 |
วิทยาศาสตร์น่ารู้
ศาสตราจารย์ ดร.สุทัศน์ ยกส้าน
Fermat-Wiles กับโจทย์คณิตศาสตร์ที่ยากที่สุดในโลก
Pierre de Fermat เกิดเมื่อวันที่ 20 สิงหาคม พ.ศ. 2144 ที่เมือง Beaumentde-
Lomagne ในประเทศฝรั่งเศส ในวัยหนุ่มเขาทำ งานเป็นทนายความ ประเพณี
นิยมของฝรั่งเศสในสมัยนั้นห้ามมิให้ทนายและผู้พิพากษาคนใดสุงสิงสังคมเพราะ
ชาวเมืองเกรงจะเกิดความลำ เอียงเวลาพิจารณาคดี Fermat จึงใช้เวลาในยามคํ่า
คืนศึกษาวิชาคณิตศาสตร์เป็นงานอดิเรก ถึงแม้จะเป็นเพียงนักคณิตศาสตร์สมัคร
เล่นก็ตาม แต่เขาก็ประสบความสำ เร็จมากเพราะได้พัฒนาทฤษฎีความเป็นไปได้
(probability theory) และวางรากฐานของวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์ให้ Newton ได้
สร้างวิชาแคลคูลัสในเวลาต่อมา
โลกรู้จัก Fermat ในฐานะนักคณิตศาสตร์ที่มีความเชี่ยวชาญด้านทฤษฎีจำ นวน (number theory) อัน
เป็นวิชาที่ว่าด้วยเลขจำ นวนเต็มต่างๆ เช่น 1, 2, 3
.10
และความสัมพันธ์ระหว่างจำ นวนเต็มเหล่านี้ ตาม
ปรกติ Fermat ชอบตั้งโจทย์ให้นักคณิตศาสตร์อื่นๆ คิด โดยในปี พ.ศ. 2180 เขาได้ตั้งโจทย์คณิตศาสตร์ขึ้น
มาโจทย์หนึ่ง ซึ่งคนทั่วไปรู้จักโจทย์นี้ในนามว่า ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat (Fermat's Last Theorem)
หลังจากที่ได้อ่านตำ ราคณิตศาสตร์ Arithmetica ของนักปราชญ์กรีกโบราณชื่อ Diophantus แห่งเมือง
Alexandria ซงึ่ หนงั สือเล่มนั้นได้กล่าวถึงสมการของ Pythagoras ทแี่ ถลงว่า a2 + b2 จะเท่ากับ c2 ถ้า a และ
b เป็นความยาวของด้านที่ประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมทุกรูป สมการนี้มีคำ ตอบนับไม่ถ้วน เช่น ถ้า a =
3 และ b = 4 แลว้ จะได้ c = 5 เพราะ 32 + 42 = 52 หรอื เมื่อ a = 5, b=12 แล้วเราจะได้ c = 13 เปน็ ตน้
Fermat ได้เลียนแบบความคิดนี้แล้วเสนอทฤษฎีใหม่ว่า หากเรามีสมการ an + bn = cn และ n เป็น
จำ นวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 2 คือเป็น 3, 4, 5
อสงไขยแล้ว เราจะไม่สามารถหาเลข a, b, c ที่เป็นเลข
จำ นวนเต็มมาแทนลงในสมการข้างบนได้เลย เช่น ถ้า n = 7 สมการ a7 + b7 = c7 จะไม่มีคำ ตอบที่ a, b, c
เป็นเลขจำ นวนเต็ม หรือสมการ a12 +b12 = c12 ก็ไม่มีคำ ตอบที่ a, b, c เป็นเลขจำ นวนเต็มอีกเช่นกัน
ดังนั้น จึงเป็นเรื่องประหลาดที่กรณี n=2 เรามีเลข (3, 4, 5) และ (5, 12, 13) เป็นคำ ตอบ แต่ในกรณี
n มีค่ามากกว่า 2 ขึ้นไป เรากลับไม่มีคำ ตอบ (a, b, c) เป็นเลขจำ นวนเต็มเลย ไม่ว่า n จะมีค่าเท่าใด
-2-
Fermat เองหลังจากที่ได้ตั้งทฤษฎีบทนี้แล้วเขาได้อ้างว่า เขาสามารถพิสูจน์ทฤษฎีนี้ได้โดยได้เขียนวิธี
พิสูจน์ไว้ที่ขอบของหนังสือ Arithmetica ที่เขาได้จัดพิมพ์ใหม่ในปี พ.ศ. 2213 ว่า "เพราะขอบหนังสือมีเนื้อที่
น้อย เขาจึงไม่สามารถแสดงวิชาพิสูจน์ทฤษฎีนี้ให้ทุกคนประจักษ์ได้"
นบั จากวนั นนั้ จนกระทั่งวันนี้ซึ่งเป็นเวลาที่ล่วงเลยมานานถึง 358 ปี เหล่านักคณิตศาสตร์ทั่วโลกได้ทุ่ม
เทความพยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้อย่างสุดฤทธิ์ สุดเดช แต่ทุกคนก็ต้องประสบความล้มเหลว ตัว Fermat
เองได้ประสบความสำ เร็จในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ เฉพาะกรณี n=3 ในปี พ.ศ.2285 L.Euler นักคณิตศาสตร์
ชาวสวิสที่มีชื่อเสียงที่สุดในสมัยนั้น ได้พยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เช่นกัน เขาพบว่าทฤษฎีบทนี้จริง และถูก
ตอ้ งกรณี n=3 แตเ่ ขาไม่สามารถพิสูจน์กรณี n เปน็ เลขจำ นวนเต็มอื่นๆ เขารู้สึกราํ คาญและหงดุ หงดิ ถงึ ขนาด
ขอร้องให้เพื่อนของเขาช่วยค้นบ้านของ Fermat เพื่อหากระดาษที่ Fermat แสดงวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้าย
ของเขา แต่ก็ไม่พบร่องรอยอะไรเลย
C. F. gauss ผเู้ ป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่ยิ่งใหญ่อีกท่านหนึ่ง สามารถพิสูจน์ได้ว่า ทฤษฎบี ทนี้
เป็นจริงกรณี n=4 แต่เมื่อเขาไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎีบทนี้จริงกรณี n มีค่าอื่นๆ เขาถึงกับงอแง โดยได้
ประกาศว่าเขาก็สามารถตั้งทฤษฎีให้ใครไม่สามารถพิสูจน์ได้เหมือนกัน D.Hilbert เป็นนักคณิตศาสตร์
อัจฉริยะคนหนึ่งที่ไม่เคยพยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ โดยให้เหตุผลว่า หากจะพิสูจน์เขาต้องการเวลาอย่าง
น้อย 3 ปี เพื่อทำ ความรู้จักกับเทคนิคและวิธีการพิสูจน์เพื่อเป็นพื้นฐาน ถึงกระนั้นเขาก็ไม่แน่ใจเลยว่าขนาด
เตรียมตัวดีและนานถึงปานนั้นแล้วเขาก็จะสามารถพิสูจน์ได้
ในปี พ.ศ. 2451 P.Wolfskehl นักอุตสาหกรรมชาวเยอรมันได้เขียนมรดกยกเงิน 1 แสนมาร์กแก่นัก
คณติ ศาสตร์คนแรกที่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีของ Fermat ได้ ตวั Wolfskehl เอง ครงั้ หนงึ่ ไดเ้ คยคดิ จะฆา่ ตวั
ตาย แต่เมื่อได้รู้จักทฤษฎีของ Fermat เข้า เขาเกิดลุ่มหลงโจทย์นี้และได้พยายามพิสูจน์อยู่นานจนลืมคิดจะ
ฆ่าตัวตาย พอรู้ตัวก็ได้รู้สึกกตัญญูต่อโจทย์ๆ นี้มาก จึงแบ่งมรดกยกเงินของตัวให้เป็นรางวัลตอบแทนบุญ
คุณที่ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ได้ช่วยชีวิตเขาไม่ให้ตายก่อนวัยอันควร
เมื่อโลกก้าวเข้าสู่ยุคคอมพิวเตอร์ S. Wagstaff แห่งมหาวิทยาลัย Purdue ในสหรัฐฯ ได้ใช้คอมพิวเตอร์
ค้นหาเลข a, b, c ในกรณที ี่ n มคี า่ ตงั้ แต 3 ถึง 150,000 และกไ็ ดพ้ บวา่ ทฤษฎบี ทสดุ ทา้ ยกย็ งั คงเปน็ จรงิ
แตใ่ นกรณที ี่ n มคี า่ มากกว่า 150,000 นั้น เขาไม่ได้ทาํ
-3-
เมื่อไม่มีนักคณิตศาสตร์ท่านใดพิสูจน์ทฤษฎีนี้ได้ หลายคนจึงคิดว่าทฤษฎีบทนี้คงไม่มีวิธีพิสูจน์ คน
หลายคนคิดว่าทฤษฎีนี้แปลกเพราะไม่ได้บอกว่าทฤษฎีนี้จริงหรือไม่จริงอย่างไร และหลายคนคิดว่าใครก็ตาม
ทคี่ ดิ จะพสิ ูจนท์ ฤษฎนี คี้ วรเอาเวลาไปแกป้ ญั หาอนื่ ดกี วา่
แต่ในวันที่ 23 มิถุนายนของปี พ.ศ. 2536 นั่นเอง A.J. Wiles นักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัย
Princeton ในสหรัฐอเมริกาได้ออกแถลงการณ์ที่มหาวิทยาลัย Cambridge ในประเทศอังกฤษว่าเขาประสบ
ความสำ เร็จในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Fermat แล้ว สื่อมวลชนทั่วโลกได้เสนอข่าวที่ยิ่งใหญ่นี้ในหน้าหนึ่ง
หนังสือพิมพ์ The New York Times พาดข่าวหน้าหนึ่งว่า "Eureka" ยกย่องความสำ เร็จนี้
แต่เมื่อผู้ทรงคุณวุฒิท่านหนึ่งได้อ่านวิธีพิสูจน์ของ Wiles และได้พบข้อผิดพลาด Wiles จึงต้องพิสูจน์
ใหม่ อุปสรรคนี้ได้ทำ ให้เขารู้สึกหดหู่ และท้อแท้มาก เขาและศิษย์ชื่อ R. Taylor จึงได้ใช้เวลาอีก 14 เดือน
แก้ไขข้อผิดพลาด จนกระทั่งทำ ได้สำ เร็จเมื่อวันที่ 19 กันยายน พ.ศ. 2537 และผลงานของเขาได้รับการลง
พิมพ์ในวารสาร Annals of Mathematics ฉบับเดือนพฤษภาคม พ.ศ. 2538
A.J. Wiles ในวัยเด็กชอบคณิตศาสตร์มาก เขารู้จักทฤษฎีของ Fermat
จากการอ่านหนังสือห้องสมุดของเมือง Cambridge ถึงแม้จะมีอายุน้อย
เพียง 10 ขวบ แต่เขาก็ตั้งใจมั่นว่าสักวันหนึ่งเขาจะต้องหาวิธีพิสูจน์ทฤษฎีนี้
ให้ได้ ครูที่สอนคณิตศาสตร์เขาได้เตือนเขาให้ล้มเลิกความคิดที่จะทำ งานที่
เป็นไปไม่ได้ แต่ Wiles ก็ไม่ยอมทิ้งความตั้งใจ เมื่อเขาสำ เร็จการศึกษา
คณติ ศาสตรร์ ะดบั ปรญิ ญาเอก จากมหาวทิ ยาลยั Cambridge เขาได้สมัคร
ทำ งานเป็นอาจารย์ที่มหาวิทยาลัย Princeton ในสหรัฐอเมริกา และได้ตัด
สินใจหาวิธีพิสูจน์ทฤษฎีของ Fermat อย่างจริงจัง เขาทำ งานคนเดียวแบบไม่
ให้โลกภายนอกรู้ ทั้งเพื่อไม่ให้มีความกดดันจากสังคมรอบข้าง เขาไม่ต้องการให้ใครรู้วิธีพิสูจน์ของเขา เขา
ไม่ต้องการให้ใครขโมยความคิดของเขา ดังนั้นตลอดระยะเวลา 7 ปีที่ซุ่มเงียบนั้น มีแต่เขาและภรรยาเท่านั้น
ที่รู้ว่าเขากำ ลังทำ อะไร และภรรยาก็รู้ความลับนี้ในขณะไปดื่มนํ้าผึ้งพระจันทร์กับสามี
ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat นั้น Wiles ต้องใช้ความรู้คณิตศาสตร์ยุคปัจจุบันมากมาย
ยามใดทคี่ วามรู้เหล่านั้นไม่พอเพียง เขาต้องสร้างความรู้ใหม่ขึ้นมาเพิ่มเติม เขาไดเ้ ปรยี บประสบการณท์ าํ งาน
ของเขาช่วงนั้นว่า เสมือนเดินอยู่คนเดียวในคฤหาสถ์หลังใหญ่ที่มืดสนิท เมื่อเขาเดินเข้าไปในห้องแรก เขา
-4-
เดินสะดุดเฟอร์นิเจอร์ต่างๆ แต่พอเวลาผ่านไประยะหนึ่งเขาก็เริ่มรู้ว่า โต๊ะ เก้าอี้ อยู่ที่ใด หลังจากนั้นอีก
ประมาณ 6 เดือน เขาก็พบสวิตช์ไฟฟ้าในห้อง พอเขาเปิดสวิตช์ เขาก็รู้ว่า เขายืนอยู่ที่ใดในห้อง และใน
หอ้ งนั้นมีอะไรบ้าง จากหอ้ งแรกเขากเ็ ดนิ ตอ่ ไปยงั หอ้ งสอง ในบางหอ้ งเขาตอ้ งใชเ้ วลาสำ รวจนาน บางหอ้ งก็
ใช้เวลาสั้น เขาสำ รวจเช่นนี้ในห้องทุกห้องของคฤหาสถ์หลังนั้น และเมื่อเขาเปิดสวิตช์ไฟทั้งบ้าน เขาก็พบวิธี
พสิ ูจนท์ ฤษฎบี ทของ Fermat อยา่ งสมบูรณ เขาไดอ้ ปุ มาขนั้ ตอนในการพสิ ูจนข์ องเขาวา่ เสมือนกับการล้ม
ของตัว domino ที่วางเรียงกันต่อเนื่องแบบไม่รู้จบ หากเขาล้มตัว domino ตัวแรก ตัวแรกก็จะล้มทับตัวที่
สองต่อไปเรื่อยๆ นั่นคือ เมื่อเขาพิสูจน์ได้ว่า กรณี n=3 เป็นจริง แล้วกรณี n=3 ก็จะชี้นำ ว่ากรณี n=4 ก็
จริง แลว้ กรณี n=4 กจ็ ะชบี้ อกวา่ n=5
.ก็จริง ดงั นนั้ จงึ แสดงวา่ n จะเปน็ เลขอะไรสมการก็จริงหมด
ในการทำ งาน Wiles ตอ้ งพิสูจน์ทุกขั้นตอนอย่างละเอียดและรอบคอบ วธิ คี ดิ ของเขาลกึ ล้ำ และสวย
งาม โลกมีนักคณิตศาสตร์ประมาณ 10 คน เท่านั้น ที่อ่านวิธีพิสูจน์ของ Wiles ได้อย่างเข้าใจจริง งานวิจัย
ของเขาที่มีความยาว 200 หน้ากระดาษ ได้บุกเบิกวิทยาการใหม่ๆ และ Wiles ได้รับรางวัลและเหรียญเกียรติ
ยศมากมาย รวมทั้งเหรียญ Fields ซึ่งมีเกียรติเท่ากับรางวัลโนเบลทางคณิตศาสตร์เมื่อปี พ.ศ. 2539 และ
เมื่อเดือนมิถุนายนปี พ.ศ. 2539 ณ ที่หอประชุมของมหาวิทยาลัย Gottingen ในประเทศเยอรมนี Wiles ก็ได้
รับรางวัล Wolfskehl มูลค่า 2 ล้านบาทเรียบร้อย
ถึงแม้ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat จะได้รับการพิสูจน์แล้วว่าจริงและโลกถือว่าปัญหานี้ได้ยุติลงแล้ว
แต่ก็มีนักคณิตศาสตร์อีกหลายคนที่คิดว่าวิธีพิสูจน์ของ Wiles นั้นยาวและยุ่ง และทฤษฎีนี้คงมีวิธีพิสูจน์ที่สั้น
ซึ่งนี่ก็คือปัญหาสำ หรับนักคณิตศาสตร์ในอนาคต
ในปี พ.ศ. 2540 Simon Singh ได้เขียนหนังสือชื่อ Fermat's Last Theorem : The Story of a Riddle
that Confounded the World's Greatest Minds for 358 Years หนงั สอื เล่มนี้ได้กล่าวถึงชีวิตและจิต
วิญญาณในการทำ งานของนักคณิตศาสตร์ต่างๆ ที่ได้ทุ่มเทกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้อย่างจับใจ เข้าใจและ
สนุกมากครับ
| จากคุณ |
:
your humble servant  
|
| เขียนเมื่อ |
:
17 ส.ค. 54 12:48:38
|
|
|
|
|
Pierre de Fermat จาก doodle ของ google ครับ
... เข้ามาดู
