ความคิดเห็นที่ 1 แทนที่จะตั้งกระทู้เรื่องนี้ซ้ำๆ แต่ไป search หาอ่านที่เค้าเคยเถียงกันมาล้านรอบแล้วใน คลังกระทู้ จะดีกว่ามั้ยครับ จากคุณ : JD300 เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 08:53:51

ความคิดเห็นที่ 2 จากคุณ : Humandroy เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 08:58:32

ความคิดเห็นที่ 3 #1 เสริชว่ายังไงครับ จากคุณ : Serial_Nuber เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 09:02:10

ความคิดเห็นที่ 4 จขกท. คงจะดักเกรียนใช่มั๊ยครับ จากคุณ : เอเจ เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 09:12:06

ความคิดเห็นที่ 5 ถ้ายึดตาม "ธรรมชาติ" คือ ไม่เท่า ยึดตาม "การใช้งาน" คือ เท่า จากคุณ : @==ไข่ดำ==@ เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 09:15:00

ความคิดเห็นที่ 6 http://www.metacafe.com/watch/1016710/math_proof_0_99999_1/ จากคุณ : vars เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 09:45:47

ความคิดเห็นที่ 7 คณิตศาสตร์ยืนอยู่บนนิยามครับ ไม่ใช่ความรู้สึก จากคุณ : เถ้าลอย เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 10:34:54

ความคิดเห็นที่ 8 #5 ธรรมชาติคือความรู้สึกของใครบางคนนะสิ จินตนาการสำคัญกว่าความรู้ ไม่ต้องพิสูจน์ กรูจะเชือ่ของกรูแบบนี้ นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกเขาพิสูจน์กันไปหมดแล้ว มีแต่คนไทยบางคนเก่งมาก สามารถล้มการพิสูจน์นี้ได้ แต่ไม่เห็นมีใครไปขอรางวัลโนเบลกับเขาเลย หมายเหตุ 0.999... = 1 เขียนส่วนที่ซ้ำแค่ 3 ตัว(ชุด) ตามด้วย 3 จุด จบโรงเรียนไหนมาเนี่ยะ จากคุณ : .eAT เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 10:49:36

ความคิดเห็นที่ 9 เอ่อ ผมเขียนจุดข้างบนไม่เป็นอะนะ ขออภัยด้วยคับ ออกตัวแรงมาเลย ไม่ทราบว่าต้องเขียนซ้ำ 3 ชุด เหอๆ ความเห็นส่วนตัวของผม ผมมองโดยใช้ลำดับโคชี่คับ จำนวนจริงสามารถมองได้ว่าเป็น Class ของลำดับโคชี่ของจำนวนตรรกยะที่ลู่เข้าหามัน อย่าง 0 ก็มองเป็น Class ของลำดับโคชี่ทั้งหมดที่ลู่เข้าสู่ 0 ดังนั้น ทั้ง (0),(1/n),(-1/n) ก็จะอยู่ใน Class ของ 0 แต่เพราะมันเป็น Equivalent class เราหยิบลำดับไหนใน class มาเป็นตัวแทนของ 0 ก็ได้ ดังนั้น 0=[(0)]=[(1/n)]=[(-1/n)] ทีนี้เค้านิยามว่าจำนวนจริง a,b จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อลำดับใน Class ของ a และ b เอามาลบกัน แล้วลู่เข้าสู่ 0 ก็พิจารณา Class ของ 0.999... กับ Class ของ 1 กัน จะเห็นว่า (1-1/10n) จะอยู่ใน [(0.999...)] และ (1) จะอยู่ใน [(1)] พอเอาลำดับ 2 อันนี้มาลบกัน จะได้ลำดับ 1/10n ซึ่งลู่เข้าสู่ 0 เลยได้ว่า 0.999... กับ 1 มีค่าเท่ากันคับ แก้ไขเมื่อ 21 ก.ย. 54 11:34:38 จากคุณ : ชโรนนท์ เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 11:29:16

ความคิดเห็นที่ 10 ถ้ากำหนด ขึ้นมาว่า 0.999... ผมตอบว่าไม่เท่ากับ 1 ถ้ากำหนดขึ้นมาว่า 1/3 x 3 ผมตอบว่า เท่ากับ 1 จากคุณ : WindMaster เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 12:01:02

ความคิดเห็นที่ 11 คห 3 ผมลองใช้คำว่า 0.999 ก็ได้ออกมาอย่างนี้ นี่แค่หน้าจอแรกนะ ทั้งหมดมีเกือบ 40 กระทู้ (ถ้าเข้าไปในแต่ละกระทู้ ก็จะเห็นคอมเม้นต์กันยาวเหยียด) จากคุณ : JD300 เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 12:04:46

ความคิดเห็นที่ 12 แล้วทำไมผมได้แบบนี้ละครับ จากคุณ : Serial_Nuber เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 12:09:19

ความคิดเห็นที่ 13 ผมไม่ชอบคณิตศาสตร์ตรงที่ ตอบอะไรไม่ได้ก็ไม่นิยามไว้ก่อน จากคุณ : annalog เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 12:11:16

ความคิดเห็นที่ 14 ถ้าโดยนิยามของลิมิต ผมว่า มันก็เท่ากัน โดยนิยาม แต่ ถ้าบอกว่า 0.333... มาจาก ตั้งหารยาว 1 ด้วย3 ผมว่า ถ้ายังหารไม่เสร็จ มันก็ยังไม่เท่า ถ้าบอกว่า นิยามให้หารเสร็จ เศษเป็น0 ที่ครั้งที่ +inf มันก็คงจะต้องเป็นไปตามนั้น แต่ต้องถามหน่อยว่า ที่ครั้งที่ +inf มันคืออะไร (ก็คือครั้งที่เศษเป็น0นั่นแหละ ) ขยายความมาที่ลิมิต ลิมิตเศษเป็น0อะใช่ แต่ค่าเศษ ยังไงก็มากกว่า0 ถ้าครั้งยังน้อยกว่า +inf อยู่ เขียน3ไปเรื่อยๆ แล้วทำให้เศษเป็น0ได้ ฝานแตงไปเรื่อยๆ แตงหายไปได้ มันก็ได้ที่ +inf นะ แต่ยังไม่รัดกุม เดี๋ยวมาต่อ เรื่อง -inf จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 12:30:39

ความคิดเห็นที่ 15 สำหรับคนที่งงว่า เจ้าของกระทู้พูดถึงเรื่องอะไร... จากคุณ : S.S. เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 12:40:35

ความคิดเห็นที่ 16 ลองพึ่งอากู๋ ก็ไปเจอ ไร้สาระนุกรมเรื่องนี้... รวบรวมไว้ได้ดีเกินชื่อจริงๆ http://th.uncyclopedia.info/wiki/0.999... จากคุณ : S.S. เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 13:01:10

ความคิดเห็นที่ 17 0.999... = 1   มีค่าความจริง เป็น จริง ครับ เท่าที่จำได้ตอนที่เถียงกันเรื่องนี้ ผมเห็นมีแต่ บทพิสูจน์ว่ามันเท่ากันอย่างไร แต่ พวกที่บอกว่าไม่เท่า ไม่เห็นว่าจะมีบทพิสูจน์อะไรมานำเสนอ ตราบจนถึงกระทู้นี้ ก็ยังไม่มีให้เห็นอยู่ดี วอนผู้ที่คิดว่ามันไม่เท่ากัน ช่วยหาบทพิสูจน์ให้ดูหน่อยสิครับ ว่ามันไม่เท่ากันได้อย่างไร ในทางคณิตศาสตร์ ถ้าคุณบอกว่า คุณไม่ยอมรับว่า 0.999... = 1 แต่คุณยอมรับว่า 1/3  *  3 = 1 นั่นแสดงว่าคุณพูดกลับไปกลับมา เพราะ 1/3 = 0.333... ทีนี้เอา 3 คูณ 3 ทุกตัวก็จะได้ 0.999...  และ มันเท่ากับ 1 ประมาณนี้แหล่ะครับ คือ พวกที่คิดว่า ไม่เท่าพอยกสมการ ยกอะไรมา คิดไปคิดมา อ่าวมันเท่ากันนี่หว่า แต่ กรูจะเชื่อของกรูแบบนี้ว่ามันไม่เท่ากัน นั่นคือ ที่พอสรุปได้จากการเถียงกัน เป็นสิบๆกระทู้ ร้อยๆ พันๆ comments น่ะครับ ลองดู สมมติ f(x) = 1 g(x) = 0.999... มีความจริงอะไรบ้าง 1. ทั้งสองอันเป็นกราฟเส้นตรง 2. ทั้งสองอันมีความชันเท่ากับ 0   ลอง dif ดู ได้ 0 ทั้ง f'(x) และ g'(x) ต่อมา integral f(x) dx = x + C integral g(x) dx = 0.999... * x  + C so if we integral f(x) dx from 0 to 0.999... = 0.999... - 0 = 0.999... integral g(x) dx from 0 to 1 = 0.999... * 1 - 0 = 0.999... ได้พื้นที่เท่ากันเลย นั่นแสดงว่า 0.999... = 1 อย่างนี้พอไหวไหม เห็นหรือยังว่ามันเท่ากันน่ะครับ แก้ไขเมื่อ 21 ก.ย. 54 14:45:46 จากคุณ : Santa_Baby เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 13:09:33

ความคิดเห็นที่ 18 ความคิดเห็นที่ 12 แล้วทำไมผมได้แบบนี้ละครับ จากคุณ : Serial_Nube ----------------------------------------- ^ ^ ^ ต้องค้นในคลังกระทู้เก่าครับ หาได้หน้าหลักไม่เจอหรอกกระทู้ตกไว้มาก นี่ครับ>>http://www.pantip.com/cafe/wahkor/topicstockX.php จากคุณ : Ken Akamatsu เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 13:17:48

ความคิดเห็นที่ 19 ผมตอบง่ายๆ ไม่คิดว่าจะขัดแย้งนะครับ การกำหนดเส้นขึ้นมา 0.999... ถ้ามัน เท่ากับ 1 ทำไมมันต้อง 0.999... ไม่ต้องพิสูจน์หรอกครับ แต่ถ้า 1/3  x 3 = 1 อันนี้ ผมมอง 0.999... = 3x แค่นั้นครับ 1/3 = x = 1 3/3 = 3x = 1 ดังนั้นผมไม่ถือว่า 0.999... เป็นจำนวน ผมถือว่ามันเป็นตัวแปรในรูป 0.999... ปล. สำหรับคนที่งงเรื่องตัวแปร ตัวแปรใช้สำหรับกำหนดค่าที่ไม่ทราบหรือแทนค่าชุด อาจจะเป็น a b c d e x y หรือ ก ข ค ง หรือ TEN NINE SIX หรือ 0.999... ก็กำหนดเป็นตัวแปรได้เช่นกัน จากคุณ : WindMaster เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 13:24:03

ความคิดเห็นที่ 20 ขอความกรุณานักคณิตศาสตร์ ละเว้นการดูถูกเหยียดคนที่คิดต่าง เพราะไม่จำเป็นที่ เราจะต้องดึงดันกันถึงตัวเลขที่ไม่สามารถนำมาใช้งานจริงได้ ถ้าจะกำหนดให้ผมสอบตกเพราะผิดข้อนี้ 1 ข้อ ในขณะที่ผมสอบข้ออื่นผ่าน ผมก็ยังเรียนจบมาได้นะครับ จากคุณ : WindMaster เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 13:25:57

ความคิดเห็นที่ 21 1/+inf เท่ากับ 0  จริงหรือไม่ (ข้ามนิยามเมื่อกี้ไปก่อน) ถ้า 1/  +-inf  +-i inf   =0  จริงหรือไม่ 1/  +-inf  +-i inf = 1/+inf cis t = cis -t   / +inf ผมว่า ถ้าผมเคลื่นที่ครั้งละ cis -t   / +inf ผมจะผ่านจุด cis -t ไม่ใช่ อยู่ที่ 0 ไม่ไปไหน ผมว่านะ |1/  +-inf  +-i inf|   >0 ถ้าจะมี 1/x ที่เท่ากับ 0 x ตัวนั้น อาจจะเรียกว่า INF ที่ไม่มีทิศ เช่นเดียวกันกับ0 เมื่อเร็วๆนี้ผมเขียน INF =1/0 นี้ว่า  +inf *cis( +inf ) เหมือนจะไม่ตรงหัวกระทู้ ทีนี้ พอดีว่า เศษมัน=1/+inf คือมีทิศทางเดียว ต้องลองตั้งหาร ให้เศษ มันวิ่งวนรอบ 0 ดู อาจจะเห็นว่า เศษมันเท่ากับ 1/ +inf *cis( +inf ) นี่แทน ทั้งหมดนี่ ไม่ได้เป็นคำค้านประเดนโดยตรงนะครับ ถือว่าเป็น ติดข้อสงสัยบางอย่าง ที่เกี่ยวกับ +inf , INF จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 14:06:45

ความคิดเห็นที่ 22 #17 ผิดอยู่จุดนึงนะครับ จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 14:09:58

ความคิดเห็นที่ 23 ข้อพิสูจน์ด้านบน มาจากคุณสมบัติหนึ่ง คือ +inf+1  =+inf อันนี้เหมือนจะมองเป็นนิยามของ +inf ได้ ประเดน คือ จะอธิบาย ในความหมายของครั้งที่ +inf ที่หารด้วย3 แล้วเศษเป็น0 ยังไง เป็นตัวเดียวกัน ยังไง จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 14:13:24

ความคิดเห็นที่ 24 #21 อาจจะเห็นว่า เศษมันเท่ากับ 1/ +inf *cis( +inf ) นี่แทน จริงๆไม่ใช่ครับ ถ้าเศษมันเท่ากับ0จริง คุณจะต้องทำลิมิต ให้มันหมุนวนเศษที่เป็น0ได้ ประเดน คือ มันทำได้ แค่เข้าใกล้ในทิศเดียว ไม่มีลิมิตรอบจุด เป็นการพิสูจน์ว่า เศษมันมากกว่า0เสมอ อ๊ะ อันนี้ก็ไม่ใช่ นี่มันเรื่องลิมิต ผมยังสรุปไม่ได้ ฝากไว้ให้หมุนเล่นละกัน แก้ไขเมื่อ 21 ก.ย. 54 14:20:31 จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 14:17:56

ความคิดเห็นที่ 25 #24 เหมือนจะเกิดทฤษฎีบทมาอันนึง ค่าของ f(x)ซึ่งเป็นลำดับสุดท้าย จะเท่ากับ y ได้ ก็ต่อเมื่อ ทำลิมิต f(x) มาหมุนรอบค่า yได้ +inf แล้วจะไปหมุนรอบ +inf ยังไงหละ หมุนข้ามไปที่ +inf+1ได้มั้ยนี่ สงสัยคำค้านในข้อนี้จะตกไปแฮะ จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 14:24:46

ความคิดเห็นที่ 26 อีกประเดนสำคัญ จำนวนจริงบวกที่น้อยที่สุด = 1/ +inf  = 1/+2inf จาก +inf =+2inf ตอนนี้ดันบอกว่า +inf ใช้เป็นค่าจริงๆไม่ได้ แต่ดันกลับใช้เป็นครั้งที่ +infได้ ตรงนี้ ที่บอกว่าไม่รัดกุม จำนวนจริงบวกที่น้อยที่สุด ถ้ามิติมันต่อเนื่อง ผมเคลื่อนที่จาก 0 มา1ได้ ผมว่ามันต้องผ่าน ค่าจำนวนจริงบวกที่น้อยที่สุด นี่มานะ ผมไม่ได้กระโดดข้ามมา อะไรที่เรียกว่ามีจริง อะไรที่เรียกว่าไม่มีจริง จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 14:43:02

ความคิดเห็นที่ 27 #9 ผมว่าถ้านิยามตาม 0=[(0)]=[(1/n)]=[(-1/n)] เราจะไม่สามารถ เคลื่อนที่แบบต่อเนื่องจาก0 มา1ได้อะนะครับ เห็นผมเขียนอย่างนี้ จริงๆผมก็เชื่อว่าเท่านะครับ เชื่อตามที่คนฉลาดๆเค้าว่ากัน แต่ผมยังไม่เห็นข้อพิสูจน์แบบเด็ดขาด #1 เข้าใจว่าในกระทู้เหล่านั้น มีชื่อผมอยู่ด้วยประมาณ 99.999....% จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 15:00:19

ความคิดเห็นที่ 28 อ้อ ถ้าบางที จำนวนจริงที่น้อยที่สุด อาจจะกลายเป็นจำนวนไม่จริงไป ไม่รู้อันไหนจริง อันไหนเนียน หรือเป็นจำนวนเนียน หรือจำเนียนจริง ดูผลโหวตแล้ว ทำไมพวกนอกหลักสูตร เยอะกว่าพวกในหลักสูตร ฝ่ายวิชาการยังไม่ได้ผลนะครับ ต้องปรับปรุงกันซักหน่อย ผมยื่นหน้ารอให้มาน็อคนานแล้ว ไม่น็อคซักที ตั้งแต่เคยทำโจทย์เลขมา เพิ่งจะเคยเจอแต่ข้อนี้ นึกว่าเฉลยข้อสอบสังคมกันอยู่ จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 15:05:14

ความคิดเห็นที่ 29 อย่างที่หลายๆท่านบอกไว้ตั้งแต่ต้นๆแล้วว่าเรื่องนี้เถียงกันยาว และ ไม่จบ ดังนั้น งดแสดงความคิดเห็นดีกว่า เดี๋ยวไปพาดพิง เพื่อนๆ ท่านอื่นอีก อยู่ในสังคมที่คิดต่างให้ได้ และ ยอมรับกัน ก็โอเคกว่าน่ะ เอาชนะคัดคานกันไปไม่มีประโยชน์อันใด เราอยากจะเชื่อแบบไหน คนอื่นอยากจะเชื่อแบบไหน ก็ปล่อยๆ กันไป #22 แก้ไขแล้วน่ะครับ ตรงขอบเขตการ integral ที่พิมพ์ไม่ครบใช่ไหมครับ ขาด ... ไป ขอบคุณมากครับ จากคุณ : Santa_Baby เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 15:18:23

ความคิดเห็นที่ 30 ผมเห็นว่า เรื่อง inf หรือ 1/inf มันเป็นอะไรที่ ใครๆก็เคยได้ยิน แต่ มีความลึกลับที่น่าสนใจอยู่มากสำหรับผม แม้ในทางพุทธ ยังว่าไว้ว่าเป็นอจิณไตย ทางฟิสิกส์เอง ไม่ได้บทสรุป ทีนี้มาทางคณิต ดันมีประเดนอีก อยากจะรู้ว่ามันเป็นยังไงกันแน่ จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 15:28:46

ความคิดเห็นที่ 31 อิอิ ขอไม่จบดีกว่า 0.999... เป็นจำนวนจริง เป็นทศนิยมไม่รู้จบ ไม่ใช่ตัวแปร ตัวแปร คือ สิ่งที่มีจำนวนไม่แน่นอน เท่าไหร่ก็ได้ แต่ 0.999... มีค่าเดียว คือ 0.999... ถ้าคุณจะนิยามว่า 0.999... เป็นตัวแปร ก็จะได้เฉพาะในคณิตศาสตร์ในโลกของคุณเท่านั้น และ คุณก็จะตอบคำถามของเจ้าของกระทู้ไม่ได้ เพราะ มันอยู่บนพื้นฐานของคณิตศาสตร์ทั่วไป จากคุณ : Santa_Baby เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 15:32:21

ความคิดเห็นที่ 32 ผมไม่ใช้สูตรอะไรทั้งนั้น แค่เขียนเส้นจำนวนน่าจะทดสอบได้มั้งครับ 0.999... บนเส้นจำนวน มันก็แค่ เข้าใกล้สู่ 1 แต่ยังไง มันก็ไม่ใช่ 1 ใช้วิธีนี้พิสูจน์แบบนี้ได้มั้ยครับ แก้ไขเมื่อ 21 ก.ย. 54 15:41:39 จากคุณ : เทาทองวอร์ริเออร์ เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 15:39:10

ความคิดเห็นที่ 33 แถม http://en.wikipedia.org/wiki/0.999... จากคุณ : Santa_Baby เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 15:41:48

ความคิดเห็นที่ 34 ความเห็นส่วนตัว เห็นว่า ภาพใน คห 32 แสดงให้เห็นว่า เจ้าของภาพยังไม่เข้าใจความหมายของ จุดสามจุดข้างหลังเลขเก้า จริง ๆ แล้ว 0.9... = 0.99... = 0.999... = 0.9999.... = 1 จากคุณ : nonlocality เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 15:49:45

ความคิดเห็นที่ 35 คือ ผมจะสื่อว่ามันใกล้มากไงครับ แต่มันใกล้ยังไง มันก็ไม่ใช่ 1 อ่ะ จากคุณ : เทาทองวอร์ริเออร์ เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 16:00:58

ความคิดเห็นที่ 36 ทำไมคณิตศาสตร์บอกว่า  "จำนวนจริงที่มากที่สุดแต่น้อยกว่า...." ไม่นิยามไว้ เพื่ออะไร ? แล้ว 1+[1/(ซิกม่า I)|Iคือจำนวนนับ]=1 ใช่หรือไม่ครับ จากคุณ : annalog เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 16:05:01

ความคิดเห็นที่ 37 สนใจอันนี้นะครับ ทำไมคณิตศาสตร์บอกว่า  "จำนวนจริงที่มากที่สุดแต่น้อยกว่า...." ไม่นิยามไว้ เพื่ออะไร ? แต่งงอันนี้ แล้ว 1+[1/(ซิกม่า I)|Iคือจำนวนนับ]=1 ใช่หรือไม่ครับ จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 18:24:00

ความคิดเห็นที่ 38 คือผมอยากรู้ว่าถ้า 1/จำนวนที่มากมายมหาศาล จะเท่ากับศูนย์ หรือเท่ากับ 1 - 0.9... แก้ไขเมื่อ 21 ก.ย. 54 19:11:15 แก้ไขเมื่อ 21 ก.ย. 54 19:10:53 จากคุณ : annalog เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 19:05:11

ความคิดเห็นที่ 39 ไปค้นกระทู้เก่าๆ ดูได้ วิธีพิสูจน์มีหลายวิธี ถ้าใช้ไม่ได้ ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์คงต้องยกเลิก แทบทั้งหมดแล้ว ส่วนคนที่บอกว่าไม่เท่า จนถึงป่านนี้ก็ใช้แต่ความรู้สึกอย่างเดียว เหมือนกันกับรอยพญานาคนั่นแหล่ะ เห็นเป็นรอยก็บอกว่าใช่ ไม่ต้องพิสูจน์ ใช้ความรู้สึกอย่างเดียวพอ จากคุณ : .eAT เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 19:39:51

ความคิดเห็นที่ 40 ทำไมต้องยกเลิกแทบทั้งหมด ยกเลิกแค่บางอันไม่ได้เหรอ เรื่องไหนที่ไม่เกี่ยวข้องก็ไม่ต้องไปยกเลิกสิ ไม่ได้เกี่ยวอะไรกับรอยพญานาคเลย เอะอะอะไรก็ไม่นิยาม จากคุณ : annalog เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 20:15:30

ความคิดเห็นที่ 41 Ken Akamatsu ขอบคุณครับ จากคุณ : Serial_Nuber เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 21:12:12

ความคิดเห็นที่ 42 พฤติกรรมอนุกรมครับ เราบวกไปถึงตรงไหนค่ามันก็ exist ที่ตรงนั้น เป็นจุดดำ ๆ ในขณะที่ฟังชันก์บางฟังชันก์ค่าตรงจัดนั้นมันเป็นจุดขาวๆ ืn เข้าใกล้ 3 ค่า บวกไป 3 ตัว S(3) ก็จะ exist ืn เข้าใกล้ inf บวกไป inf ตัว ค่า S(inf) ก็จะ exist แต่ใครจะไปบวกได้ inf ตัว แต่ก็อย่างว่า ความรู้ทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ความรู้ที่อิงกับประสบการณ์ a priori แก้ไขเมื่อ 21 ก.ย. 54 21:15:53 จากคุณ : เซียนแห่งmath เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 21:12:17

ความคิดเห็นที่ 43 #40 ดู #15 ถ้าวิธีนี้พิสูจน์ไม่ได้ แสดงว่า "สมการ" ใช้ไม่ได้ในคณิตศาสตร์ แล้วมันจะเหลืออะไรอีกล่ะ จากคุณ : .eAT เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 21:33:02

ความคิดเห็นที่ 44 ผมก็เกือบเชื่อแล้วแหละครับ แต่ติดอยู่สองข้อที่ผมโพสถามนั่นแหละว่า "จำนวนจริงที่มากที่สุดแต่น้อยกว่า..." ทำไมถึงไม่นิยาม ถ้านิยามแล้วจำนวนจริงจะเสียคุณสมบัติของจำนวนจริงไปเหรอ ? กับ ในเมื่อ 0.9... ยังเท่ากับหนึ่ง แล้ว 1.000...1 มันเท่ากับหนึ่งมั้ย ซึ่งในกระทู้เก่าๆที่เคยถกกันมาก็จะมาบอกว่า 1.000....1 ไม่นิยาม ผมก็เลยถามว่า 1+[1/(ซิกม่า I)|Iคือจำนวนนับ]=1 หรือเปล่า หรือ 1+[1/(ซิกม่า I)|Iคือจำนวนนับ] ก็ไม่นิยามอีก จากคุณ : annalog เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 21:51:07

ความคิดเห็นที่ 45 ที่เค้าไม่นิยามว่ามีจำนวนจริงที่มากที่สุดแต่น้อยกว่าเลขซักตัว ก็เพราะว่ามันไม่มีน่ะคับ อย่างผมสมมติว่า x เป็นจำนวนจริงที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 1 ทีนี้ปรากฎว่าผมไปเจอเลขตัวนึง นั่นก็คือ (x+1)/2 เห็นชัดๆ ว่า x < (x+1)/2 < 1 อ่าว แต่ผมบอกตอนแรกนินาว่า x เป็นตัวที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 1 ก็ Contradiction คับ ส่วนเรื่องกระทู้ ต้องขอโทษด้วยที่หลายๆ คนคิดว่าผมไม่ค้นข้อมูลเก่าๆ ออกมาก่อน ผมเพิ่งหัดเล่นที่นี่ ไม่ทราบจริงๆ ว่าเคยมีคนเถียง เอ๊ย ถกเรื่องนี้กันแล้ว ถ้าหากว่ากระทู้นี้สร้างความไม่พอใจให้กับใครๆ ก็ขอโทษด้วยนะคับ จากคุณ : ชโรนนท์ เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 22:06:59

ความคิดเห็นที่ 46 ส่วนเรื่องนิยาม ไม่นิยาม อันนี้ต้องยกมาทีละกรณีคับ ในความเห็นของผม 1.000...1 มันนิยามนะ เพราะมันคือทศนิยมรู้จบนินา ส่วนอันหลังที่เป็นซิกม่า รบกวนช่วยเขียนให้เคลียร์ๆ อีกหน่อยได้ไหมคับ ผมงงอะ แหะๆ จากคุณ : ชโรนนท์ เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 22:09:19

ความคิดเห็นที่ 47 Ques : 0.999... จะเท่ากับ 1 ได้ยังไง ในเมื่อเห็นชัดๆว่ามันตัวเลขคนละตัวกัน Ans : จำนวนที่มีรูปแบบการเขียนไม่เหมือนกันไม่ได้แปลว่ามีค่าไม่เท่ากันเสมอไป อย่างเช่น 1/2 กับ 0.5 ตัวเลขทั้งสองตัวนี้เขียนแตกต่างกันอย่างเห็นได้ชัดแต่ก็มีค่าเท่ากัน ------------------------------------------------------------------------- Ques : 1/2 กับ0.5 มันจะเท่ากันก็ไม่เห็นจะแปลก ในเมื่อมันคือเลขตัวเดียวกัน แต่เขียนในคนละระบบ    1/2 ก็คือเขียนในระบบเศษส่วน   และ 0.5 ก็คือเขียนในระบบทศนิยม   แต่0.999... กับ1 ต่างก็เขียนในระบบทศนิยมเหมือนกัน  แต่ดันเขียนคนละรูปแบบกันก็แปลว่าสองตัวนี้มีค่าไม่เท่ากัน Ans : ไม่จำเป็นเสมอไปอย่าง 1/2 กับ 2/4  ต่างก็เขียนในระบบเศษส่วนเหมือนกัน และมีรูปแบบการเขียนไม่เหมือนกันด้วย  แต่ก็ยังมีค่าเท่ากัน ------------------------------------------------------------------------- Ques : 0.9ไม่เท่ากับ1 และ 0.99 ไม่เท่ากับ1 และ 0.999 ไม่เท่ากับ 1   ... ไม่ว่าจะเพิ่มเลข9เข้ามากี่ตัวมันก็ไม่เท่ากับ1ถึงจะมีค่าใกล้เคียงแค่ไหน แต่ก็ไม่เท่ากันอยู่ดีดังนั้น0.999... ซึ่งมีเลข9ไม่สิ้นสุดยังไงเสียมันก็แค่มีค่าใกล้เคียง1มากๆ แต่ก็ยังไม่เท่ากับ1อยู่ดี Ans : แน่นอนว่าจำนวนเหล่านี้ซึ่งได้แก่ 0.9 , 0.99 , 0.999 ไม่เท่ากับ1  และถึงแม้ว่าจะเพิ่มเลข9เข้าไปอีกกี่ตัวก็ตามมันก็ยังไม่เท่ากับ1อยู่ดี   แต่คำว่า "เลข9กี่ตัวก็ตาม"  ไม่ได้รวมไปถึง"เลข9อนันต์ตัว" กล่าวคือเราเอาความมีจำกัด ไปเปรียบเทียบกับอนันต์ไม่ได้ ------------------------------------------------------------------------- Ques : ในเมื่อ 0.999... มีเลข9เป็นอนันต์ตัว  ก็หมายความว่าไม่มีทางเขียนเลข9ได้ครบทั้งหมดแน่นอน  แปลว่าอย่างไรเสียเลข9ก็ต้องมีจำนวนจำกัด  ดังนั้น 0.999...ก็ต้องมีเลข9อยู่จำกัด เมื่อมีเลข9อยู่จำกัด ก็แปลว่า0.999...ไม่เท่ากับ1 Ans : ถ้าอย่างนั้น เขาคงไม่กำหนดการใช้ทศนิยมซ้ำมาให้เราได้ใช้กันเพราะถึงกำหนดมาก็ไม่มีประโยชน์   แต่ในเมื่อเขากำหนดมาให้เราได้ใช้กัน ก็หมายความว่าเขายินยอมให้0.999... แทนการเขียนเลข9ทั้งอนันต์ตัวได้ครบทั้งหมด จากคุณ : อิอิคุง เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 23:09:03

ความคิดเห็นที่ 48 รูปแบบไม่สิ้นสุด  จะพบเห็นในคณิตศาสตร์ได้บ่อยๆเช่น 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 0.101010... 1 - 1/2 + 1/3 -1/4 + ... และ 0.999... เองก็เช่นกัน จะเห็นว่าในทางคณิตศาสตร์ได้ยินยอมให้กระบวนการใดๆก็ตามที่มีการทำซ้ำในลักษณะเดิม(แต่ต้องมีรูปแบบแน่นอน)ไปไม่สิ้นสุด   สามารถ"ทำจนครบทั้งหมด"ได้   โดยแทนด้วยสัญลักษณ์ ... นั่นก็คือ  1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...  หมายถึงบวกกันไปจนครบอนันต์พจน์ 0.101010...  หมายถึงมีเลข10ต่อไปเรื่อยๆจนครบอนันต์ตัว  เป็นต้น ซึ่งถ้าเราถือว่ามัน"ทำจนครบทั้งหมด" ได้ ก็เป็นไปได้ที่จะมีหาค่าของมันได้เช่นกัน จากตัวอย่างที่ยกมาขอจับมาอันนึงคือ 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ซึ่งได้มีการพิสูจน์เอาไว้แล้วว่า 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...  = 2   ^ ^ คุณอาจจะไม่เชื่อ   เพราะจับบวกกันให้ตายก็ได้แค่ใกล้เคียง2มากขึ้น   แต่ยังไงก็ไม่มีวันได้เท่ากับ2พอดีเป๊ะ   นั่นก็เพราะคุณไม่ยอมรับกฏเกณฑ์ที่เขายินยอมให้มันบวกกันจนครบทั้งอนันต์ตัวได้นั่นเอง ถ้าหากคุณยอมรับมันได้ล่ะก็     การยอมรับว่า 0.999... = 1 ก็ทำได้ไม่ยาก เพราะ 0.999... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... = 1 เช่นกัน แต่ถ้าคุณยอมรับว่า  1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...  = 2    โดยไม่ยอมรับว่า 0.999... = 1 ผมว่าคุณคงมีปัญหาทางตรรกแล้วล่ะครับ จากคุณ : อิอิคุง เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 23:45:13

ความคิดเห็นที่ 49 แต่ปัญหาก็ยังไม่จบ   เพราะถ้ายินยอมให้การบวกกันอนันต์ตัวสามารถทำครบทั้งหมดได้ ก็หมายความว่าตัวเลขต่อไปนี้ได้แก่ 1+1+1+... 1+2+3+... ฯลฯ สามารถเขียนได้เช่นเดียวกัน    แล้วค่าของมันคืออะไรล่ะ??? คำตอบก็คือ "หาค่าไม่ได้"  นั่นเอง ในเมื่อ 1+1+1+... คือการจับบวกกันจนครบทั้งอนันต์ตัว  เราก็ไม่มีปัญญาไปหาค่าให้มันได้ ซึ่งเราจะแทนด้วยสัญลักษณ์ ฅ นั่นเอง จากคุณ : อิอิคุง เขียนเมื่อ : 21 ก.ย. 54 23:55:50

ความคิดเห็นที่ 50 อิอิคุงมาตกม้าตายตรง limit ซะแล้ว อธิบาย 0.999... ตนๆ ดีตามนิยาม แต่มาตายตรง ยัด 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8  + ... = 2 นี่อยุ่ในระบบ limit ครับทุกคนยอมรับข้อนี้ครับ limit เป็นสิ่งที่่นักเรียนทุกคนยอมรับครับ ลองถามคนที่ข้องใจ 0.999... = 1 ดูได้ส่วนใหญ่ ถ้าประกาศ limit 0.999... -> 1 ทุกคนไม่ปฏิเสธครับ จากคุณ : WindMaster เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 00:40:07

ความคิดเห็นที่ 51 ทีนี้เค้านิยามว่าจำนวนจริง a,b จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อลำดับใน Class ของ a และ b เอามาลบกัน แล้วลู่เข้าสู่ 0 ผมว่าอันนี่ ก็ยังเป็นโจทย์เดิม โจทย์เดียวกัน ถ้าเอาเบื้องหลังของโคชี่ มาเปิดเผยายละเอียด ก็จะได้เป็นการปิดตำนานเรื่องนี้ไปได้ซักที จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 09:24:56

ความคิดเห็นที่ 52 #45 ผมเขียนตอบไว้ใน #26 นะครับ จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 09:33:40

ความคิดเห็นที่ 53 #45 ผมเขียนตอบไว้ใน #26 นะครับ จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 09:34:16

ความคิดเห็นที่ 54 #43 และการแปลงทศซ้ำ อันนั้เห็นมา10กว่าปีแล้วครับ ผมเขียนแย้งไว้ใน #23 นะครับ จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 09:43:17

ความคิดเห็นที่ 55 #36 ตามโคชี่ ที่จขกทยกมา 1+[1/(ซิกม่า I)|Iคือจำนวนนับ]=1 =1.000...1=1=0.999... แต่จะเท่ากับเศษที่เหลอจากการตั้งหารยาวด้วย3 นครั้งไหน หรือ ป่าว อันนั้นเป็นประเดนของผม #44 "จำนวนจริงที่มากที่สุดแต่น้อยกว่า..." ทำไมถึงไม่นิยาม ถ้านิยามแล้วจำนวนจริงจะเสียคุณสมบัติของจำนวนจริงไปเหรอ ? จำนวนจริงที่น้อยที่สุดแต่มากกว่า ผมก็สงสัยเหมือนกัน เค้านิยามอยู่ในคลาสเดียวกัน และบอกว่ามันเท่ากันไป (อ้อ เค้าบอกว่ามีประโยชน์มาก เมื่อใช้กับจำนวนเนียนทศ้ำเนี่ยะแหละ) แล้วจำเนียนจริง ของผม จุดถัดไปที่อยู่ข้างๆ0 ที่ผมต้องผ่านทุกๆครั้ง เวลาจะเคลื่อนที่ ไปในมิติจักรวาลต่อเนื่องนี่ ก็เลยไม่มีจริงไปซะงั้น แก้ไขเมื่อ 22 ก.ย. 54 09:54:56 จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 09:51:01

ความคิดเห็นที่ 56 #42 เรื่องลิมิตนี่ ผมก็สงสัย พิสูจน์ไวว่า lim inf    1 / n cis n =0 หรือถ้าไปถึงการใช้เอปซีลอน ผมมันน่าจะเท่ากับ เอปซีลอน ไม่ใช่0 (ขัดค้าน โคชี่ ที่จขกทยกมา) ลำดับ 1 / n cis n นี่ มันวิ่งวนรอบจุดศูนย์ไปเรื่อยๆ บนระนาบเชิงซ้อน มันน่าเชื่อกว่าลำดับ 1/n ว่าจะวิ่งไปถึง0ได้ อย่างน้อยก็ได้ข้ามไปข้ามมา (จริงๆแค่วนรอบ) ขณะที่ 1/n นี่ ไม่เคยถึงซักที แต่ก็อะนะ นิยามให้ถึง ก็ถึง สมมติ เร่งศักย์ไฟฟ้าให้ถึง inf ที่ระยะห่าง0ได้จริง ขีดบอกค่าศักย์ ให้วิ่งตาม 1/ n cis n ก็คงวิ่งมาถึง0จนได้ แต่ก็ไม่รู้ว่าเป็น inf ตัวเดียวกับที่คุยๆกันอยู่ป่าว แก้ไขเมื่อ 22 ก.ย. 54 10:12:12 จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 09:53:20

ความคิดเห็นที่ 57 ผมพูดตรงๆเลยนะครับ ตามความเข้าใจของผม นิยาม เอปซีลอน นี่ เหมือนเป็นการนิยามหนีปัญหาไป ปัญหาระดับจุดกำเนิด จักรวาลเลยนะครับ ทำให้ฟิสิกส์ มีปัญหาค่าอนันต์ กับการมีขนาดเป็นจุด จริงๆ ดูที่ลำดับ 1/n ก็จะเห็นบางอย่างว่า ความเล็กที่สุดนี่ มัน ยังมีพื้นที่ช่องว่างมากมาย พุทธบอกว่าเป็นอจิณไตย ความนัยก็คือ ใช้คณิตอธิบายไม่ได้ ปัญหาฟิสิกส์จริงที่ว่า ผมเขียนไป2ครั้งแล้วในกระทู้นี้ จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 10:03:20

ความคิดเห็นที่ 58 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ไม่เห็นมี lim เขียนเอาไว้เลย  แล้วทำไมคนจึงยอมรับว่าค่าของมันเท่ากับ 2 เพราะเขาได้ตกลงกันเอาไว้แล้วว่า  lim (1+1/2+1/4+...+1/2n ) = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...    นั่นเองครับ                                              n-->ฅ กล่าวคือเราสามารถเขียนแทน   lim (1+1/2+1/4+...+1/2n ) ด้วย  1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...  ได้                                          n-->ฅ เมื่อได้ว่า lim (1+1/2+1/4+...+1/2n ) = 2  เราก็ย่อมเข้าใจว่า 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2 ด้วยเช่นกัน            n-->ฅ ในทางกลับกัน ถ้ามีการยก  1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...   ขึ้นมา  เราก็ย่อมเข้าใจว่ามันหมายถึง  lim (1+1/2+1/4+...+1/2n ) นั่นเอง                                                                                                                            n-->ฅ ทีนี้ถ้ามีคนยก 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... ขึ้นมาบ้างล่ะ  ?? จากข้อตกลงที่ได้กำหนดไว้ก็จะได้ว่า    9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... = lim(9/10 + 9/100 +9/1000+...+9/10n )                                                                                                 n-->ฅ และเนื่องจาก lim(9/10 + 9/100 +9/1000+...+9/10n ) = 1 ก็จะได้ว่า 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... = 1                  n-->ฅ ทีนี้ลองพิจารณาดูเราจะเห็นว่า    9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...  = 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... และ   0.9 + 0.09 + 0.009 + ...  = 0.999...   (ตรงนี้ถ้าใครไม่เชื่อว่า 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... = 0.999... ผมก็จนปัญญาจะอธิบาย) ก็จะได้ว่า  9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...   = 0.999... ดังนั้นถ้ามีการยก 0.999... ขึ้นมา    มันก็มีค่าเท่ากับการยก 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... ขึ้นมาเช่นกัน ถ้าถามว่า 0.999... มีค่าเท่าไหร่  คำตอบก็คือมันเท่ากับ  9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...   ไงล่ะ ! ซึ่ง 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...  = 1   ดังนั้น 0.999... = 1 จะเห็นว่า แม้0.999...จะไม่มีเครื่องหมายlimกำกับไว้  แต่ความหมายแฝงของมันก็คือค่าของlimนั่นเอง ตรงนี้อาจมีคนสงสัยว่า ถ้าเป็นแบบนี้แล้วมันเกิดข้อขัดแย้งขึ้นมาหรือเปล่า เพราะเราได้ว่าจำนวนสองจำนวนที่รูปแบบการเขียนไม่เหมือนกันดันมีค่าเท่ากัน เหมือนกับมาบอกว่า  1 = 2      แบบนี้ก็เชื่อไม่ได้น่ะสิ ต้องเข้าใจว่า แม้จะมีรูปแบบการเขียนไม่เหมือนกัน ก็ไม่ได้แปลว่าค่าไม่เท่ากันเสมอไป อย่างที่ผมได้ยกตัวอย่างไว้แล้วว่า 1/2 = 2/4 แม้จะมีรูปแบบการเขียนไม่เหมือนกัน ดังนั้นการได้ว่า 0.999... = 1 ก็ไม่ใช่ข้อขัดแย้ง อาจจะมองว่าเป็นปัญหาโลกแตกที่เราไม่สามารถสร้างระบบการแทนตัวเลขต่างๆให้มีความuniqueทางสัญลักษณ์ได้ ระบบเศษส่วนก็เจอปัญหา 1/2 = 2/4 =3/6 ฯลฯ   ระบบเลขทศนิยมก็เจอปัญหา 0.999... = 1  , 1.999... = 2 เป็นต้น ระบบเลขฐานสองก็เจอปัญหา 0.111... = 1 อีกเหมือนกัน จากคุณ : อิอิคุง เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 13:20:42

ความคิดเห็นที่ 59 งี้ 1/inf ก็เท่ากับ 0 สิครับ เพราะ lim (1/inf) = 0 (inf ในที่นี้หมายถึง จำนวนที่มากมายมหาศาลอย่างเช่น ผลบวกของจำนวนนับ) แก้ไขเมื่อ 22 ก.ย. 54 14:05:16 จากคุณ : annalog เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 13:44:38

ความคิดเห็นที่ 60 คคห. 59 ผมเข้าใจว่า 1/ฅ ไม่มีความหมาย เพราะ ฅ ไม่ใช่สิ่งที่จะเอามาคำนวณได้ แต่ที่ lim (1/x) = 0 เป็นเพราะทฤษฎีบท ซึ่งอธิบายพฤติกรรมของฟังก์ชัน f(x) = 1/x ได้ว่า      x->ฅ ถ้า x มีค่าเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด แล้ว f(x) จะมีพฤติกรรมลู่เข้าสู่ 0 ครับ แก้ไขเมื่อ 22 ก.ย. 54 14:31:52 จากคุณ : TIYHz เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 14:31:10

ความคิดเห็นที่ 61 แตกประเด็นจาก คคห. 58 จากคุณ : TIYHz เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 14:45:26

ความคิดเห็นที่ 62 จาก 61 1/inf ก็ต้องมีความหมายสิครับ ไม่งั้นมันจะบวกกันได้1ได้อย่างไรถ้าไม่บวก 1/inf ไปด้วย แล้ว จากคุณ : annalog เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 15:07:26

ความคิดเห็นที่ 63 อ๊ะ... ขยายความสักนิด ผมเข้าใจว่า การเขียนสมการ 1/ฅ = 0 ไม่ถูกต้องในทางคณิตศาสตร์ รวมถึงสมการอื่นๆ ด้วย เช่น 1/0 = ฑฅ, ฅ + 1 =ฅ ฯลฯ ========== โดยทั่วไป lim f(x) = f(a) เมื่อ f มีความต่อเนื่องที่จุด x = a และ a เป็นจำนวนจริง               x->a เช่น lim (1/x) = f(1) = 1/1 = 1 เพราะ f มีความต่อเนื่องที่จุด x = 1 และ 1 เป็นจำนวนจริง       x->1 แต่ lim (1/x) = 0 ตามทฤษฎีบทอันหนึ่ง      x->ฅ เราจะไม่เขียนว่า lim (1/x) =  f(ฅ) = 1/ฅ = 0                        x->ฅ และ เราจะไม่เขียนว่า lim (1/x) = f(0) = 1/0 = ฅ                              x->0+ แต่เราจะไปใช้ทฤษฎีบทว่า ถ้า lim 1/f(x) = 0 แล้ว lim f(x) = ฅ ครับ                                         x->0+                  x->0+ ทั้งนี้และทั้งนั้น เราสามารถใช้สมการที่ผมยกมาตอนแรกๆ ช่วยในการเข้าใจและการจำ แต่แก่นแท้ของมันจริงๆ ก็คือทฤษฎีบท limit นั่นเองครับ ========== รูปใน คคห. 62 ฝั่งซ้ายของอสมการและสมการน่าจะแทน n ด้วย ฅ แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย น ในอสมการเป็นเครื่องหมาย = ก็จะไม่มีอะไรขัดแย้งกันแล้วครับ แก้ไขเมื่อ 22 ก.ย. 54 15:47:16 แก้ไขเมื่อ 22 ก.ย. 54 15:46:47 จากคุณ : TIYHz เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 15:39:48

ความคิดเห็นที่ 64 ถ้าอย่างนั้น 1/ซิกม่าของจำนวนนับ = ลิมิตของ 1/ซิกม่าของจำนวนนับ = 0 1/ซิกม่าของจำนวนนับ = 0 1 = 0xซิกม่าของจำนวนนับเหรอครับ ? ส่วนถ้าใครสงสัยว่า 0.999... เกี่ยวไรกับที่ผมถาม ก็เพราะผมคิดว่า 0.999... + 1/ซิกม่าi = 1 ครับ แก้ไขเมื่อ 22 ก.ย. 54 16:09:53 แก้ไขเมื่อ 22 ก.ย. 54 15:55:41 จากคุณ : annalog เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 15:51:17

ความคิดเห็นที่ 65 ๅi [i = 1 to i = n] = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2 1/ๅi [i = 1 to i = n] = 2/[n(n + 1)] 1/ๅi [i = 1 to i = ฅ] = lim (1/ๅi [i = 1 to i = n])   n->ฅ = lim 2/[n(n + 1)]   n->ฅ = lim (2/n2)/(1 + 1/n])   n->ฅ = 0/(1 + 0) = 0 1/ๅi [i = 1 to i = n] = 2/[n(n + 1)] น 0 แต่... lim (1/ๅi [i = 1 to i = n]) = 0 น 1/ๅi [i = 1 to i = n] n->ฅ และ โดยทั่วไป ๅ [i = 1 to i = n] f(n) น lim n->ฅ (ๅ [i = 1 to i = n] f(n)) แก้ไขเมื่อ 22 ก.ย. 54 16:08:34 แก้ไขเมื่อ 22 ก.ย. 54 16:07:29 จากคุณ : TIYHz เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 16:00:19

ความคิดเห็นที่ 66 #58 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ไม่เห็นมี lim เขียนเอาไว้เลย  แล้วทำไมคนจึงยอมรับว่าค่าของมันเท่ากับ 2 ผมว่ายอมรับโดยนิยามนะครับ ซึ่งถ้าข้ามเรื่องนิยามไป ผมว่าผลจะออกมาเช่นเดียวกันกับกระทู้ต้นเรื่อง จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 17:27:37

ความคิดเห็นที่ 67 #61 เป็นการพิสูจน์ได้อย่างชัดเจนว่าไม่เท่า เพราะจะมีเศษเป็น 1/2 ^ n อยู่เสมอ แก้ไขเมื่อ 22 ก.ย. 54 17:30:10 จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 17:29:47

ความคิดเห็นที่ 68 #63 แต่เราจะไปใช้ทฤษฎีบทว่า ถ้า lim  ... เป็นข้อความที่ดีที่สุดอันหนึ่งในตำนาน ซึ่งผมเขียนย่อได้เป็น 1/0+  = +inf #60 1/+inf  = 0      ;(0+) มี2ประเดนคือ ผมแปลความได้เป็น เมื่อ xเข้าใกล้ +inf 1/x เข้าใกล้ 0 (ซึ่งแปลว่ามากกว่า0) 2 ถ้าคุณ TIYHz  ได้เคยพิจจารณา การตั้งหารยาวด้วย3 ถามว่า เศษจะเป็น0ที่ครั้งไหน ตอบแบบลิมิต เมื่อกี้ คือ เศษใกล้0 เมื่อหารครั้งที่ใกล้ +inf ถ้าจะบอกว่าเท่าที่ ครั้งที่ +inf 1 ผมว่ามันไม่รัดกุม 2 ผมว่ามันรวบรัด (มั่ว) เกินไป รบกวนมาช่วยปิดตำนานด้วย จักเป็นพระคุณอย่างยิ่ง แก้ไขเมื่อ 22 ก.ย. 54 17:46:57 แก้ไขเมื่อ 22 ก.ย. 54 17:46:23 จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 17:42:42

ความคิดเห็นที่ 69 ขยายความ #58 นิดนึง ที่ว่า=2 มันมีการใช้ lim 1/2^n  =0 ไปแล้ว จะบอกว่า อนุกรมนั้น ไม่ได้ใช้ลิมิต ให้ได้ค่า2 มันคงจะไม่ใช่ จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 17:52:03

ความคิดเห็นที่ 70 1/3 หารไปเรื่อยๆ ยังไงเศษก็ไม่เป็นศูนย์ครับ... ป.ล. ผมเข้าใจคำถามและประเด็นที่อยากให้ตอบผิดไป ขออภัยครับ แก้ไขเมื่อ 22 ก.ย. 54 18:08:56 จากคุณ : TIYHz เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 18:04:17

ความคิดเห็นที่ 71 ไงๆกระทู้นี้ก็น่าจะสมใจ จขกท. แล้วล่ะ ที่อยากเห็นคนเถียงกัน เอ๊ย ถกกันด้วยเหตุผล ใช่มะ ? จากคุณ : annalog เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 18:12:36

ความคิดเห็นที่ 72 ด้วยความสัจ cis นี่คือ component จาก polar coordinate รึป่าวคับ ผมงงจริงๆ ละ ตอนนี้ ผมมองว่าการที่แต่ละคนแสดงเหตุผลของแนวคิดตัวเองออกมา เหตุผลของผมก็อาจจะมีจุดบกพร่อง เหตุผลของคุณก็อาจจะมีจุดบกพร่อง แต่ก็จะมีคนช่วยชี้จุดบกพร่องให้ คิดในแง่ดีก็เหมือนการช่วยกันปะรูรั่วให้เรือหลายๆ ลำ ไปถึงฝั่งกันได้ ดังนั้นผมขอขอบคุณทุกๆ คอมเมนต์ที่ช่วยกันชี้แนะจุดบกพร่องในเหตุผลของแต่ละคนด้วยคับ จากคุณ : ชโรนนท์ เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 20:01:39

ความคิดเห็นที่ 73 cis (zeta) = cos(zeta) + i.sin(zeta) จากคุณ : Santa_Baby เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 21:51:25

ความคิดเห็นที่ 74 ก่อนอื่นต้องเข้าใจสัญลักษณ์ต่างๆและใช้ให้ถูกต้องตามความหมายกันก่อน 1/ฅ  ไม่มีความหมายใดทางคณิตศาสตร์  ไม่ต่างจากการที่คุณวาปรูปแมวมาตัวนึงโดยไม่กำหนดอะไรเพิ่มเติมแล้วถามว่า  "(รูป)แมวมันเท่ากับ0หรือเปล่า?" แต่ถ้าคุณบอกว่า lim 1/n แทนล่ะก็ ตอบได้ทันทีว่าเท่ากับ0แน่นอน                      n-->ฅ เหตุใด 1/ฅ จึงไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์ ??? ลองมาดูสมการต่อไปนี้ lim n = ฅ n-->ฅ lim n = ฅ n-->ฅ lim 1/(1-n) =  ฅ   ; ลิมิตทางซ้าย n-->1 จะเห็นว่ามีลิมิตมากมายที่ให้คำตอบแก่เราว่า = ฅ   ( ซึ่งเครื่องหมาย = ฅ  หมายความว่า หาค่าไม่ได้  ) แล้วถ้าจู่ๆ เรายกเครื่องหมาย ฅ ขึ้นมาลอยๆ ก็คงไม่มีใครตอบได้ว่าเจ้า ฅ ตัวนี้มันมาจากการหา lim ตัวไหน   ดังนั้นเขาจึงไม่ถือว่าฅ เป็นตัวเลขที่จะจับไปบวกลบคูณหารตามปกติได้นั่นเอง เพื่อความเข้าใจมากขึ้นลองดูตัวอย่างต่อไปนี้ 1/ฅ    =   0  <<<< ผิด lim 1/n = 0  <<<< ถูก n-->ฅ lim 1/n = 1/ฅ = 0  <<<< ผิด (ดันรู้ดีมาเขียน =1/ฅ) n-->ฅ lim(n+1) = ฅ  <<<< ถูก n-->ฅ 1+2+3+... = ฅ   <<<< ถูก lim (1+2+3+...+n) = ฅ  <<<< ถูก n-->ฅ lim [1/(1+2+3+...+n)] = 0  <<<< ถูก n-->ฅ 1/(1+2+3+...) = 0  <<<< ผิด 1/[ lim(1+2+3+...+n) ] = 0  <<<< ผิด     n-->ฅ lim [1/(1+2+3+...+n)] = 1/[ lim(1+2+3+...+n) ]  <<<< ผิด n-->ฅ                                             n-->ฅ ปล. [ลิมิตของผลหาร]มีค่าเท่ากับ[ผลหารของลิมิต] "ก็ต่อเมื่อ" ลิมิตของตัวเศษหาค่าได้ และลิมิตของตัวส่วนหาค่าได้และไม่เท่ากับ0 นั่นคือ lim {f(x)/g(x)} = [lim f(x)] / [lim g(x)] "ก็ต่อเมื่อ" lim f(x) และ lim g(x) หาค่าได้ และ lim g(x) น 0 x-->ฅ                       x-->ฅ           x-->ฅ                     x-->ฅ           x-->ฅ                       x-->ฅ จากคุณ : อิอิคุง เขียนเมื่อ : 22 ก.ย. 54 23:39:16

ความคิดเห็นที่ 75 #74 เศษจากการตั้งหารยาวด้วย3 ท่าน คิดว่า ค่ามันเป็น0 หรือ มีลิมิต เป็น0อะครับ จากท่อนแรกไป ผมเห็นด้วยว่า เอา inf มาใช้ป่าวๆไม่ได้ ก็มีครั้งที่ inf ไม่ได้ ซึ่งทำให้เศษเท่ากับ0ไม่ได้ ฝ่ายที่บอกว่าเท่า ควรจะเป็นคนมาบอกว่า ไม่ใช้ inf และถ้า ลิมิต ก็ไม่ใช่ แล้วมันเท่ายังไง มันพิสูจน์ ด้วยอุปนัยได้ด้วยซ้ำว่า 0.1^n >0 แบบการคิดปกติทั่วๆไป เพียงแต่อุปนัยมันจำกัดที่ n<+inf ขอแก้ไขหน่อย  (ขอเพิ่มตรง |..| ) 0.1^+infInt   = 0+  >0 |0.1^+infFloat|   = 0+  >0 1/ +inf x =0+   >0       เสริม >0 นี่ เป็นประเดนว่า ควรเป็น >=0 ก่อน ยังไม่ได้มีฟอร์มที่แน่ชัดมาชี้ว่า > หรือ = จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 23 ก.ย. 54 09:23:14

ความคิดเห็นที่ 76 แล้ว 0.999... + 1/(1+2+3+...) = 1 ได้ไหมครับ ? จากคุณ : annalog เขียนเมื่อ : 23 ก.ย. 54 11:59:13

ความคิดเห็นที่ 77 #76 จาก #74 1+2+3+... = ฅ 1/(1+2+3+...) = 0  <<<< ผิด เพราะ การเขียน 1/ฅ  ไม่นิยาม จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 23 ก.ย. 54 14:43:11

ความคิดเห็นที่ 78 ก็แปลกดีนะครับ 1/inf ไม่นิยาม แต่ 0.999... กลับนิยาม ทั้งๆที่น่าจะเป็นเรื่องเดียวกันแท้ๆ จากคุณ : annalog เขียนเมื่อ : 23 ก.ย. 54 14:45:56

ความคิดเห็นที่ 79 คุณannalog ผมได้ยกตัวอย่างไว้แล้วว่า 1/(1+2+3+...) = 0  <<<< ผิด นั่นก็หมายความว่า 0.999... + 1/(1+2+3+...) = 1   ก็ผิดด้วยเช่นกัน ถ้าจะให้ถูกต้องควรเขียน 0.999... + lim [1/(1+2+3+...+n)] = 1  แบบนี้ถึงจะถูก  ( ซึ่งlim [1/(1+2+3+...+n)]  = 0 )               n-->ฅ                                                             n-->ฅ แต่ถ้าให้มันสอดคล้องกันจริงๆควรเขียน 0.999... + lim (1/10n) = 1 แบบนี้จะเหมาะกว่า ( ซึ่งค่าของ lim (1/10n) = 0 อีกเช่นกัน )               n-->ฅ                                                          n-->ฅ --------------------------------------------------------------------- คุณaLITTLEspaceAround7day ส่วนเศษที่ได้จากการหารยาวด้วย 3 ผมเข้าใจว่าหมายถึง ตั้ง1หารยาวด้วย3ใช่ไหมครับ ถ้าพูดถึงเศษเหลือที่ได้จากการหาร1ด้วย3ล่ะก็  คำตอบคือ 1   (1 mod 3 = 1) แต่ถ้าหมายถึงตัวเลขหลังทศนิยมมันก็ได้ 0.333... ไงครับ   ถ้าตอบผิดไปก็ต้องขออภัย  พูดตามตรงผมอ่านcommentของคุณaLITTLEspaceAround7day ไม่เข้าใจเลย จากคุณ : อิอิคุง เขียนเมื่อ : 23 ก.ย. 54 15:09:28

ความคิดเห็นที่ 80 ก็แปลกดีนะครับ 1/inf ไม่นิยาม แต่ 0.999... กลับนิยาม ทั้งๆที่น่าจะเป็นเรื่องเดียวกันแท้ๆ ^ ^ ความเห็น58 กับความเห็น74 ได้อธิบายข้อสงสัยของคุณไว้อย่างละเอียดแล้วครับ อยากให้ลองอ่านประกอบกันให้ครบถ้วนกระบวนความแล้วทำความเข้าใจดู จากคุณ : อิอิคุง เขียนเมื่อ : 23 ก.ย. 54 15:14:28

ความคิดเห็นที่ 81 #79 ตั้ง1หารยาวด้วย3 ใช่ครับ ประเดน ของการตั้งหารยาวคือ ค่าที่เขียนด้านบน 0.3333333 จะไม่เท่ากับ 1/3 ตราบเท่าที่หารไม่เสร็จ (เหลือเศษ) ใช้อุปนัยก็ได้ เศษ=0.1^n ซึ่งจะมากกว่า0เสมอ  ; n < +inf มีวิธี อธิบายว่า เศษเป็นได้ โดยไม่ใช้ลิมิต หรือ inf หรือเปล่า สาเหตุที่ไม่ใช้ ลิมิต   หรือ ประเดนอื่นๆ สอบถามรายละเอียด มาได้เรื่อยๆนะครับ ปล.เสา อาทิตย์อาจจะไม่ได้เข้มาเล่นนะครับ แต่ยังติดตามตำนานนี้อยู่ แน่นอน #78 ไม่เชิงว่า ไม่นิยามนะครับ แต่การเขียน 0.999... เค้ามีความหมาย การนิยามที่รัดกุมกว่า ปปล. ก็เคยมีอีกท่านตั้งข้อสังเกต ไว้แบบเดียวกันว่า ทศนิยมซ้ำนี่ เห็นสัญลักษณ์ มาจากการตั้งหารยาว ประเดน คือ 1/3  เท่ากับ  หรือ มากกว่า 0.333... เป็น สัญลักษณ์ 0.333... ที่เขียนตอนตั้งหารยาว (ไม่ได้เขียนตามนิยามลิมิต) คำถาม เศษจากการตั้งหารยาวด้วย3 ท่าน คิดว่า ค่ามันเป็น0 หรือ มีลิมิต เป็น0อะครับ อย่างที่บอกว่า ใช้อุปนัยพิสูจน์ได้ว่า >0 ตามปกติ แต่ครั้งที่ +inf อาจจะดูผิดปกติซักหน่อย ถ้าใครจะบอกว่าเศษเป็น0ได้ ต้องเสนอ คำอธิบายที่รัดกุมมา จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 23 ก.ย. 54 17:42:25

ความคิดเห็นที่ 82 1/3 ได้เศษ 1 ครับ 1/3 เท่ากับ 0.333... ส่วนตัวเลขที่อยู่ด้านบนของการหารยาว 1 ด้วย 3 จนถึงการหารครั้งสุดท้าย ซึ่งไม่มี ดังนั้นไม่ว่าจะไปหยุดที่ครั้งที่เท่าไหร่ ก็จะได้ 0.33333...3 เหลือเศษ 1 เอาไปหารต่อไป ดังนั้นเพื่อจะได้ไปทำอย่างอื่นไม่ต้องมัวแต่มานั่งหารเพราะรู้ว่ายังไงมันก็จะได้ 3 และเหลือเศษ 1 ไปหารต่ออยู่ดี จึงเีขียนคำตอบออกมาเลยว่า 0.333... ปล. หยุดหารเมื่อไหร่ ก็ไม่ใช่ inf จากคุณ : Santa_Baby เขียนเมื่อ : 23 ก.ย. 54 20:36:33

ความคิดเห็นที่ 83 0.333... ถูกต้องตามหลักคณิตศาสตร์ แต่ 0.1^inf กลับไม่นิยาม ทั้งๆที่เป็นเศษของ 1/3 แท้ๆ จากคุณ : annalog เขียนเมื่อ : 23 ก.ย. 54 21:04:10

ความคิดเห็นที่ 84 ช่วยอธิบายหน่อยครับว่าทำไม 0.1^inf จึงเป็นเศษของ1/3 ที่ผมเคยร่ำเรียนมา รู้แต่ว่าเศษของ1/3คือ1เท่านั้นเอง ส่วนที่0.1^infไม่นิยาม   เพราะเขียนผิดหลักการครับ เครื่องหมายinfไม่ใช่สัญลักษณ์ที่ใช้เป็นตัวแปร และไม่ใช่จำนวน เหมือนคุณเอา1ไปยกกำลังเครื่องหมายซัมเมชั่นแล้วถามว่า 1ๅ มีค่าเท่าไหร่   แน่นอน.... จะมีแต่คนตอบว่า "มันไม่นิยาม" เพราะ ๅ เป็นสัญลักษณ์ที่มีความหมายเฉพาะตัว ไม่ใช้แทนจำนวน หรือตัวแปรใดๆ แต่ถ้าคุณบอกว่า inf หมายถึงจำนวนที่มากที่สุด  ก็ยิ่งไม่นิยามเข้าไปใหญ่   เพราะจำนวนที่ว่านั่นไม่มีอยู่ในโลกของคณิตศาสตร์ครับ สัญญลักษณ์ ฅ ใช้แทนค่าของลิมิตที่หาค่าไม่ได้เท่านั้นเอง ซึ่งโดยทั่วไป สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคำว่า"หาค่าไม่ได้"ของลิมิตจะมีอยู่2ตัวคือ ฅและ -ฅ อยู่ที่ว่ามันเป็นการหาค่าไม่ได้ในลักษณะไหน ส่วนสัญลักษณ์ ฅ ที่อยู่ตรงลูกศรใต้คำว่าลิมิตก็มีนิยามของตัวมันเองอีกแบบ จากคุณ : อิอิคุง เขียนเมื่อ : 23 ก.ย. 54 22:08:01

ความคิดเห็นที่ 85 ลืมบอกไปว่า เรายอมรับให้"ความเป็นอนันต์"มีบทบาทในคณิตศาสตร์ได้ ตัวอย่างก็มีให้เห็นมากมายในกระทู้นี้เช่น 0.333... , 0.999... , 1+1/2+1/4+1/8+..., ฯลฯ แต่จะไม่ยอมรับ"ความเป็นอนันต์"ในฐานะของ"จำนวน" แก้ไขเมื่อ 23 ก.ย. 54 23:05:02 จากคุณ : อิอิคุง เขียนเมื่อ : 23 ก.ย. 54 23:02:49

ความคิดเห็นที่ 86 สำหรับลิมิตประเภทที่หาค่าไม่ได้เพราะค่ามากไปอย่างไม่สิ้นสุดนั้นเราจะใช้เครื่องหมาย  = ฅ  เพื่อให้มันสื่อความหมาย แต่ก็มีข้อเสียที่ทำให้คนเข้าใจผิดไปว่า ฅ เป็นจำนวน เพราะสิ่งที่อยู่ด้านซ้ายของเครื่องหมาย = มักจะเป็นจำนวน หรือไม่ก็ตัวแปร(ซึ่งใช้แทนจำนวน) นี่คือเหตุที่ทำให้คนมักเข้าใจว่า ฅ เป็นจำนวน จากคุณ : อิอิคุง เขียนเมื่อ : 23 ก.ย. 54 23:14:56

ความคิดเห็นที่ 87 1/3 = 0.333 + 0.001/3 ผมเรียก 0.001 ว่าเศษครับ ไม่ทราบว่า อิอิคุง เรียกว่าอะไร จากคุณ : annalog เขียนเมื่อ : 24 ก.ย. 54 01:35:44

ความคิดเห็นที่ 88 ก่อนหน้านี้ผมใช้ผลรวมของจำนวนนับเพื่อสื่อถึงจำนวนที่มากมายมหาศาล แต่เขียนไปหลายความคิดเห็นแล้วนึกว่าจะเข้าใจตรงกันเลยใช้ inf แทน  ขอโทษด้วยครับที่มันไม่ถูกต้องตามหลักคณิตศาสตร์อีกแล้ว คุณหาร 1 ด้วย 3 ไปกี่ครั้ง ก็จะมีเศษ 0.1^จำนวนครั้งที่หาร ไปทุกครั้ง ที่ คคห. 85 คุณบอกว่า 0.333.... เป็นอนันต์ก็แปลว่าคุณหาร 1 ด้วย 3 เป็นจำนวนอนันต์ครั้ง ผมก็เข้าใจว่า ได้เศษ 0.1^อนันต์ หรือ 0.1^ผลรวมของจำนวนนับ ได้มั้ยครับ แก้ไขเมื่อ 24 ก.ย. 54 01:50:54 จากคุณ : annalog เขียนเมื่อ : 24 ก.ย. 54 01:49:51

ความคิดเห็นที่ 89 1/3 = 0.333 + 0.001/3 0.001 ที่ได้จากสมการข้างต้นไม่มีชื่อเรียกเฉพาะนะครับ แต่ถ้าคุณannalog เรียกว่าเศษ ผมก็จะถือเป็นข้อตกลงร่วมกันว่าถ้าคุณ annalog พูดถึงเศษเมื่อไหร่ก็ให้หมายถึง 0.001 ละกันครับ --------------------------------------------------------------------------------- ที่ คคห. 85 คุณบอกว่า 0.333.... เป็นอนันต์ก็แปลว่าคุณหาร 1 ด้วย 3 เป็นจำนวนอนันต์ครั้ง ผมก็เข้าใจว่า ได้เศษ 0.1^อนันต์ หรือ 0.1^ผลรวมของจำนวนนับ ได้มั้ยครับ ^ ^ เพื่อเข้าใจความหมายที่ถูกต้องและตรงกันทั้งสองฝ่ายคุณควรเขียนในรูปลิมิตของฟังก์ชันจะปลอดภัยกว่าครับ เช่น 0.333... = 0.333... + lim[0.1n/3]  เป็นต้น  ซึ่งสมการนี้ถูกต้องครับ                                     n-->ฅ แก้ไขเมื่อ 24 ก.ย. 54 02:12:50 จากคุณ : อิอิคุง เขียนเมื่อ : 24 ก.ย. 54 02:10:54

ความคิดเห็นที่ 90 เข้าถึงไม้ตาย ฝากเคล็ค 3คำไว้ก่อน หารสามยาว ไม่สิ้นสุด เศษเหลือเสมอ หรือ 1 = 3 * 0.333... +1/10/10/10... วิชานี้ใช้พิชิต ลิมิต inf โดยเฉพาะ จะไม่มีการนิยามเรื่อลิมิต เพิ่มขึ้นจากการหาร และคิดว่านี่รัดกุมเพียงพอ ลองเขียนการตั้งหารด้วย3ดู จะได้สัญลักษณ์นี้มาคือ 0.333... ซึ่งแปลความง่ายๆว่า มี3 ยาวไปเรื่อยๆ ไม่สิ้นสุด หารยาวแล้ว มันก็ต้องได้  1/3 = 0.333... ซิ ไม่ใช่ครับ จะเท่ากับ ก็เมื่อ การหารเสร็จสิ้น คือ เศษเป็น0 เท่านั้น จะเห็นได้ว่า สัญลักษณ์นี้ 0.333... มีการเขียนขึ้นจริง ทั้งที่การหาร ไม่เสร็จสิ้น คือ เหลือ เศษ เสมอ หรือ 1/10/10/10... เขียน /10 ไปเรื่อยๆ ไม่สิ้นสุด มีเศษ>0เสมอ #85 ลืมบอกไปว่า เรายอมรับให้"ความเป็นอนันต์"มีบทบาทในคณิตศาสตร์ได้ (ด้วยการใช้ลิมิต) ในกระบวนท่าของผม ใช้ ไปเรื่อยๆ ไม่สิ้นสุด แทน เด๋วมีเวลาแล้วจะมาตามต่อนะครับ เพิ่ม หลายๆอันที่ผมเขียน cis หมุนงงเองไปเอง โดยไม่จำเป็น ขอทิ้งไปก่อน แก้ไขเมื่อ 24 ก.ย. 54 13:16:13 จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 24 ก.ย. 54 13:04:03

ความคิดเห็นที่ 91 #89 จะใช้ลิมิต ไม่ได้ เป็นคนละสายทางกัน อาจจะทำให้ลมปราณแตกซ่านได้ ผมใช้ ไปเรื่อยๆ ไม่สิ้นสุด แทน #90 พยายามใช้ตรรกะลงรายละเอียดแล้ว ฝากรบกวนชี้แนะด้วยว่า บรรทัดไหนผิด #82 เพราะคำว่า หารสามยาว ไม่สิ้นสุด นี่แหละครับ มันไม่สิ้นสุด จึง แสดงว่า มีเศษเสมอ และค่าไม่เท่ากับ ขณะที่สัญลักษณ์ 0.333... นั้นเขียนไว้ถูกต้องแล้ว คือ มี3 ยาวไปเรื่อยๆ ไม่สิ้นสุด ดูจะเป็นพาราด็อกซ์นิดๆ รบกวนชี้แนะด้วย จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 24 ก.ย. 54 13:12:42

ความคิดเห็นที่ 92 สรุป คือ คือ สัญลักษณ์นี้ 0.333... ได้เขียนไว้ถูกต้องตามนี้แล้ว แต่ คำว่า ไม่สิ้นสุด ทำให้ สัญลักษณ์นี้ มันน้อยกว่า 1/3 จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 24 ก.ย. 54 13:17:01

ความคิดเห็นที่ 93 สมมติว่าตั้ง a  หารด้วย b   ; a และ b เป็นจำนวนเต็ม การตั้งหารยาวมีจุดประสงค์เพื่อเขียนa/bให้อยู่ในรูปทศนิยม วิธีการหารยาวคนส่วนใหญ่มักเข้าใจไปว่าเงื่อนไขที่ทำให้เราหยุดหารคือได้เศษเป็นศูนย์ ซึ่งเป็นความเข้าใจผิด     ความจริงแล้วเงื่อนไขที่ทำให้เราหยุดหารคือการเจอทศนิยมซ้ำต่างหาก !!     และเมื่อเจอทศนิยมซ้ำแล้ว  ตัวเลขที่อยู่บนเครื่องหมายหารยาวก็คือตัวเลขในระบบทศนิยมที่มีค่าเท่ากับ a/b เพราะจำนวนตรรกยะทุกจำนวนเมื่อเขียนในรูปทศนิยมแล้วต้องเป็นทศนิยมซ้ำนั่นเอง ถ้าคุณตั้ง1 หารด้วย 3 ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็น 0.333...      ที่คุณหยุดหารนั้นก็เพราะคุณเจอทศนิยมซ้ำ  (3ซ้ำไปเรื่อยๆ)   และสรุปได้ว่า 0.333... คือตัวเลขในระบบทศนิยมที่มีค่าเท่ากับ1/3 ในทำนองเดียวกัน ถ้าคุณตั้ง 1 หารด้วย 2 ได้ผลลัพธ์เป็น0.5   ที่คุณหยุดหารนั้นก็เพราะคุณเจอทศนิยมซ้ำเช่นเดียวกัน    ( 0 ซ้ำไปเรื่อยๆไงครับ ) ถ้าพูดให้ชัดๆก็คือ   0.5  =  0.5000...  นั่นเอง และสรุปได้ว่า 0.5000... คือตัวเลขในระบบทศนิยมที่มีค่าเท่ากับ1/2 เพียงแต่เขาจะละเว้นการเขียน 0 ซ้ำเอาไว้   คำตอบมันจึงเหลือแค่ 0.5 เท่านั้นเอง คุณไม่จำเป็นต้องรอให้เศษเป็นศูนย์  แต่รอให้เจอทศนิยมซ้ำต่างหาก แก้ไขเมื่อ 24 ก.ย. 54 15:48:41 จากคุณ : อิอิคุง เขียนเมื่อ : 24 ก.ย. 54 15:38:50

ความคิดเห็นที่ 94 วิธีการหารยาวคนส่วนใหญ่มักเข้าใจไปว่าเงื่อนไขที่ทำให้เราหยุดหารคือได้เศษเป็นศูนย์ ซึ่งเป็นความเข้าใจผิด     ความจริงแล้วเงื่อนไขที่ทำให้เราหยุดหารคือการเจอทศนิยมซ้ำต่างหาก !! ผมว่าเงื่อนไข ได้เศษเป็นศูนย์ นี่ชัดแจ้ง และรวบลัด ชัดเจนดีแล้ว ส่วน เงื่อนไข ทศนิยมซ้ำ คล้ายๆงูกินหาง จริงๆ มันตั้งอยู่บน นิยาม.. เพราะจำนวนตรรกยะทุกจำนวนเมื่อเขียนในรูปทศนิยมแล้วต้องเป็นทศนิยมซ้ำนั่นเอง ..นิยาม เรื่องลิมิตอีกที ผมเขียนชัดเจน ผมว่ามันอยู่บนคนละนิยามกัน (ใช้ลิมิต กับไม่ใช้ลิมิต) ลองตั้งหารหา sqrt 2 ดู ถ้าใช้ลิมิต (แต่ไม่ซ้ำ) เราก็จะบอกว่า sqrt 2 = 1.414... ได้ เรื่องนี้ อาจจะหลุดจาก นิยาม ทศ้ำ ของท่าน และในการตั้งหาร sqrt 2 > 1.414... ยาวไปเรื่อยๆ ไม่สิ้นสุด สรุป ประเดนของผม คือ ผมมองว่า เงื่อนไข ได้เศษเป็นศูนย์ นี่ชัดแจ้ง และรวบลัด ชัดเจนดีแล้ว ขณะที่เงื่อนไข ทศ้ำ แม้จะเป็นตามมาตรฐานคณิตโลก แต่จริงๆ ได้เพิ่มการใช้ลิมิตเข้ามา ซึ่งผมว่าซับซ้อนว่า เงื่อนไขผมเยอะ และข้อแย้งจุดที่ท่านบอก ผมยังไม่เห็น น้ำหนักเพียงพอ ที่จะรบความชัดเจนตรงนี้ ขอบคุณสำหรับจุดแย้งนี้นะครับ จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 24 ก.ย. 54 16:54:48

ความคิดเห็นที่ 95 แก้ไขเมื่อ 24 ก.ย. 54 16:57:39 จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 24 ก.ย. 54 16:56:55

ความคิดเห็นที่ 96 เพิ่มเติม นิดนึง ในตำนานเก่า ผมก็หยุด ที่นิยามตรงนี้ คือ มีคนยกนิยาม การเขียน เศษส่วนเป็น ทศ้ำ มา ซึ่งผมเข้าใจว่า มีการใช้ลิมิต จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 24 ก.ย. 54 16:57:22

ความคิดเห็นที่ 97 ขอรบกวนว่า มีข้อแย้ง ที่ไม่ได้ใช้ลิมิต หรือป่าวครับ ถ้าจะใช้ลิมิต ผมอยากตามไปดู เบื้องหลัง Class ของลำดับโคชี่ ตาม #9 นั่น มากกว่า ซับซ้อนมากมาย ขอบคุณล่วงหน้านะครับ จักเป็นพระคุณอย่างสูง จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 24 ก.ย. 54 17:07:11

ความคิดเห็นที่ 98 เรื่องการตั้งหารยาวอยากให้คุณมองเป็นข้อตกลงของคณิตศาสตร์ที่เขากำหนดขึ้นมาเพื่อไม่ให้เกิดข้อขัดแย้งตามมาภายหลัง เงื่อนไขเศษเป็น 0 เป็นเงื่อนไขที่เข้าใจง่าย รวบรัดชัดเจนอย่างที่คุณว่าก็จริงแต่มันไม่ใช่เงื่อนไขที่ถูกต้องตามที่คณิตศาสตร์กำหนด ถ้าคุณต้องการหารยาวได้โดยไม่อยากคิดซับซ้อน  คุณอาจจะยึดเงื่อนไขเศษเป็น0ในการหารเหมือนคนทั่วไปก็ได้         ไม่มีอะไรเสียหายแม้มันจะเป็นความเข้าใจผิดแต่ก็ไม่ทำให้ผลลัพธ์ผิดอะไร แต่ถ้าคุณต้องการจะบอกว่า 0.333... ไม่เท่ากับ1/3 เพราะมันยังหารไม่จบล่ะก็แปลว่าคุณใช้เหตุผลผิดพลาด  เพราะคุณใช้เงื่อนไขการหารที่ผิดนั่นเอง เงื่อนไขที่ถูกต้องคือการหารจะจบเมื่อเจอทศนิยมซ้ำ   ดังนั้น 0.333...ก็คือการหารที่เสร็จสิ้นแล้ว  และสรุปได้ว่า 0.333... = 1/3 แต่ถ้าคุณดันใช้เงื่อนไขผิด   คุณก็จะคิดว่า 0.333... ยังหารไม่จบ  เพราะเศษยังไม่เป็น 0 ก็จะพลอยทำให้คุณเข้าใจผิดไปว่า 0.333... อาจไม่เท่ากับ 1/3 ส่วนการหารsqrt(2)  นั้นไม่สามารถใช้เงื่อนไขของการตั้งหารยาวได้  เพราะsqrt(2) เป็นจำนวนอตรรกยะ  ซึ่งมันไม่สามารถเขียนในรูปทศนิยมซ้ำได้ ดังนั้นเราไม่สามารถจับจำนวนอตรรกยะมาตั้งหารยาวได้ตั้งแต่แรกอยู่แล้วครับ พูดง่ายๆก็คือไม่ได้มีการตั้งเงื่อนไขการตั้งหารยาวจำนวนอตรรกยะเอาไว้ว่าจะต้องทำยังไง นอกจากนี้จำนวนอตรรกยะยังไม่สามารถเขียนได้ในรูปทศนิยมหรือเศษส่วนได้เลย   ระบบทศนิยมกับเศษส่วนทำได้เพียงประมาณค่าของจำนวนอตรรกยะเท่านั้น ส่วนเรื่องไม่ใช้ลิมิตได้ไหม อะไรก็ตามที่เกี่ยวข้องกับความเป็นอนันต์  จะตั้งอยู่บนพื้นฐานของลิมิตเสมอครับ เขานิยามลิมิตขึ้นมาก็เพื่อรองรับเรื่องพวกนี้อยู่แล้ว ถ้าเราไม่ใช้ลิมิตกับเรื่องทำนองนี้ มันก็จะนอกเหนือข้อตกลงที่คณิตศาสตร์กำหนด   การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับความเป็นอนันต์ก็จะผิดพลาดเพราะไม่มีหลักอะไรยึดให้ทุกคนเข้าใจตรงกัน จากคุณ : อิอิคุง เขียนเมื่อ : 24 ก.ย. 54 18:02:39

ความคิดเห็นที่ 99 การเขียน 1 = 3 * 0.333... +1/10/10/10... โดยที่ ... หมายถึง ยาวไปเรื่อยๆ ไม่สิ้นสุด ผิด ตรงไหน อะครับ เสริมเรื่อง sqrt 2 มีวิธีหา [A...]= Y/X  มาจาก Y = A*X+Y' Y'=Y-AX วิธีหา[A...]= sqrt Y มาจาก Y = A*X*X+2AX +Y' Y' = Y- (A*X*X+2AX) ประมาณนี้ ไม่แน่ใจนะครับ จะมีเศษเหลือ ไปเรื่อยๆ คล้ายๆกัน จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 24 ก.ย. 54 18:30:26

ความคิดเห็นที่ 100 สองท่านนี้ debate กันมันส์จริงๆ จากคุณ : TIYHz เขียนเมื่อ : 24 ก.ย. 54 19:02:50

ความคิดเห็นที่ 101 ประเดนที่ผมข้องใจ ก็คือ ตามเงื่อนไขที่ถูกต้องตามที่คณิตศาสตร์กำหนด มันเท่ากัน เพราะกำหนดให้มันเท่ากัน หรือว่า ถ้าไม่กำหนดเรื่องลิมิต เพิ่มเข้าไป แล้วมันจะเท่ากันไหม จากคุณ : aLITTLEspaceAround7day เขียนเมื่อ : 24 ก.ย. 54 19:56:33