ความคิดเห็นที่ 1 หรือเอาไว้เวลานักคณิตศาสตร์ค้นพบ object ทางคณิตศาสตร์ใหม่ขึ้นมา แล้วบอกว่า มันเป็น Group แล้วทุกคนจะเข้าใจได้ตรงกันเลย ใช่รึเปล่านะ... จากคุณ : โง่และขี้เกียจ เขียนเมื่อ : 11 เม.ย. 55 21:48:53 A:124.121.79.64 X: TicketID:355375

ความคิดเห็นที่ 2 Group Theory มีประโยชน์มากนะครับ เพราะเวลานักฟิสิกส์จะพูดคุยกันเรื่อง สมมาตรแบบต่างๆ ที่เกิดขึ้นเราจะใช้ภาษาของ Group เป็นตัวแทนรูปแบบความสมมาตรเหล่านั้น ในแง่ของ อันตรกริยาทั้งสี่ ในธรรมชาติ นักฟิสิกส์ก็พบว่ามันมีสมมาตรบางอย่างที่สอดคล้องกับ สมมาตรที่สามารถแทนได้ด้วยภาษาของ group theory ครับ เพราะฉะนั้นเวลานักฟิสิกส์คุยกันเรื่องดังกล่าวเหล่านี้ ก็จะพูดกันผ่านทางภาษาของ group นะครับ (Lie Group) ผมพูดในมุมมองนักฟิสิกส์ ถ้าต้องการเบื้องลึกจริงๆคงต้องรอนักคณิตศาสตร์มาตอบนะครับ จากคุณ : Schwarzschild เขียนเมื่อ : 11 เม.ย. 55 21:58:09

ความคิดเห็นที่ 3 มันเป็นโครงสร้างพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่เจอบ่อยๆ น่ะคับ อย่าง -จำนวนเต็มกับการบวก -จำนวนจริงกับการคูณ -เมทริกซ์ที่มี det ไม่เท่ากับ 0 กับการคูณ -ฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดบนช่วงปิด [0,1] กับการ composite -จุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยในระนาบเชิงซ้อนกับการคูณ -ตำแหน่งของลูกบิดตู้เซฟกับการหมุนลูกบิด เหล่านี้ก็นับเป็น group หมดเลยคับ ถ้าสงสัยว่าทำไมก็ลองคิดเล่นๆ ดูคับ จากคุณ : ชโรนนท์ เขียนเมื่อ : 11 เม.ย. 55 22:09:13

ความคิดเห็นที่ 4 อ่านดูหลายๆตัวแล้ว Algebraic structure มันก็จะคล้ายๆกันหมดเลยคือ การจะเรียกว่าตัวนี้ได้จะต้องมี คุณสมบัตินี้ๆๆๆ ขอถามเพื่อเช็คความเข้าใจถูกต้องนะครับ จะเรียกว่า semigroup ได้จะต้องมีคุณสมบัติ associativity จะเรียกว่า Albelian group ได้จะต้องมีคุณสมบิต associativity และอื่นๆอีก 4 ตัว แบบนี้ถ้ามันเป็น Albelian group ก็จะเรียกว่าเป็น semigroup ได้ ถูกไหมครับ จากคุณ : โง่และขี้เกียจ เขียนเมื่อ : 11 เม.ย. 55 22:45:33 A:124.121.79.64 X: TicketID:355375

ความคิดเห็นที่ 5 สาเหตุว่าทำไมถึงเรียกว่า group เรื่องมันยาวครับ ยังไงถ้าสนใจลองตามที่แปะไว้ดูนะครับ http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Abstract_groups.html จากคุณ : The mask of tears เขียนเมื่อ : 11 เม.ย. 55 22:58:39

ความคิดเห็นที่ 6 คือทั้งหมดนี้เพราะผมอยากเข้าใจ Linear Algebra น่ะ แต่ผมเนี่ยสำหรับคณิตศาสตร์ต้องเรียกว่า อาการหนักขั้นโคม่าเลย - -" ต้องพยายามมาดูใหม่ทุกอย่างเลย รบกวนด้วยนะครับ แฮ่ๆ :P จากคุณ : โง่และขี้เกียจ เขียนเมื่อ : 11 เม.ย. 55 22:59:41 A:124.121.79.64 X: TicketID:355375

ความคิดเห็นที่ 7 ขอบคุณครับ สัญลักษณ์นี้ผมเคยเจอแล้ว(S × S → S)แต่ไม่เข้าใจความหมายของมัน G × G → G x คือ Cartesian product ถูกไหมครับ (ถ้าใช่ อันนี้เข้าใจแล้วครับ) → คือ if..then แปลว่า ถ้า...แล้ว แต่ไม่เข้าใจ G × G → G หมายถึงอะไร ผมดู symbol จากหน้านี้ http://en.wikipedia.org/wiki/Math_symbol จากคุณ : โง่และขี้เกียจ เขียนเมื่อ : 11 เม.ย. 55 23:05:55 A:124.121.79.64 X: TicketID:355375

ความคิดเห็นที่ 8 GxG คือเซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมด โดยที่ a,b อยู่ใน G GxG -> G แปลว่าเป็นฟังก์ชันที่ส่งคู่อันดับ (a,b) ไปยังสมาชิกตัวนึงใน G ยกตัวอย่างเช่น การบวก + ก็สามารถมองเป็นฟังก์ชันที่ส่งจาก RxR ไปยัง R โดยที่ R เป็นจำนวนจริง โดยสำหรับ x,y ที่เป็นจำนวนจริงใดๆ +(x,y) = จำนวนจริงที่เป็นผลบวกระหว่าง x กับ y (แต่ในทางปฏิบัติ เค้าจะเขียน +(x,y) เป็น x+y ไปเลย เพราะเขียนง่ายกว่า) จากคุณ : ชโรนนท์ เขียนเมื่อ : 11 เม.ย. 55 23:50:28

ความคิดเห็นที่ 9 ขอบคุณมากครับ อ่านอยู่หลายรอบ รบกวนถามอีกนิดนะครับ ใกล้แล้ว = =" GxG บรรทัดแรก กับ GxG ใน GxG -> G ในบรรทัดที่สอง มีความหมายเดียวกันรึเปล่าครับ หรือว่าพอมาอยู่ในรูป GxG -> G จะมองบรรทัดนี้เป็นอีกความหมายนึงไป GxG นี่เข้าใจแล้วครับ แต่บรรทัดที่ 2 ไม่เข้าใจ ฟังก์ชัน นี่เข้าใจครับ "GxG -> G แปลว่าเป็นฟังก์ชันที่ส่งคู่อันดับ (a,b) ไปยังสมาชิกตัวนึงใน G" คือมี ฟังก์ชันที่รับ สมาชิกตัวนึง GxG สร้างออกมา แล้วได้ สมาชิกซักตัวนึงใน G เหรอครับ? จากคุณ : จขกท เขียนเมื่อ : 12 เม.ย. 55 00:11:55 A:124.121.79.64 X: TicketID:355375

ความคิดเห็นที่ 10 แก้บรรทัดสุดท้าย คือมี ฟังก์ชันที่รับ สมาชิกตัวนึงที่ GxG สร้างออกมา แล้วเอาไปเข้าฟังก์ชัน แล้วได้ สมาชิกซักตัวนึงใน G เหรอครับ? จากคุณ : จขกท เขียนเมื่อ : 12 เม.ย. 55 00:18:30 A:124.121.79.64 X: TicketID:355375

ความคิดเห็นที่ 11 ถูกต้องนะคร้าบบบบบบ!!! แก้ไขนิดนึง มองว่าเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็น GxG และเรนจ์อยู่ใน G ละกันคับ แก้ไขเมื่อ 12 เม.ย. 55 00:48:21 จากคุณ : ชโรนนท์ เขียนเมื่อ : 12 เม.ย. 55 00:47:32

ความคิดเห็นที่ 12 ขอถามไปต่อเลยนะครับ :P เหตุผลของการ Nomalize vector น่าจะเพื่อให้ vector กลายเป็น unit vector ทำไมถึงต้องเอาแต่ละแกนไปหารด้วย magnitude ของ vector ทำไมถึงไม่เอาไปหารด้วย แกนที่มีค่ามากที่สุด มันก็น่าจะได้ unit vector เหมือนกัน องศาก็ไม่น่าเปลี่ยนด้วย การหาแกนที่ยาวที่สุดนี่ น่าจะง่ายกว่าหา magnitude เยอะ จากคุณ : จขกท เขียนเมื่อ : 12 เม.ย. 55 01:14:17 A:124.121.79.64 X: TicketID:355375

ความคิดเห็นที่ 13 จขกท เรียนอยู่ชั้นอะไร  หรือ ปีไหน ครับ สมาชิกที่เข้ามาตอบ จะได้ อธิบายความ เรื่องยากง่ายได้ตรงจุดครับ จากคุณ : น้าพร เขียนเมื่อ : 12 เม.ย. 55 06:15:39

ความคิดเห็นที่ 14 คห 12 การ Normalize vector ก็คือการทำให้ vector มีขนาดเป็น 1 น่ะแหละคับ สมมติว่า vector ที่เรามีคือ (1,2,3,4) ถ้าหาขนาดจาก Euclidean Norm ก็จะได้ขนาดเป็น sqrt(1  2+22+32+42) = sqrt(30) ทีนี้ลองคิดดูว่า เวลาเราเอา scalar ไปคูณกับ vector เช่น เอา 2 ไปคูณ มันก็จะเป็น (2,4,6,8) จะเห็นว่ามันมีทิศทางเดียวกันกับ (1,2,3,4) โดยที่มีขนาดเป็น sqrt(2  2+42+62+82) = 2sqrt(30) ซึ่งใหญ่เป็น 2 เท่าของขนาดเวกเตอร์ตอนแรก ดังนั้นถ้าเราเอา c ไปคูณกับเวกเตอร์ ขนาดมันก็จะเป็น c เท่าของเวกเตอร์เดิม และมีทิศทางเดียวกัน เพราะงั้นถ้าเราอยากให้เวกเตอร์มีทิศทางเดียวกัน แต่ขนาดกลายเป็น 1 ก็เทียบบัญญัติไตรยางศ์ธรรมดา ซึ่งก็คือเอาขนาดไปหารออกจากเวกเตอร์คับ ส่วนเรื่องการหารแกนที่ยาวที่สุด ลองดู (1,2,3,4) คับ ถ้าหารด้วย 4 ก็จะเป็น (1/4, 1/2, 3/4, 1) ขนาดจะเป็น sqrt((1/4)2+(1/2)2+(3/4)2+12) = sqrt(30)/4 ซึ่งไม่เท่ากับ 1 คับ จากคุณ : ชโรนนท์ เขียนเมื่อ : 12 เม.ย. 55 08:03:16

ความคิดเห็นที่ 15 ผมเรียนจบมาหลายปีแล้วครับน้าพร ถ้าพูดถึงความรู้เนี่ยคือไม่ค่อยมีเลย จบมาแบบผ่านๆ มัธยม ไม่เกรด 0 ก็ 1 มหาลัยก็ ผ่านๆไป D บ้าง C บ้าง แต่ตอนนี้ผมอยากจะเข้าใจแล้วน่ะนะ เพราะ อ่าน source code ที่เกี่ยวกับ computer graphic แล้วไม่เข้าใจวัตถุประสงค์ว่าสิ่งที่คำนวณมีความหมายอะไร เช่น อย่างที่ถามเรื่อง nomalize vector เพราะเห็นเขา nomalize เมื่อ sqrtmagnitude มีค่ามากกว่า 1 แต่ไม่เข้าใจว่าเขาทำไปเพื่ออะไร เปิด wiki ก็เจอศัพท์ไม่เข้าใจ อย่าง field, ring ก็กด link เข้าไป ก็เจอคำไม่เข้าใจอีก คืออยากจะเข้าใจเรื่องเดียว แต่ได้ link เป็น 10 หน้าเลย รู้งี้น่าจะตั้งใจเรียนตั้งแต่เด็กๆ - -" #14 ขอบคุณมากครับ ก็คือเพื่อที่จะให้ขนาดของ vector เป็น 1 นี่เอง ตอนแรกผมเข้าใจว่า เพื่อไม่ให้สมาชิกข้างในมีค่าเกิน 1 ซะอีก - -" ขอถามต่ออย่างที่อธิบายไว้ พอทราบรึเปล่าครับว่าการทำให้ขนาดของ vector เป็น 1 เนี่ย มีประโยชน์อะไรครับ จากคุณ : จขกท เขียนเมื่อ : 12 เม.ย. 55 09:30:09 A:210.246.156.75 X: TicketID:355375

ความคิดเห็นที่ 16 ประโยชน์ของการศึกษากลุ่ม(group) มีข้อนึงที่สำคัญมาก 1.  group เรียกว่า G  มีคุณสมบัติตามที่ จขกท กล่าวมา 2.  ใน abstact algibra มีทฤษฎีที่สำคัญตัวนึง คือ group,G ทุกกลุ่มมีฟังก์ชันสมสัณฐาน(isomorphim) กับ subgrioup นึง ของ  S       ซึ่งหากระบบใดสมสัณฐานกัน มันจะมีโครสร้างและคุณสมบัติเหมือนกันหมด 3.  จากข้อ 2 เราจึงไม่จำเป็นต้องศึกษาทุกๆกลุ่ม เราศึกษาแค่ S และ subgroup ของมัน ก็พอ    จาก 3 ข้อด้านบน สมมุติว่า เรากำลังศึกษาอะไรบางอย่าง เช่น เวกเตอร์ รูบิต หรือ ลักษณะการหมุนของฟันเฟือง เราก็กำหนดให้ฟันเฟืองเป็นเซต การหมุนเป็นตัวดำเนินการ  เราก็แสดงให้ได้ว่ามันเป็นกลุ่ม     จากนั้น เราแค่แสดงว่่า กลุ่มที่เราหยิบมาพิจารณา มันสมสัณฐานกับ S ตัวไหน เราก็จะสามารถรู้ได้เลยว่า กลุ่มที่เราพิจารณาอยู่มีคุณสมบัติอะไรบ้าง ซึ่งจะทำการทำงานง่ายขึ้นมาก ปล ความเห็น 1 เข้าใจถูกแล้วครับ นั่นหละคือประโยชน์สูงสุด และนอกจากกลุ่มแล้ว มันยังมีระบบที่ซับซ้อนขึ้นอีก คือ ริง ฟิลด์ เวกเตอร์สเปซ ต่างๆเหล่านี้ก็ใช้หลักการคิดเดียวกัน จากคุณ : Axiom of Choice เขียนเมื่อ : 12 เม.ย. 55 09:37:56

ความคิดเห็นที่ 17 ปล2 ริง และ ฟิลด์ ที่ จขกท กล่าวถึง มันคือ เซตและการดำเนินการ เหมือนกันครับ คล้ายๆกับ group แต่ ริงและฟิลด์ จะมีการดำเนินการ 2 อัน เช่น ระบบจำนวนจริง กับการดำิเนินการ บวก และ คูณ จะเป็นฟิลด์ ซึ่งมีคุณสมบัติ 11 ข้อ คือ  เป็น group สลับที่ ภายใต้ตัวดำเนินการบวก (5 ข้อแรก) , เป็น group สลับที่ภายใต้การคูณ(5 ข้อต่อมา) และสมบัติการกระจาย จากคุณ : Axiom of Choice เขียนเมื่อ : 12 เม.ย. 55 10:06:48

ความคิดเห็นที่ 18 ขอบคุณครับ พยายามทำความเข้าใจ แต่ก็ยังไม่เห็นภาพเท่าไร จะลองไปดูตัวอย่างประกอบแล้วมาอ่านซ้ำๆดูครับ หรือว่า ...คำว่า Group นี่ใช้กับข้อมูลที่เป็นลักษณะกลุ่มอย่าง set,vector,matrix ถูกรึเปล่าครับ ถ้าเป็นตัวเลขโดดๆ ไม่นับ จากคุณ : จขกท เขียนเมื่อ : 12 เม.ย. 55 10:33:04 A:210.246.156.75 X: TicketID:355375

ความคิดเห็นที่ 19 คิดไปคิดมาก็ สงสัยว่า มันมี อะไรที่ a + b ไม่เท่ากับ b + a ด้วยเหรอครับ จากคุณ : จขกท เขียนเมื่อ : 12 เม.ย. 55 11:28:16 A:210.246.156.75 X: TicketID:355375

ความคิดเห็นที่ 20 มีครับ อย่าคิดว่า + คือ บวก นะครับ มันเป็นสัญลักษณ์แทนการดำเนินการ อาจเป็น การหมุน ก็ได้ เช่น หมุนฟันเฟือง a ไปทาง b อาจไม่เท่ากับ หมุนฟันเฟือง b ไปทาง a ... เหอ เหอ ....ช่วยได้ไหมน้ออออ.... อ่านหนังสืออาจเห็นภาพมากกว่าอ่านในนี้นะครับ ^^ จากคุณ : Axiom of Choice เขียนเมื่อ : 12 เม.ย. 55 12:48:34

ความคิดเห็นที่ 21 Group ที่มีสมบัติการสลับที่ (ก็คือ ทุกๆ a,b ที่อยู่ใน group เราได้ว่า a*b = b*a) จะเรียกว่าเป็น Abelian group คับ อย่างไรก็ตาม มี group ที่ไม่ประพฤติตัวตามที่ว่า เค้าเรียกพวกนี้ว่า Non-abelian group ตัวอย่างเช่น -เมทริกซ์จัตุรัสที่ det ไม่เป็น 0 กับการคูณ -สี่เหลี่ยมจัตุรัสกับการหมุนรอบแกนสมมาตร อันแรก เราจะเห็นว่าเมทริกซ์บางตัวสลับที่การคูณไม่ได้ อันที่สอง ลองเอากระดาษสี่เหลี่ยมจัตุรัสมาหมุนดูคับ เช่น หมุนไป 90 องศาตามเข็มนาฬิกา แล้วหมุนพลิกให้ด้านล่างขึ้นมาด้านบน ลองทำอีกรอบแต่สลับลำดับการหมุน จะเห็นว่าผลลัพธ์จะไม่เหมือนกันคับ (แนะนำให้ mark มุมไว้ด้วยเครื่องหมายต่างๆ กัน) จากคุณ : ชโรนนท์ เขียนเมื่อ : 12 เม.ย. 55 16:12:47

ความคิดเห็นที่ 22 ขอบคุณมากๆครับ ความไม่ตั้งใจเรียนทำให้ พลาดเรื่องสำคัญมากอย่างคณิตศาสตร์ จากคุณ : จขกท เขียนเมื่อ : 12 เม.ย. 55 17:44:07 A:210.246.156.75 X: TicketID:355375

ความคิดเห็นที่ 23 คงใช้เวลานานทีเดียวกว่าจะเข้าใจหมด ว่าจะไปยืมหนังสือที่ห้องสมุด ถ้าสงสัยอะไรเดี๋ยวมาถามใหม่นะครับ จากคุณ : จขกท เขียนเมื่อ : 12 เม.ย. 55 17:45:07 A:210.246.156.75 X: TicketID:355375