 |
กำหนดให้ A, B, a, b, c, d, n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์
สังเกตจำนวนเฉพาะบวก 2 กลุ่ม
(1) จำนวนเฉพาะที่เขียนในรูป 4n + 1 -> เขียนในรูป a2 + b2 ได้
เช่น 5 = 12 + 22, 13 = 22 + 32, 17 = 12 + 42
นอกจากนี้ยังรวม 2 = 12 + 12 อยู่ในกลุ่มนี้ด้วย
(2) จำนวนเฉพาะที่เขียนในรูป 4n + 3 -> ไม่สามารถเขียนในรูป a2 + b2 ได้
เช่น 3, 7, 11
จาก คคห. 3 สรุปเป็นสูตรว่า ถ้า A และ B เป็นจำนวนเฉพาะกลุ่มที่ (1) ซึ่งจะได้ว่า A = a2 + b2 และ B = c2 + d2 แล้ว AB = (ac + bd)2 + (ad - bc)2
สังเกตต่อไปว่า จำนวนประกอบจะเขียนในรูป a2 + b2 ได้เมื่อเลขชี้กำลังของจำนวนเฉพาะกลุ่มที่ (2) เป็นเลขคู่เท่านั้น
ต.ย.1 10 = 2 x 5 จะเห็นว่า ไม่มีตัวประกอบเฉพาะกลุ่มที่ (2) หรือก็คือเลขชี้กำลังของตัวประกอบเฉพาะกลุ่มที่ (2) ทุกตัวเป็นศูนย์ (เลขคู่)
เพราะฉะนั้น 10 จึงเขียนในรูป a2 + b2 ได้
โดยอาศัยสูตรข้างต้น จะได้ว่า 10 = 2 x 5 = (12 + 12)(12 + 22) = 12 + 32
ต.ย.2 231 = 3 x 7 x 11 >>> จะเห็นว่า มีตัวประกอบเฉพาะกลุ่มที่ 2 อย่างน้อย 1 ตัวที่มีเลขชี้กำลังไม่เป็นเลขคู่
เพราะฉะนั้น 231 จึงไม่สามารถเขียนในรูป a2 + b2 ได้
สำหรับโจทย์ข้อนี้ จำนวนใดๆ จะเป็นคำตอบได้เมื่อกำลังสองของจำนวนนั้นสามารถเขียนในรูป a2 + b2 โดยที a, b ไม่เท่ากับศูนย์ได้
เพราะฉะนั้น กำลังสองของจำนวนที่จะเป็นคำตอบจึงต้องมีคุณสมบัติต่อไปนี้
(1) เลขชี้กำลังของตัวประกอบเฉพาะกลุ่มที่ (2) ของกำลังสองของจำนวนนั้น ต้องเป็นเลขคู่ (ทุกตัวเลือกมีคุณสมบัติข้อนี้)
(2) ต้องมีตัวประกอบเฉพาะกลุ่มที่ (1) อย่างน้อย 1 ตัว (ถ้ามีตัวเดียว ห้ามเป็นเลข 2)
พิจารณา
1032 : ไม่ผ่านคุณสมบัติข้อ (2)
1322 = 24 x 32 x 112 : ไม่ผ่านคุณสมบัติข้อ (2)
1472 = 32 x 74 : ไม่ผ่านคุณสมบัติข้อ (2)
1492 : OK
1542 = 22 x 72 x 112 : ไม่ผ่านคุณสมบัติข้อ (2)
ป.ล. ใช้การสังเกตล้วนๆ ครับ ไม่มีบทพิสูจน์ให้ดู ผิดพลาดยังไงขออภัยครับ
| จากคุณ |
:
TIYHz 
|
| เขียนเมื่อ |
:
28 พ.ย. 54 14:38:30
|
|
|
|
|
โจทย์สามเหลี่ยมมุมฉาก
