วิธีทำโจทย์ข้อ 2 แบบยาวมาก
a/600 + b/700 = c/d
จากโจทย์จะได้ D(a, 600) = 1, D(b, 700) = 1 และ D(c, d) = 1
d(7a + 6b) = 4200c
แสดงว่า d|4200c แต่ D(c, d) = 1 --> d|4200 [Lemma 5]
เพราะฉะนั้น kd = 4200
7a + 6b = ck --> 7a = ck - 6b
สมมุติให้ D(k, 6) = p
จะได้ p|ck และ p|6b --> p|(ck - 6b) --> p|7a
D(6, 7) = 1 และ p|6 --> D(7, p) = 1 [Lemma 3]
D(7, p) = 1 และ p|7a --> p|a [Lemma 5]
p|a และ p|6 --> p|D(a, 6)
D(a, 600) = 1 และ 6|600 --> D(a, 6) = 1 [Lemma 3]
--> p|1 --> p = 1
เพราะฉะนั้น D(k, 6) = 1
6b = ck - 7a
ในทำนองเดียวกันจะพิสูจน์ได้ว่า D(k, 7) = 1
ดังนั้น k จะไม่มีตัวประกอบร่วมกับ 2, 3 และ 7
แต่ k|4200 และ 4200 = 2^3 * 3 * 5^2 * 7
ดังนั้น k มีค่าสูงสุดคือ 5^2 = 25
ดังนั้น d มีค่าต่ำสุดคือ 4200/25 = 168
ลองหาว่า มีค่า a, b, c ที่เป็นจริงได้หรือไม่
ค่า c จะมีคุณสมบัติเหมือนค่า k คือ ไม่มีตัวประกอบร่วมกับ 2, 3, 7
ให้ c = 1, 5, 11 ตามลำดับ
7a + 6b = 25 --> 7 + 18 = 25 --> a = 1, b = 3, c = 1
7a + 6b = 5*25 =125 --> 119 + 6 = 125 --> a = 17, b = 1, c = 5
7a + 6b = 11*25 = 275 --> 161 + 114 = 275 --> a =23, b = 19, c = 11
1/600 + 3/700 = 1/168
17/600 + 1/700 = 5/168
23/600 + 19/700 = 11/168
โจทย์เกี่ยวกับเศษส่วนอย่างต่ำครับ
...เข้ามาชม
