ความคิดเห็นที่ 1 ถ้าคิดตามระบบเลขฐานที่มีในปัจจุบัน ยกตัวอย่างง่าย ๆ คือระบบฐาน 10 และระบบฐาน 2 ครับ ระบบฐาน 10 มีตัวเลขสมาชิก 10 ตัวคือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ระบบฐาน 2 มีตัวเลขสมาชิก 2 ตัวคือ 0 และ 1 เมื่อต้องการแปลงระบบฐาน 2 กลับเป็นระบบฐานสิบ เช่น 10100 ทำดังนี้ 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 0 x 20 = 20   ระบบฐาน 1 ย่อมมีสมาชิกตัวเดียวคือ 0 ระบบฐาน 0 ไม่มีสมาชิกใดเลย จะเห็นว่าระบบที่เราเรียนกันมาเลือกใช้ตัวเลขอ้างอิงของการนับตัวสุดท้ายที่ 0  ก่อนจะตอบคำถามนี้ผมว่าต้อง พิจารณาครับว่าตอบให้ใคร ถ้าตอบให้ Microsoft ละก็ เตรียมใช้จินตนาการนอกกรอบได้เลย เพราะ นาย Bill Gates ผู้ก่อตั้งบริษัทนี้ เขาไม่เห็นด้วยกับระบบการศึกษาในปัจจุบัน (เขาเรียนไม่จบปริญญาตรีด้วยซ้ำ, drop out จากมหาวิทยาลัยระหว่างเรียนอยู่ปี 2 หรือ ปี 3 เพื่อก่อตั้งบริษัทนี้ขึ้น) ขืนตอบไปว่าไม่มีใครใช้กัน เขาไม่เลือกคุณแหง ๆ เราอาจประยุกต์ใช้ระบบฐาน 16 ที่ใช้สัญลักษณ์แทนตัวเลขที่มีค่ามากกว่า 9 นั่นคือ 0, 1, 2, 3, ..., 9, A, B, C, D, E, F และเปลี่ยนจุดอ้างอิงฐานตัวเลขจาก 0 เป็น เลขติดลบอะไรก็ได้ที่น้อยกว่า -1 ดังนั้นให้ระบบฐาน -1 มีจุดอ้างอิงที่ -4 ก็แล้วกันครับ (คุณอาจเลือกจุดอ้างอิงอื่นเอาเองก็ได้ครับ) และให้ สัญลักษณ์ a, b, c, d แทน -1, -2, -3, และ -4, ดังนั้นระบบตัวเลขฐาน -1 ของคุณที่ใช้จุดอ้างอิง -4 ก็จะมีสมาชิก คือ d, c, b, a, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 ทีนี้สมมุติว่า เรามีตัวเลขชุด ba03 ถ้าคุณแปลงเป็นระบบฐาน -1 ก็คือ (-2) x (-1)-1 + (-1) x (-1)-2 + 0 x (-1)-3 + 3 x (-1)-4 คำนวณได้เท่าไรก็คือคำตอบครับ คุณอาจคิดแปลงระบบตัวเลขฐานสิบให้เป็นระบบฐาน -1 ก็ได้ครับ ถ้ามีเวลามากพอ... ผมถามต่อบ้าง เลขฐาน 2: 10110.0111 มีค่าเท่าไรครับ ? ^ ^ แก้ไขเมื่อ 27 ก.ย. 46 06:34:27 แก้ไขเมื่อ 27 ก.ย. 46 06:21:04 จากคุณ : Practical x 2 - [ 27 ก.ย. 46 06:18:47 ]

ความคิดเห็นที่ 2 (10110.0111) base 2 = [1*2^(4) + 0*2^(3) + 1*2^(2) + 1*2^(1) + 0*2^(0) + 0*2^(-1) + 1*2^(-2) + 1*2^(-3) + 1*2^(-4)] base 10 จากคุณ : whatnot - [ 27 ก.ย. 46 08:51:34 A:12.216.238.115 X: ]

ความคิดเห็นที่ 3 "ระบบฐาน 1 ย่อมมีสมาชิกตัวเดียวคือ 0" แล้วมันจะเขียนเลขได้ยังไงครับ นึกภาพไม่ออก.. ผมคิดว่าเลขฐาน 1 น่าจะมี digit เดียวคือ 1 และมันก็คือวิธีนับแบบมนุษย์ถ้ำนั่นเอง 1 = 1 11 = 2 (= 1*1^1 + 1*1^0) 111 = 3 (= 1*1^2 + 1*1^1 + 1*1^0) 111111111111 = 12 อาจจะมีสัญลักษณ์พิเศษแทนเลขศูนย์ก็ได้ จากคุณ : จอนสั้น - [ 27 ก.ย. 46 15:56:01 ]

ความคิดเห็นที่ 4 ส่วนเลขฐาน -1 ผมลองเสนอแบบหนึ่งที่เป็นไปได้: digit = { 0, 1 } 1 = (1*(-1)^0) = 1 10 = (1*(-1)^1 + 0*(-1)^0) = -1 ทำนองเดียวกัน 11 = 1111 = 111111 = 11001111 = 0 (กล่าวคือ ตราบใดที่จำนวน digit ที่เป็น 1 ในหลักคู่เท่ากับในหลักคี่ ค่าของตัวเลขคือศูนย์) 101 = 2 = 11101 = 10001= ... 1010 = -2 10101 = 3 101010 = -3 แต่ความไม่สวยงามของมันก็คือ เลขจำนวนหนึ่งๆ จะเขียนได้หลายแบบ จากคุณ : จอนสั้น - [ 27 ก.ย. 46 15:58:10 ]

ความคิดเห็นที่ 5 ผมเสนอดังนี้ครับ ในกรณีเลขฐาน 2 ของ คคหที่ 1 นะครับ ใช้เลข 0 และ 1 4 หลักเพื่อแทน 0 - 9 และ เอ ถึง เอฟในฐานสิบหก และในเลขฐาน 2 นั้น ถ้าสมมติเราเพิ่มอีกหนึ่งหลักข้างหน้าเราจะได้ 5 หลัก และหลักหน้าสุดที่เพิ่มเมื่อเราใช้แทนเครื่องหมายแล้ว มันก็คือ ตัวที่ำทำให้เกิดทิศทาง คือ บวกหรือ ลบ ซึ่งในการลบเลขฐาน 2 มันก็มีการใช้อยู่แล้ว ครับ แต่ผมจำชื่อไม่ได้ แต่ในกรณีลบนั้นมันขั้นตอนมากขอให้ศึกษาจากเอกสารอื่นนะเพิ่มเติมนะครับ ผมก็เดาเอาเหมือนกัน ลองดู อย่างมากก็หางานใหม่ครับ จากคุณ : pork - [ 27 ก.ย. 46 21:48:04 ]

ความคิดเห็นที่ 6 ไม่ได้มาซะนาน คุณ Practica X 2 เก่งจังค่ะ จากคุณ : นู๋นัน - [ 28 ก.ย. 46 11:16:41 ]

ความคิดเห็นที่ 7 ขอบคุณมากครับ เดี๋ยวขอทำความเข้าใจก่อน จากคุณ : เจ้าของกระทู้ - [ 29 ก.ย. 46 13:22:34 A:203.113.51.73 X: ]

ความคิดเห็นที่ 8 เพิ่งเคยเห็นฐาน -1 และ หรือเลขฐานติดลบ จากคุณ Practical x 2 นี่แหละ ส่วนฐาน 1 และฐาน 0 ก็เพิ่งรู้จากคุณ จอนสั้น นับว่าน่าทึ่งมาก ขออนุญาตนำไปเล่าต่อนะ :D จากคุณ : prasitstar - [ 30 ก.ย. 46 02:26:34 ]

ความคิดเห็นที่ 9 หลังจาก post ไปวันก่อน เลยลองคิดต่อ โดย generalize ให้เป็นเลขฐาน ลบ คือ -2, -3, ... ก็ได้ความว่าอย่างนี้ครับ เลขฐาน -n ผมให้มี digit เป็น { -n+1, -n+2, ... , -1, 0 } เช่น เลขฐาน -2 มี digit เป็น { -1, 0 } จากนั้น หลักการนับเลขก็คือ - ในหลักที่เป็นกำลังคู่ ให้นับเลขจากน้อยไปมาก (คือ จาก -n+1, -n+2, ... , -1, 0) - ในหลักที่เป็นกำลังคี่ ให้นับเลขจากมากไปน้อย (คือจาก 0, -1, ... , -n+2, -n+1) ทั้งนี้เพราะเมื่อฐานยกกำลังคู่จะมีค่าบวก การนับจึงนับจากน้อยไปมาก ตามปกติ แต่เมื่อยกกำลังคี่ จะเป็นลบ จึงต้องกลับค่า ตัวอย่างเลขฐาน -2 สมมุติให้ a = -1 การนับเลขฐาน -2 สี่หลักจะเป็นอย่างนี้: เลขที่น้อยที่สุดคือเลขที่เป็น a ในหลักกำลังคู่ และ 0 ในหลักกำลังคี่ 0a0a = -5 (= 0*(-2)^3 + (-1)*(-2)^2 + 0*(-2)^1 + (-1)*(-2)^0) 0a00 = -4 0aaa = -3 0aa0 = -2 000a = -1 0000 = 0 00aa = 1 00a0 = 2 aa0a = 3 aa00 = 4 aaaa = 5 aaa0 = 6 a00a = 7 a000 = 8 a0aa = 9 a0a0 = 10 นับเลขได้เหมือนกัน ^_^ เพราะฉะนั้น ถ้าย้อนกลับไปที่เลขฐาน -1 ที่ผมเสนอใน #4 ก็น่าจะเปลี่ยนเป็น "เลขฐาน -1 มี digit คือ { -1, 0 }" (เลขฐาน -1 จำเป็นต้องใช้ 0 ช่วย เพราะการนับไม่ตรงไปตรงมา เหมือนในฐาน 1 แบบมนุษย์ถ้ำที่เสนอใน #3) จากนั้น ก็สลับกันนิดหน่อยในเรื่องหลักคู่กับหลักคี่ จากคุณ : จอนสั้น - [ 1 ต.ค. 46 11:18:45 ]

ความคิดเห็นที่ 10 ลองนับเลขฐาน -3, -4, ... สนุกๆ ดูก็ได้นะครับ ผมมีเหตุผลเบื้องหลังอยู่ ว่าการกำหนด digit แบบนี้ จะทำให้นับเลข ฐานลบได้อย่างต่อเนื่อง แต่คงต้องเรียบเรียงบทพิสูจน์ดีๆ ก่อน.. จากคุณ : จอนสั้น - [ 1 ต.ค. 46 11:25:41 ]