็ไม่ผิด โจทย์ข้อมี เป็นกรณี ที่ eigenvalue มันซ้ำกัน เราจะต้องใช้หลักการของ orthonormal มาช่วยหา ===================================== กำหนดเมตริกซ์ A คือ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ถามว่า eigenvalue ได้แก่ ??? eigenvector ได้แก่ ??? จากคุณ : sky-hook-damper เขียนเมื่อ : 7 ก.ค. 54 01:11:39

ความคิดเห็นที่ 7 ข้อนี้ eigenvalue คือ 1, 1, 1 เมื่อแก้สมการเราจะได้ว่า 0 = 0 0 = 0 0 = 0 eigenvector ทีสอดคล้องคือ v = (x1, x2, x3) ใด ๆ ที่ x1, x2, x3 ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน v1 ผมเลือก (1, 0, 0) v2 ผมเลือกภายใต้เงื่อนไขที่ว่า v1*v2 = 0 ผมเลือก v2 = (0, 1, 0) v3 ผมเลือกภายใต้เงื่อนไขที่ว่า v1*v3 = 0 และ v2*v3 = 0 ผมเลือก v3 = (0, 0, 1) ======================================= หรือ v1 = (1, 1, 1) v2 = (x1, x2, x2); v1*v2 = x1 + x2 + x3 = 0 x3 = -x1 - x2; ให้ x1 = 0,  x2 = 1 จะได้ x3 = -1 เลือก v2 = (0, 1, -1) v3=(y1, y2, y3); v1*v3 = 0 และ v2*v3 = 0 จะได้ v1*v3 = y1+y2+y3 = 0 v2*v3 = y2 - y3 = 0 จะได้ว่า  y2 = y3, y1 = -y2 - y3 = -2y3 ให้ y3 = 0 จะได้ y2 =0, y1 = 0 (กรณีนี้ใช้ไม่ได้) ให้ y3 = 1 จะได้ y2 = 1 และ y1 = -2 เลือก v3 = (-2, 1, 1) ================================== เลือกได้หลายแบบครับ จากคุณ : sky-hook-damper เขียนเมื่อ : 7 ก.ค. 54 01:34:39

ความคิดเห็นที่ 8 จริงๆแล้วมันคืออันเดียวกันกับ รากซ้ำ ของผลเฉลยของ ordinary differential equation แบบ homogeneous (เรียก linear หรือ homogeneous ไม่แน่ใจ ลืมแล้ว) ที่เรียนใน calculus การหาค่าไอเก้นก็คือการหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธ์นั่นแหละไม่มีอะไรมาก สมการที่ใช้หาค่าไอเก้นแบบขวามือ (มีแบบซ้ายมือด้วยนะเออ) ก็คือ ([A]-lambda[I]){x}={0} เมื่อ [I] = identity matrix, {x}=eigenvector, lambda=eigenvalue ในการหาคำตอบ {x}={0} เรียกว่า trivial solution หรือไร้สาระ ซึ่งเราไม่ต้องการ แต่เราสนใจ non-trivial solution ซึ่งจะได้ความสัมพันธ์ det([A]-lambda[I]) = 0 ............. (1) ดังนั้น ถ้า [A] มีขนาดเป็น nxn สมการ (1) จะกลายเป็น polynomial อันดับ n ซึ่งแน่นอนรากของสมการก็คือค่าไอเก้นย่อมมี n ค่าเท่ากัน ส่วนจะมีรากซ้ำหรือไม่ขึ้นอยู่กับเหตุและปัจจัย ... get หรือยัง ถ้าอยากเข้าใจอย่างลึกซึ้ง โดยเฉพาะกรณีที่มีค่าไอเก้นซ้ำ ผมแนะนำให้อ่านหนังสือของ Prof. DE Newland จาก cambridge ชื่อ Mechanical vibration analysis and computation http://books.google.com/books?id=bJ5RAAAAMAAJ&q=newland+vibration&dq=newland+vibration&hl=th&ei=wScVTrbNJpDKrAfmzeDFDw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCwQ6AEwAA หนังสือเล่มนี้ เหมาะกับคนที่เข้าใจ n-dof vibration system มาก่อน จะทำให้อ่านได้ง่ายยิ่งขึ้น note... เพิ่มเติม ที่มาของสมการ (1) http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-02sc-multivariable-calculus-fall-2010/part-b-matrices-and-systems-of-equations/session-14-solutions-to-square-systems/MIT18_02SC_MNotes_m3.pdf แก้ไขเมื่อ 07 ก.ค. 54 11:03:29 จากคุณ : AnotherPractitioner เขียนเมื่อ : 7 ก.ค. 54 10:51:20