 |
ให้ C = cos(x), S = sin(x)
จาก (C + iS)7 = cos(7x) + isin(7x)
จะได้ (C7 - 21C5S2 + 35C3S4 - 7CS6) + i(7C6S - 35C4S3 + 21C2S5 - S7) = cos(7x) + isin(7x) ... ใช้พลังงานเล็กน้อย
เพราะฉะนั้น sin(7x) = 7C6S - 35C4S3 + 21C2S5 - S7
จัดรูป ได้ว่า sin(7x) = S7(7cot6x - 35cot4x + 21cot2x - 1) ---(1)
หรือ sin(7x) = SC6(7 - 35tan2x + 21tan4x - tan6x) ---(2)
ให้ x = p/7, 2p/7, 3p/7 >>> sin(7x) = 0, S น 0, C น 0
จาก (1) จะได้ 7cot6x - 35cot4x + 21cot2x - 1 = 0 ---(3)
ซึ่งมี cot(p/7), cot(2p/7) และ cot(3p/7) เป็นรากของสมการ
จาก (2) จะได้ 7 - 35tan2x + 21tan4x - tan6x = 0 ---(4)
ซึ่งมี tan(p/7), tan(2p/7) และ tan(3p/7) เป็นรากของสมการ
จาก (3) แทน cot2x = Y จะได้ 7Y3 - 35Y2 + 21Y - 1 = 0
ซึ่งมี cot2(p/7), cot2(2p/7) และ cot2(3p/7) เป็นรากทั้งสามของสมการ
เพราะฉะนั้น ผลบวกของราก = -(-35)/7 = 5 = cot2(p/7) + cot2(2p/7) + cot2(3p/7)
จาก (4) แทน tan2x = Z จะได้ 7 - 35Z + 21Z2 - Z3 = 0 หรือ Z3 - 21Z2 + 35Z - 7 = 0
ซึ่งมี tan2(p/7), tan2(2p/7) และ tan2(3p/7) เป็นรากทั้งสามของสมการ
เพราะฉะนั้น ผลบวกของราก = -(-21)/1 = 21 = tan2(p/7) + tan2(2p/7) + tan2(3p/7)
เพราะฉะนั้น
(sec2(p/7) + sec2(2p/7) + sec2(3p/7))(cosec2(p/7) + cosec2(2p/7) + cosec2(3p/7))
= (tan2(p/7) + tan2(2p/7) + tan2(3p/7) + 3)(cot2(p/7) + cot2(2p/7) + cot2(3p/7) + 3)
= (21 + 3)(5 + 3) = 192
| จากคุณ |
:
TIYHz 
|
| เขียนเมื่อ |
:
24 มี.ค. 55 19:06:05
|
|
|
|
|
โจทย์ตรีโกณมิติเบาๆ
