ความคิดเห็นที่ 1 ไม่รู้สินะ ผมว่าข้อแรกมันเป็นไปไม่ได้อะ เพราะถ้ามันเป็น closest packing แบบในรูป จุดศูนย์กลางของวงกลมทุกวงก็จะต้องเป็นจุดยอดของ Platonic Solid ซักอันที่แนบในทรงกลม แต่ทั้ง 5 อัน ไม่มีอันไหนที่มีจุดยอด 24 จุดอะคับ ส่วนข้อสอง เอ่อ ถ้าเป็นม.ปลาย ก็ใช้การกระจายทวินาม ถ้าเป็น สอวน. ก็ใช้ congruence แต่ถ้าเป็น ม.ต้น อันนี้คิดไม่ออกจริงๆ คับ จากคุณ : ชโรนนท์ เขียนเมื่อ : 14 ก.ย. 54 22:46:58

ความคิดเห็นที่ 2 เอ่อ ครือว่า.... มันคือม.ต้นหลักสูตรไหนอ่ะ? จากคุณ : oxbridge_goodbye เขียนเมื่อ : 14 ก.ย. 54 22:58:01

ความคิดเห็นที่ 3 ข้อฟุตบอล เท่าที่ผมคำนวนดูคือ มี 24 รูป ซึ่งถ้าแ่บ่งลูกฟุตบอลอย่างง่ายๆออกเป็น 6 ด้าน ก็จะตกเป็นด้านละ 4 รูป นั่นหมายถึง วิธีเดียวที่จะมีลายแบบนั้นได้คือ ในแต่ละด้านของลูกบอลก็จะมีลายเป็นรูปวงกลม 2 รูป 2 แถว เท่านั้น ซึ่งพอคิดได้อย่างนี้ก็ทำให้รู้ว่ารอบลูกบอลมีความยาว 8 หน่วย เอาไปยัดใส่สูตรแล้วย้ายข้าง ก็จะได้เป็นรัศมี 4/พาย หละมั้งนะ ข้อสอง ไม่รู้จะคิดยังไงแหะ คาดว่าคงต้องใช้การหาเลขหลักท้ายของคำตอบตัวยกกำลังของแต่ละตัว 2 หลัก แล้วเอาทั้งหมดมาบวกกัน แล้วหาร 21 หละมั้ง แต่ก็ต้องบวกถึง 2011 ตัว ก็แปลว่าอาจจะต้องมีอะไรเพิ่ม จากคุณ : MischievousDemon เขียนเมื่อ : 14 ก.ย. 54 23:21:49

ความคิดเห็นที่ 4 ข้อ 1 ขอตอบ 2(30.75)(p-0.5) ผมคิดว่ารูปวงกลมทุกรูปมีขนาดเท่ากัน ที่มีเส้นรอบวงแตะกัน จะเทียบได้กับรูปหกเหลี่ยมวางเรียงกันเหมือนรังผึ้งครับ ซึ่งถ้าคำนวณตามนี้ วงกลมรัศมีหนึ่งหน่วย จะบรรจุในหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ที่มีด้านยาว ด้านละ (2/sqrt(3)) และหกเหลี่ยมที่ว่านี้ จะมี พื้นที่ = (ด้าน26sqrt(3))/4 = 2(30.5) 24 รูป ได้พื้นที่ = 48(30.5) = พท.ผิว ทรงกลม = 4pr2 แล้วก็แก้สมการหาค่า r จากคุณ : basicguy เขียนเมื่อ : 14 ก.ย. 54 23:22:12

ความคิดเห็นที่ 5 ข้อแรกผมก็ไม่ค่อยแน่ใจเช่นกัน  เอาเป็นว่าใครคิดว่าเป็นไปได้ หรือเป็นไปไม่ได้ยังไงก็ลองแสดงแนวคิดกันดูได้ครับ ถ้า24รูปเป็นไปไม่ได้ แล้ว 7รูป  11รูป 18รูป ฯลฯ เป็นไปได้บ้างไหมลองคิดกันดู ส่วนข้อสองเป็นโจทย์ที่ดัดแปลงมาจาก สอวน. มีการใช้congruence ซึ่งผมเข้าใจว่าเด็กสอวน เป็นเด็กม.ต้น ก็เลยจัดมันเป็นระดับม.ต้นครับ แต่จะใช้ความรู้ระดับไหนแก้ก็ทำได้ตามสะดวกเลยครับ   ถือซะว่าเป็นข้อสอบสำหรับเด็กม.ต้นที่มีความรู้มากเกินปกติละกัน จากคุณ : อิอิคุง เขียนเมื่อ : 14 ก.ย. 54 23:33:27

ความคิดเห็นที่ 6 คุณ basicguy   ได้คำตอบตรงกับผมครับ แต่ผมใช้อีกวิธีหนึ่ง  เดี๋ยวพรุ่งนี้บ่ายๆหรือค่ำๆจะมาโพสวิธีที่ผมคิดนะครับ จากคุณ : อิอิคุง เขียนเมื่อ : 14 ก.ย. 54 23:38:20

ความคิดเห็นที่ 7 ข้อ 1 ลูกฟุตบอลหนังห้าเหลี่ยมที่คุ้นตา มาจากรูปทรง Truncated icosahedron ครับ ซึ่งเป็นรูปทรงที่เกิดจากการตัดมุมของรูป Icosahedron (ทรงเหลี่ยมยี่สิบหน้า) ให้เป็นรูปห้าเหลี่ยม ซึ่งจะมีหน้ารูปหกเหลี่ยม 20 หน้า รูปห้าเหลี่ยม 12 หน้า http://en.wikipedia.org/wiki/Truncated_icosahedron ดังนั้นถ้าจะเอาวงกลม 24 วง มาใส่บนผิวลูกบอล น่าจะทำได้ แต่คำนวณยากหน่อย ถ้า 32 วง อาจจะคำนวณได้ง่ายกว่านี้ โดยให้วงกลมนั้นบรรจุอยู่ในรูปห้าเหลี่ยมหรือหกเหลี่ยมได้พอดี แก้ไขเมื่อ 15 ก.ย. 54 01:37:35 จากคุณ : เกียรตินำ เขียนเมื่อ : 15 ก.ย. 54 01:29:36

ความคิดเห็นที่ 8 ก่อนอื่น ข้อนี้จะใช้สูตรนี้ครับ (กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือจำนวนเต็มบวกอย่างเดียว) ถ้า P หารด้วย n แล้วเหลือเศษ r และ Q หารด้วย n แล้วเหลือเศษ k จะได้ (PQ) หารด้วย n แล้วเหลือเศษเท่ากับ (rk) หารด้วย n พิสูจน์ (ใครไม่สนข้ามไป คห.ถัดไปเลยนะครับ) ถ้า P หารด้วย n แล้วเหลือเศษ r แสดงว่า P = nz + r และ Q หารด้วย n แล้วเหลือเศษ k แสดงว่า Q = ny + k PQ = (nz + r)(ny + k) = nnyz + nzk + nyr + rk = n(nyz + zk + yr) + rk จะเห็นว่า เมื่อนำ PQ = n(nyz + zk + yr) + rk ไปหารด้วย n ทำให้  n(nyz + zk + yr) ไม่เหลือเศษ ดังนั้นจะได้เศษที่เหลือคือ เศษจาก rk หารด้วย n จากคุณ : basicguy เขียนเมื่อ : 15 ก.ย. 54 02:40:11

ความคิดเห็นที่ 9 ข้อสอง 117 หารด้วย 21 เหลือเศษ 1 26 = 64 , 64 หารด้วย 21 เหลือเศษ 1 25 = 32 , 32 หารด้วย 21 เหลือเศษ 11 217 = 26 26 25 , หารด้วย 21 เหลือเศษ (1)(1)(11) = 11 33 = 27 , หารด้วย 21 เหลือเศษ 6 39 = 33 33 33 หารด้วย 21 เหลือเศษ (6)(6)(6) = 216 คือเหลือเศษ 6 315 = 39 33 33 หารด้วย 21 เหลือเศษ (6)(6)(6) = 216 คือเหลือเศษ 6 317 = 315 32 หารด้วย 21 เหลือเศษ (6)(9) = 54 คือเหลือเศษ 12 417 = 234 = (26)5 24, หารด้วย 21 เหลือเศษ (1)5 (16) = 16 52 = 25 , 25 หารด้วย 21 เหลือเศษ 4 517 = 258 (5) หารด้วย 21 เหลือเศษ 48 (5) = 216 (5) = 26 26 24 (5) เหลือเศษ (1)(1)(16)(5) = 80 คือเหลือเศษ 17 617 = 217 317 หารด้วย 21 เหลือเศษ (11)(12) = 132 คือเหลือเศษ 6 72 = 49 , 49 หารด้วย 21 เหลือเศษ 7 73 = (49)(7) หารด้วย 21 เหลือเศษ (7)(7) = 49 คือเหลือเศษ 7 นั่นคือเมื่อทำซ้ำไปเรื่อย ๆ 7n หารด้วย 21 เหลือเศษ 7 ดังนั้น 717 หารด้วย 21 เหลือเศษ 7 817 = 251 = (26)8 23, หารด้วย 21 เหลือเศษ (1)8 (8) = 8 917 = 317 317 หารด้วย 21 เหลือเศษ (12)(12) = 144 คือเหลือเศษ 18 หรืออีกอย่าง เมื่อเหลือเศษ (12)(12) = 144 จะเห็นว่า (12)(12) = (24)(6) เมื่อนำไปหารด้วย 21 จะเหลือเศษ (3)(6) = 18 เท่ากัน 1017 = 217 517 หารด้วย 21 เหลือเศษ (11)(17) = 187 คือเหลือเศษ 19 112 = 121 , หารด้วย 21 เหลือเศษ 16 1117 = 1218 (11) หารด้วย 21 เหลือเศษ 168 (11) = 232 (11) = (26)5 22 (11) เหลือเศษ (1)5 (4)(11) = 44 คือเหลือเศษ 2 1217 = 217 617 หารด้วย 21 เหลือเศษ (11)(6) = 66 คือเหลือเศษ 3 132 = 169 , หารด้วย 21 เหลือเศษ 1 1317 = 1698 (13) หารด้วย 21 เหลือเศษ 18 (13) = 13 คือเหลือเศษ 13 1417 = 217 717 หารด้วย 21 เหลือเศษ (11)(7) = 77 คือเหลือเศษ 14 1517 = 317 517 หารด้วย 21 เหลือเศษ (12)(17) = (3)(68) เหลือเศษ (3)(5) คือเหลือเศษ 15 1617 = 217 817 หารด้วย 21 เหลือเศษ (11)(8) = (22)(4) เหลือเศษ (1)(4) คือเหลือเศษ 4 จากคุณ : basicguy เขียนเมื่อ : 15 ก.ย. 54 02:40:23

ความคิดเห็นที่ 10 เท่าที่ทำมาจนถึง 1617 ก็เห็นแล้วว่าเศษที่เหลือ ไม่ซ้ำกันเลย ทำให้มั่นใจได้ว่า เมื่อทำจนถึง 2017 ย่อมได้เศษ ตั้งแต่ 1-20 และเมื่อรวม 2117 เข้าไปด้วย คือได้เศษ 0 เมื่อเริ่มที่ 2217 จะได้เศษเหมือนกับตัวที่หนึ่ง คือ เศษ 1 และที่ 2317 ได้เศษ เหมือนกับตัวที่สอง คือ เศษ 11 เป็นอย่างนี้ไปเรื่อย ๆ คราวนี้เศษของตัวแรก จนถึงตัวที่ 21 คือ 0-20 เมื่อนำมารวมกัน จะได้ตัวเลขที่หารด้วย 21 ลงตัว (จับคู่เศษ 1 กับ เศษ 20, เศษ 2 กับ เศษ 19, เศษ 3 กับ เศษ 18, ..., เศษ 10 กับ เศษ 11) เป็น loop ทุก ๆ 21 ตัว เมื่อรวมแล้วแต่ละชุดมีผลรวมเศษเป็น 0 และเมื่อไล่ไปเรื่อย ๆ จะครบชุด ที่ 199517 ตัวเลขที่ต้องหาก็คือ 199617 เหลือเศษ 117 เหลือเศษ 1 199717 เหลือเศษ 217 เหลือเศษ 11 199817 เหลือเศษ 317 เหลือเศษ 12 199917 เหลือเศษ 417 เหลือเศษ 16 200017 เหลือเศษ 517 เหลือเศษ 17 200117 เหลือเศษ 617 เหลือเศษ 6 200217 เหลือเศษ 717 เหลือเศษ 7 200317 เหลือเศษ 817 เหลือเศษ 8 200417 เหลือเศษ 917 เหลือเศษ 18 200517 เหลือเศษ 1017 เหลือเศษ 19 200617 เหลือเศษ 1117 เหลือเศษ 2 200717 เหลือเศษ 1217 เหลือเศษ 3 200817 เหลือเศษ 1317 เหลือเศษ 13 200917 เหลือเศษ 1417 เหลือเศษ 14 201017 เหลือเศษ 1517 เหลือเศษ 15 201117 เหลือเศษ 1617 เหลือเศษ 4 รวมทั้งหมด จากเศษ 1-20 ขาด 5, 9, 10, 20 (รวม = 44) ผลรวม 1 ถึง 20 = (20x21)/2 = 210 ดังนั้นผลรวมที่ต้องการ คือ 210 - 44 = 166 166 หารด้วย 21 เหลือเศษ 19 ตอบ 19 (อ่านว่าสิบเก้า) โฮ่ย เหนื่อยมาก ใครมีวิธีเร็วกว่านี้บอกผมด้วยครับ จากคุณ : basicguy เขียนเมื่อ : 15 ก.ย. 54 02:40:54

ความคิดเห็นที่ 11 ข้อ 2. ลองทำดูครับ (ผมทำเรื่องนี้ไม่ค่อยเป็น) เพราะว่า (x + y) | (xn + yn) เมื่อ n เป็นจำนวนคี่ เพราะฉะนั้น ถ้า 21 | (x + y) แล้ว 21 | (xn + yn) พิจารณา 1, 2, 3, ..., 21 จะได้ว่า 21 | (1 + 20), 21 | (2 + 19), 21 | (3 + 18), ... , 21 | (10 + 11) และ 21 | 21 เพราะฉะนั้น 21 | (117 + 2017), 21 | (217 + 1917), 21 | (317 + 1817), ... , 21 | (1017 + 1117) และ 21 | 2117 เพราะฉะนั้น 21 | (117 + 217 + 317 + ... + 2117) ในทำนองเดียวกัน 21 | (2217 + 2317 + 2417 + ... + 4217) ... 21 | (199617 + 199717 + 199817 + ... + 201617) เพราะฉะนั้น 21 | (117 + 217 + 317 + ... + 201617) เพราะว่า 117 + 217 + 317 + ... + 201117 = (117 + 217 + 317 + ... + 201617) - (201217 + 201317 + 201417 + 201517 + 201617) เพราะฉะนั้น เศษที่เหลือจากการหาร 117 + 217 + 317 + ... + 201117 ด้วย 21 = เศษที่เหลือจากการหาร (117 + 217 + 317 + ... + 201617) - (201217 + 201317 + 201417 + 201517 + 201617) ด้วย 21 = เศษที่เหลือจากการหาร -(201217 + 201317 + 201417 + 201517 + 201617) ด้วย 21 = เศษที่เหลือจากการหาร -(201217 + 201317 + 201417 + 201517) ด้วย 21 (เพราะ 21 | 201617) = 21 - เศษที่เหลือจากการหาร 201217 + 201317 + 201417 + 201517 ด้วย 21 (ยังไม่เสร็จครับ ขอไปคิดต่อก่อน ) แก้ไขเมื่อ 15 ก.ย. 54 10:56:01 จากคุณ : TIYHz เขียนเมื่อ : 15 ก.ย. 54 10:48:58

ความคิดเห็นที่ 12 เพราะว่า 201217 + 201317 + 201417 + 201517 = (2016 - 4)17 + (2016 - 3)17 + (2016 - 2)17 + (2016 - 1)17 เพราะฉะนั้น เศษที่เหลือจากการหาร 201217 + 201317 + 201417 + 201517 ด้วย 21 = เศษที่เหลือจากการหาร (2016 - 4)17 + (2016 - 3)17 + (2016 - 2)17 + (2016 - 1)17 ด้วย 21 = เศษที่เหลือจากการหาร (-4)17 + (-3)17 + (-2)17 + (-1)17 ด้วย 21 = เศษที่เหลือจากการหาร -(417 + 317 + 217 + 117) ด้วย 21 = 21 - เศษที่เหลือจากการหาร 417 + 317 + 217 + 117 ด้วย 21 เพราะฉะนั้น เศษที่เหลือจากการหาร 117 + 217 + 317 + ... + 201117 ด้วย 21 = 21 - (21 - เศษที่เหลือจากการหาร 417 + 317 + 217 + 117 ด้วย 21) = เศษที่เหลือจากการหาร 417 + 317 + 217 + 117 ด้วย 21 ### ... จบชีวิต ... แก้ไขเมื่อ 15 ก.ย. 54 11:21:06 จากคุณ : TIYHz เขียนเมื่อ : 15 ก.ย. 54 11:12:01

ความคิดเห็นที่ 13 ที่ข้อแรกผมคิดว่าเป็นไปไม่ได้ เพราะว่าถ้าวงกลมทุกวงอยู่ติดกันแบบนั้นจริงๆ มันต้องอยู่บนระนาบแล้วคับ ไม่น่าจะอยู่บนทรงกลมได้ ถ้ามีวงกลม 5 วงอยู่รอบๆวงกลม 1 วง ก็น่าจะพอเป็นไปได้อยู่ โดยส่วนตัวผมเกลียดโจทย์ที่ต้องมาหาเศษจากการยกกำลังถึกๆ แบบนี้นะ ไม่ได้แปลว่าผมไม่ได้ชอบพวก congruence นะคับ แต่ข้อนี้มันบังคับให้ยกกำลังแล้วบวกกันตรงๆ เลยตอน 1996 ขึ้นไป อันนี้มันเน้นบวกลบคูณหารอย่างเดียวแล้ว จากคุณ : ชโรนนท์ เขียนเมื่อ : 15 ก.ย. 54 11:13:28

ความคิดเห็นที่ 14 ข้อที่ 1 ผมคิดว่าแบ่งกระบวนการคิดเป็น - พท ผิวทรงกลม = 4 x (22/7) x (R^2)  เมื่อ R คือรัศมีของทรงกลม - พท ของวงกลมแต่ละรูป = (22/7) x (r^2)   เมื่อ r คือรัศมีของวงกลมเล็ก ตามโจทย์ พท ผิวทรง = [24 x (พท วงกลม)] + [ n x (พท ว่างระหว่างวงกลม 3 วง)] ** ตามรูปผมนับ พท. สีดำได้ 24 อันสำหรับครึ่งทรงกลม ดังนั้นใน 1 ทรงกลมน่าจะมี 48 พท สีดำ ** ก็จะได้เป็น พท ผิวทรง = [24 x (พท วงกลม)] + [ 48 x (พท ว่างระหว่างวงกลม 3 วง)] การหา พท สีดำ 1 ชิ้น = พท สามเหลี่ยมด้านเท่า (ยาวด้านละ 2r) - [3 x (1/6) x พท วงกลม] ** อิงตามแนวคิดที่ว่า หากวงกลม 3 วงสัมผัสกัน ลากเล้นจากจุด ศก ไปหากันจะได้รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า และ รูปสามเหลี่ยนมด้านเท่าจะมีมุม 60 อาศา ** จากนั้นก็ ..... จากคุณ : x-schneider เขียนเมื่อ : 15 ก.ย. 54 12:08:17

ความคิดเห็นที่ 15 #4 ผมว่าแทนที่จะเป็นการพิสูจน์ว่าได้ รัศมีเท่านั้น กลับกลายเป็นการพิสูจน์ว่า รัศมีเท่านั้น ทำไม่ได้แทน วงกลมสัมผัสกันหมด อืม ยังไม่แน่ใจ เด๋วค่อยมาต่อนะครับ จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 15 ก.ย. 54 13:40:06

ความคิดเห็นที่ 16 ไม่ได้ใช้ หกเหลี่ยม แต่ใช้มุมปิดแทน http://en.wikipedia.org/wiki/Solid_angle 2pi rr 1-cos t = 4/24pi rr pi (r sin t)  (r sin t)   =  pi (1)(1) แต่ก็ไม่น่าจะได้ ถ้าเปลี่ยนโจทย์ จาก 24เป็น12 จะชิดแปรี๊ยะ 24นี่ ผมว่า มันต้องมีช่องว่างบางอย่าง จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 15 ก.ย. 54 15:10:33

ความคิดเห็นที่ 17 http://en.wikipedia.org/wiki/Rhombicuboctahedron เจอละคับ รูปนี้ มีจุดยอด 24 อัน ถ้าวงกลมบนลูกบอลมีจุดศูนย์กลางอยู่บนจุดยอดของรูปทรงนี้ ก็จะได้ว่าลูกบอลมีวงกลม 24 อัน สัมผัสกันอยู่ทั้งหมด แต่ไม่ได้เรียงอย่างในโจทย์นะคับ จากคุณ : ชโรนนท์ เขียนเมื่อ : 15 ก.ย. 54 15:49:58

ความคิดเห็นที่ 18 ข้อ 2 น่าจะเกี่ยวกับ logarithm แต่...ป้าลืมหมดแล้ว จากคุณ : ป้าModi (modi) เขียนเมื่อ : 15 ก.ย. 54 16:06:42

ความคิดเห็นที่ 19 #17 กำลังคิดเรื่อง 8*3 =24 แต่ผมเดาว่า จะไม่สัมผัสกันหมดนะครับ แขนฝั่ง3เหลี่ยม น่าจะสั้นกว่า ฝั่ง4เหลี่ยม ให้สัมผัสหมดอาจจะได้ วงคางหมูจั่วแทน อืม อันนี้ ไม่ใช่  8*3 =24 เป็น 8+2* (1+4+4)หน้า 24มุม เสริมนิดนึงนะครับ เข้าใจว่า ด้วยกฎสมมูลของ โหนดและเมช จะสลับ หน้ากับมุม/ด้าน ได้ อะไรทำนองนี้ แก้ไขเมื่อ 15 ก.ย. 54 17:26:55 แก้ไขเมื่อ 15 ก.ย. 54 17:25:47 จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 15 ก.ย. 54 17:18:10

ความคิดเห็นที่ 20 คุณbasicguyสุดยอด  มีความพยายามสูงมากครับ ส่วนคุณ TIYHz ก็น่าชื่นชมไม่แพ้กัน ตอนนี้ข้อ2.น่าจะเคลียร์ที่สุดแล้ว ขอเอาเฉลยข้อ2.มาลงไว้เลยนะครับ จากคุณ : อิอิคุง เขียนเมื่อ : 15 ก.ย. 54 18:07:30

ความคิดเห็นที่ 21 ข้อ1 มันคิดลำบาก เพราะ จริงๆแล้ว แผ่นวงกลมเอาไป แปะผิวทรงกลม มันไม่พอดีนะครับ เพราะผิดทรงกลมมันโค้ง แผ่นทรงกลมจะใช้ พท ผิวน้อยกว่าเดิมหน่อย ส่วนข้อ2 ขออนุญาตเพิ่มเติมจาก คุณ ชโรนนท์ นะครับ การ หาร ที่มี ผลรวมของตัวตั้ง ที่มีเลขยกกำลังเท่ากันนั้น จะไม่สนเลขยกกำลัง ดูแต่ ฐานได้เลย ผมยกตัวอย่างเช่น 10กำลังx และ 11กำลังx ถ้าเอา 21มาหาร เราไม่ต้องดู ว่ามันยกกำลังเท่าไรครับ สนแค่ว่า ฐาน คือ 10 กับ 11 ซึ่ง บวกกันได้0A ตะวัน นพคุณ จากคุณ : ตะวัน นพคุณ (ixhundred) เขียนเมื่อ : 15 ก.ย. 54 18:19:40

ความคิดเห็นที่ 22 ส่วนข้อ1. วิธีที่ผมทำจะคล้ายๆกับใน#14 ซึ่งเขาไม่ได้ลงรายละเอียดไว้ว่าทำไมจำนวนรูปสีดำจึงมีจำนวน48รูป แต่ผมนับโดยการสังเกตว่า รูปสีดำทุกรูปจะมีวงกลมอยู่ติดกับมัน 3รูป ให้ x  = จำนวนรูปสีดำบนลูกฟุตบอล ถ้าเรานับวงกลมเป็น3รูปต่อรูปสีดำ1รูปโดยไม่สนว่าจะนับซ้ำหรือไม่ ก็จะได้ว่าจำนวนวงกลมที่นับได้ = 3x แต่ความจริงแล้ววงกลมทุกๆรูปจะมีรูปสีดำอยู่ติดกับมัน6รูป หมายความว่าวงกลมแต่ละวงถูกนับซ้ำ6ครั้งจากวิธีการนับข้างต้น ดังนั้นจำนวนวงกลมมีอยู่จริงๆเพียง  3x/6 = x/2 เนื่องจากจำนวนวงกลม = 24  ดังนั้น x/2 = 24  >>> x= 48 ซึ่งแน่นอนว่าหลักการคิดทั้งหมดตั้งบนสมมติฐานว่าบนพื้นผิวโค้งของทรงกลมไม่แตกต่างกับบนระนาบ แต่ก็อย่างที่คุณ ชโรนนท์ ได้บอกไว้แล้วว่า บนพื้นผิวทรงกลมกับบนระนาบมันมีการจัดรูปแบบไม่เหมือนกัน ด้วยเหตุนี้  ผมจึงไม่มั่นใจในคำตอบที่ได้   และไม่มั่นใจในโจทย์ว่าเป็นไปได้หรือไม่ ตามที่ผมได้บอกไว้ตั้งแต่หัวกระทู้แล้วนั่นเองครับ ก็ลองช่วยๆคิดกันดูนะครับ ว่าที่ถูกต้องควรเป็นอย่างไร แก้ไขเมื่อ 15 ก.ย. 54 18:27:42 จากคุณ : อิอิคุง เขียนเมื่อ : 15 ก.ย. 54 18:23:50

ความคิดเห็นที่ 23 คห 21 ผมเข้าใจคับว่าเราสามารถแยกผลบวกเป็นก้อนละ 21 จำนวน พอบวกกันมันก็ต้องหาร 21 ลงตัว เพราะมันครบ Complete residue system พอดี แต่ที่ผมบ่นก็คือยังไงๆ มันก็ต้องยกกำลังก้อนหลังๆ อยู่ดีน่ะคับ เพราะมันเหลือตั้งแต่ 1 ถึง 16 ให้บวกกัน โอย เยอะมาก ไม่ชอบคิดเลขเยอะๆ นะคับ แหะๆ จากคุณ : ชโรนนท์ เขียนเมื่อ : 15 ก.ย. 54 20:03:44

ความคิดเห็นที่ 24 ดูเฉลยข้อ 2. จาก คคห. 20 แสดงว่าผมก็เข้าใจ + ทำถูกแล้วสินะ (แต่วิธีของ คุณ อิอิคุง กระชับดีครับ) ถ้าผมตั้งโจทย์ว่า จงหาเศษที่เหลือจากการหาร 1999999 + 2999999 + 3999999 + ... + 999999999999 ด้วย 999999 คำตอบก็คือ เศษ เท่ากับ 0 สินะครับ จากคุณ : TIYHz เขียนเมื่อ : 15 ก.ย. 54 21:30:11

ความคิดเห็นที่ 25 ผมว่าตามที่ คห.21 บอกไว้ ยังมีช่องว่างอยู่นะครับ สังเกตจาก ตอนท้ายที่เราหาก็ได้ เพราะเราเหลือ 117 + 217 + 317 + 417 หารด้วย 21 เหลือเศษ 19 ถ้าเราเอาแต่ฐานมาบวกกัน มันจะได้ 10 มันไม่ตรงน่ะสิครับ จากคุณ : basicguy เขียนเมื่อ : 15 ก.ย. 54 23:28:33

ความคิดเห็นที่ 26 คคห. 21 ผมมีตัวอย่างค้านครับ... พิจารณา 10x + 11x ซึ่ง 10 + 11 = 21 กำหนดให้ x = 2 จะได้ว่า 102 + 112 = 221 แต่ 221 ธ 21 ไม่ลงตัวครับ จากคุณ : TIYHz เขียนเมื่อ : 16 ก.ย. 54 10:12:28

ความคิดเห็นที่ 27 อ่า ผม คห21 นะครับ พอดีว่า ผมไม่มี acc (เมื่อวาน เลยฝาก ท่านนึงโพสให้ แล้วท่านโพสลงมาไม่ครบ) แล้ววันนี้ ใบสมัครที่ผมส่งไป มันเข้าเมล์ละ เดวผมเฉลยให้เต็มๆ ละกันครับ การ หาร ที่มี ผลรวมของตัวตั้ง ที่มีเลขยกกำลังเท่ากันนั้น จะไม่สนเลขยกกำลัง ดูแต่ ฐานได้เลย (ใช้ได้ในกรณี เลขยกกำลังเป็นเลขคี่เท่านั้น เพราะมันจะไปเข้าสูตรการถอดสมการ)  เพราะงั้น ในคห 26 ยกตัวอย่งมาเป็นเลข คู่ จึงใช้เทคนิคนี้ไม่ได้น่ะครับ ต่อมา การหารพวกนี้ เป็น sequence เพราะงั้น เวลาคิดให้ คิดย้อน จาก ปลายไป ต้น ครับ คือ เริ่มดูที่ 2011กำลัง17 ได้เลย 2011 หาร 21 จะเหลือเศษ 16 (ยกกำลัง17) 2010 หาร 21 จะเหลือเศษ 15 (ยกกำลัง17) ถอยลงไปเรื่อยๆ จนเหลือ เศษ 1 (ยกกำลัง17)  เพราะงั้น จะมี เหลือคือ  16-15-14 ... ย้อนไปเรื่อยๆ จนถึง 1  ที่เหลือ มันจะ เป็น เศษ 1-20 แล้ววนกลับไป0 ซึ่ง 1+2+3+...+x จะถูกหารด้วย x+1 ลงตัวเสมอ (x(x+1)/2) จึงตัดทิ้งได้ทั้งหมด นำเศษ ที่เหลือ มาคิดต่อ ให้จับคุ่  16-5, 15-6, 14-7, 13-8, 12-9, 11-10 ออก เหลือ 1,2,3,4  ซึ่ง 1+2+3+4 = 10  สรุปว่า ให้เอา 10กำลัง 17ตั้ง แล้วหารด้วย 21 ซึ่งถ้าไปเช็คที่คุณ basicguy คิดไว้ 10 กำลัง17 หารด้วย 21 จะเหลือเศษ 19 เป็นคำตอบครับ สรุปข้อนี้ ถ้าเข้าใจเทคนิคมันแล้ว  ต้องคำนวณ 2 อย่างครับ คือ ตัวปลาย (2011 % 21 ได้ 16) และ จาก 1-16 จับคุ่ ให้ได้ 21  จะเหลือตัวเลข 1,2,3,4 ซึ่ง บวกกันได้ 10 เพราะงั้น ข้อนี้ที่ต้องคิดจริงจังคือ  อ้างอิงจาก คุณ basicguy 10^17 = 2^17 * 5^17 หารด้วย 21 เหลือเศษ (11)(17) = 187 คือเหลือเศษ 19 edit : อ่า แก้จากคุณชโรนนท์ เป็น คุณ basicguy นะครับ อ้างอิงผิดคน ขอโทษทีครับ แก้ไขเมื่อ 16 ก.ย. 54 14:49:15 แก้ไขเมื่อ 16 ก.ย. 54 14:44:41 จากคุณ : ตะวัน นพคุณ (อัศวินเขียว) เขียนเมื่อ : 16 ก.ย. 54 13:17:22

ความคิดเห็นที่ 28 .. กดผิดครับ ขอโทษทีครับ แก้ไขเมื่อ 16 ก.ย. 54 14:49:42 แก้ไขเมื่อ 16 ก.ย. 54 14:41:33 จากคุณ : อัศวินเขียว (อัศวินเขียว) เขียนเมื่อ : 16 ก.ย. 54 14:39:58

ความคิดเห็นที่ 29 .. กดผิดครับ ขอโทษทีครับ แก้ไขเมื่อ 16 ก.ย. 54 14:49:53 แก้ไขเมื่อ 16 ก.ย. 54 14:41:58 จากคุณ : อัศวินเขียว (อัศวินเขียว) เขียนเมื่อ : 16 ก.ย. 54 14:41:21