|
ไม่ได้ตอบปัญหาทางคณิตศาสตร์มานานพอควร เพราะค่อนข้างยุ่ง โจทย์ จงพิสูจน์ว่า (a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d) หารด้วย 12 ลงตัว แบ่งการพิสูจน์เป็น 2 ส่วน คือ หารด้วย 4 ลงตัว และหารด้วย 3 ลงตัว ก่อนอื่นขอเรียก ว่า Product ซึ่งเป็นผลคูณของผลต่างของ a, b, c และ d ขั้นตอนที่ 1 พิสูจน์ว่าหารด้วย 4 ลงตัว กรณีที่ 1: a, b, c, d เป็นจำนวนคู่ และจำนวนคี่ เท่า ๆ กัน คืออย่างละ 2 จำนวน ดังนั้นใน product จะมี 2 เทอม ที่เป็นผลต่างของจำนวนคี่เหมือนกัน และจำนวนคู่เหมือนกัน ซึ่งผลต่างนี้จะต้องเป็นเลขคู่ หรืออีกนัยหนึ่ง หารด้วย 2 ลงตัว เมื่อมี 2 เทอมก็แสดงว่าหารด้วย 4 ลงตัว กรณีที่ 2: a, b, c, d เป็นจำนวนคู่ และจำนวนคี่ ที่มีจำนวนไม่เท่ากัน เช่น เป็นจำนวนคี่ 3 จำนวน จำนวนคู่ 1 จำนวน ซึ่งในกรณีนี้แสดงว่า ต้องมีจำนวนที่มี parity เหมือนกัน (จำนวนคู่ เหมือนกัน หรือ จำนวนคี่เหมือนกัน) อย่างน้อย 3 จำนวน ซึ่งใน product ก็จะต้องมีการลบกันของ 3 จำนวนนึ้ 3 เทอม (เช่น a-b, b-c, a-c) และผลต่างนี้แต่ละเทอมหารด้วย 2 ลงตัว ดังนั้น product หารด้วย 4 ลงตัว (หารด้วย 8 ก็ลงตัว) ขั้นตอนที่ 2 พิสูจน์ว่าหารด้วย 3 ลงตัว a, b, c, d ต้องมีอย่างน้อย 1 คู่ ที่เมื่อหารด้วย 3 แล้วจะมีเศษเท่ากัน (จะเรียกเก๋ ๆ ว่า Pigeonhole's theorem ก็ได้) ดังนั้น ผลต่างของมัน จะต้องหารด้วย 3 ลงตัว แสดงว่า product หารด้วย 3 ลงตัว สรุป เมื่อ product หารด้วยทั้ง 4 และ 3 ลงตัว แสดงว่า (a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d) หารด้วย 12 ลงตัว เขียนมายาวมาก หวังว่าคงไม่น่ารำคาญ
| จากคุณ |
:
toxicobkk 
|
| เขียนเมื่อ |
:
7 มี.ค. 55 12:14:30
|
|
|
|
จะพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้ได้ยังไงครับ???
