ให้ g: R->R โดย g(x+y)=g(x)g(y) ทุก x,y ใน R
จงแสดงว่าถ้า g ต่อเนื่องที่ 0 แล้ว g ต่อเ้นื่องบน R
หาในอากู๋แล้วเจอแต่กรณีที่ g(x+y)=g(x)+g(y) แต่ก็ไม่อยากรีบสรุปว่าโจทย์ผิด
แนวคิดของเว็บบนคือให้ e>0 แสดงว่ามี d>0 ที่ถ้า |x-0|<d แล้ว |g(x)-g(0)|<e
สำหรับจุด y ตามใจชอบใดๆ บน R ให้ |x-y|<d ดังนั้น |(x-y+0)-0|<d
นั่นคือ (มอง x-y+0 เป็นก้อนเดียว) |g(x-y+0)-g(0)|<e
ทีนี้ถ้า g(x+y)=g(x)+g(y) ก็ได้ |g(x)-g(y)+g(0)-g(0)|=|g(x)-g(y)|<e จบ
เพราะ g(x)=g(x-y+y)=g(x-y)+g(y) ดังนั้น g(x-y)=g(x)-g(y)
แต่ในกรณี g(x+y)=g(x)g(y) นี่จนปัญญาจริงๆ
g(x)=g(x+0)=g(x)g(0) ดังนั้น g(0)=1 ทำให้พจน์ -g(0) ข้างบนตัดกันเองไม่ได้แบบกรณีแรก
เพิ่มเติม: g(0)=0 ได้ ในกรณีนี้ทำให้ g(x)=0 ทุก x ใน R
แก้ไขเมื่อ 17 ต.ค. 54 21:58:13
แก้ไขเมื่อ 17 ต.ค. 54 18:26:34
แก้ไขเมื่อ 17 ต.ค. 54 18:25:10
แก้ไขเมื่อ 17 ต.ค. 54 18:22:17
ขอ(แค่)คำใบ้การบ้านเลข
เหนื่อยจับใจ