ความคิดเห็นที่ 1 กว้างจางเยย ><'' ผมว่ามีจำนวนเป็นอนันต์เหมือนกัน ถ้าไม่ได้กำหนด ขอบเขต อ่อ ตอบว่าเท่ากันฮับ จากคุณ : มิคังโหยว - [ 16 ม.ค. 48 19:09:14 ]

ความคิดเห็นที่ 2 จน. เต็มมากกว่าไม่ใช่หรอ จากคุณ : คืนนี้ไร้เรื่องราว - [ 16 ม.ค. 48 19:13:03 ]

ความคิดเห็นที่ 3 จำนวนจำนวนเต็ม มากกว่าหรือเท่ากับ จำนวนเต็มคู่ จากคุณ : เซียนแห่งmath - [ 16 ม.ค. 48 19:16:11 A:192.168.3.32 X:61.90.97.217 TicketID:051546 ]

ความคิดเห็นที่ 4 แล้วจะนวน ไม่เต็ม ล่ะ ต้องไปอยู่ ศรีธัญญา หรือเปล่า.... จากคุณ : jaminonez - [ 16 ม.ค. 48 19:22:06 ]

ความคิดเห็นที่ 5 จะโยงเข้าเรื่อง infinity รึป่าวล่ะครับ จากคุณ : ช่างไฟ - [ 16 ม.ค. 48 20:00:17 ]

ความคิดเห็นที่ 6 บอกไม่ได้ครับ ทั้งคู่มีเป็นอนันต์ตัวครับ จะบอกว่า เท่ากันก็ไม่ใช่ จะบอกว่าไม่เท่ากันก็ไม่ใช่ครับ (อย่าลืม อนันต์ไม่ใช่จำนวน เอามาเปรียบเทียบกันไม่ได้) จากคุณ : RT - [ 16 ม.ค. 48 20:28:44 A:202.183.149.17 X: TicketID:076578 ]

ความคิดเห็นที่ 7 เดี๋ยวนี้เชื่อถือหลักคณิตศาสตร์โดยการโหวตแล้วหรือ ?? จากคุณ : mrgon - [ 16 ม.ค. 48 20:30:47 ]

ความคิดเห็นที่ 8 มันมีเป็นอนันต์ตัวครับ บอกไม่ได้หรอก แต่ถ้า จขกท สามารถระบุจำนวนสุดท้ายของอนันต์ได้ จำนวนเต็มจะมีมากกว่า จากคุณ : ไม่มีสมาชิกชื่อนี้ - [ 16 ม.ค. 48 20:38:37 ]

ความคิดเห็นที่ 9 อย่าไปคิดมากเรื่องอนันต์น่ะ จำนวนเต็มมากกว่าอยู่แล้ว เหมือนน้ำในขวดที่มีอากาศปน ถ้าขวดมันใหญ่จนเป็นอนันต์ ยังไงขวดก็จะมีความจุมากกว่าปริมาตรน้ำอยู่ดี จากคุณ : 3N - [ 16 ม.ค. 48 21:07:31 ]

ความคิดเห็นที่ 10 #9 ขอ math. proof ด้วยครับ ที่ว่ามากกว่าน่ะ อย่าพูดลอย ๆ ครับ จากคุณ : RT - [ 16 ม.ค. 48 21:09:58 A:202.183.149.17 X: TicketID:076578 ]

ความคิดเห็นที่ 11 ตอบไม่ได้ครับ เพราะว่า จำนวนคู่เป็นจำนวนที่เราสามารถเขียนให้อยุ๋ในรูป 2k โดยที่ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ ปรากฏว่า ไม่ว่าเราจะหา k มากมายแค่ไหน เราก็จะสามารถหา m ที่เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า k ได้เสมอ และกลับกัน ถ้าเราหยิบจำนวนเต็ม m ใดๆมา เราก็จะได้ จำนวน k ที่ทำให้ 2k >m อยู่เสมอ เพราะฉะนั้นไม่สามารถบอกได้ครับ จากคุณ : เด็กแมทมาเอง (Real of Reality) - [ 16 ม.ค. 48 21:16:14 ]

ความคิดเห็นที่ 12 จำนวนเต็ม จะมีค่าโดยประมาณ = 2 จำนวนเต็มคู่ ดังนั้น ก็น่าจะมากกว่าสองเท่า ถ้าคิดว่ามันมีไม่จำกัด หรืออนันต์ แต่ไม่ว่าจะนับมันไปถึงไหน จะมีจำนวนยาวไปถึงไหน อย่าลืมว่า จำนวนเต็มก็ยังเป็น 2 เท่าจำนวนเต็มคู่ อยู่เสมอ จากคุณ : -=Jfk=- - [ 16 ม.ค. 48 21:29:26 ]

ความคิดเห็นที่ 13 #12 เอามาจาำกไหนครับ ที่ว่าจำนวนเต็ม มี เป็น 2 เท่าของจำนวนเต็มคู่ จำนวนเต็มมีจำนวนอนันต์ จำนวนเ็ต็มคู่มีจำนวนอนันต์ ครับ ที่บอกว่ามี 2 เท่า คิดไปเองรึเปล่าครับ? เหมือนกับบอกว่า คุณ มีเงินในกระเป๋า 100 บาท ผมมีเงินในกระเป๋า 50 บาท คุณมีเงินมากกว่าผม 2 เท่า "เสมอ" โดยที่ไม่ได้นับเงินคุณกับเงินผมทั้งหมด จะบอกว่ามีมากกว่า ได้อย่างไร แต่ถ้านับทั้งหมดปรากฏว่า เงินคุณกับเงินผม นับไม่ได้ทั้งคู่ จะบอกว่าใครมากกว่าใครหรือน้อยกว่าใครได้อย่างไรครับ จากคุณ : RT - [ 16 ม.ค. 48 21:43:57 A:202.183.149.17 X: TicketID:076578 ]

ความคิดเห็นที่ 14 จำนวนเต็มมีมากกว่าคับ ไม่เชื่อ คุณลองเขียนเซตรูปวงกลมขึ้นมาดูได้ อย่าไปยึดติดกับคำว่าอนันต์คับ จากคุณ : ชนชั้นกลาง - [ 16 ม.ค. 48 22:06:35 ]

ความคิดเห็นที่ 15 ผมว่า มันน่าจะมี จะ มี เท่ากัน หรือ ไม่เท่ากัน(เป็นสัดส่วน สองเท่า) ก็ได้ ครับ ... แล้วแต่ว่าจะทำไปใช้ ประโยช์นอย่างไร จากคุณ : zoneteenz - [ 16 ม.ค. 48 22:19:08 ]

ความคิดเห็นที่ 16 รูป จากคุณ : ชนชั้นกลาง - [ 16 ม.ค. 48 22:19:13 ]

ความคิดเห็นที่ 17 ผมเข้าใจว่ามีนักคณิตศาสตร์คนนึงที่เค้าตายไปแล้ว เค้าคงมีทฤษฎีอะไรบางอย่างที่พิสูจน์ได้ทางคณิตศาสตร์ว่า มันหาไม่ได้ เพราะมีจำนวนเป็นอนันต์ทั้งคู่ แต่... ถามจริงๆว่า ทฤษฎีนั้นมันยอมรับได้ตรงไหนเหรอคับ ในเมื่อ แค่เอาเรื่องเซตง่ายมาพิสูจน์ ก็ทราบแล้ว (ผมไม่ได้บอกนะว่ามากกว่าสองเท่า แต่ผมเชื่อว่า "มากกว่า") ฝากไว้นิดนะคับ อย่าเพียงแต่ฟังเค้ามา แล้วก็เชื่อโดยง่าย การเรียนคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ไม่ใช่ความเชื่อแต่สำคัญที่การพิสูจน์นะคับ จากคุณ : ชนชั้นกลาง - [ 16 ม.ค. 48 22:27:53 ]

ความคิดเห็นที่ 18 เวอชั่นปรับปรุง จากคุณ : ชนชั้นกลาง - [ 16 ม.ค. 48 22:31:07 ]

ความคิดเห็นที่ 19 อย่าลืมนะคับ ว่าคำถามกระทู้อยู่ที่ "อันไหนมากกว่า" จากคุณ : ชนชั้นกลาง - [ 16 ม.ค. 48 22:35:50 ]

ความคิดเห็นที่ 20 คุณชนชั้นกลาง เรียน math. ตำราไหนครับเนี่ย แผนภาพเซต มันไม่ได้ บอก "จำนวน" นะครับ การพิสูจน์ของคุณ invalid (ผิด) ครับ แผนภาพเซตบอกได้ว่า จำนวนเต็มเป็น superset ของ เต็มคู่ ได้ครับ แต่บอกไม่ได้ว่า member ของจำนวนเต็มมีจำนวนมากกว่า member ของเต็มคู่รึเปล่า เข้าใจใหม่นะครับ ที่คุณเข้าใจมันผิดครับ จากคุณ : RT - [ 16 ม.ค. 48 22:36:32 A:202.5.83.219 X: TicketID:076578 ]

ความคิดเห็นที่ 21 จำนวนเต็มคู่นี่ เป็นสับเซตของ จำนวนเต็มรึปล่าวคับ จากคุณ : ชนชั้นกลาง - [ 16 ม.ค. 48 22:38:42 ]

ความคิดเห็นที่ 22 ถ้าคุณพยายามจะนำ แผนภาพมาแสดงถึงจำนวน ในเมื่อจำนวน เป็น infinity แผนภาพของคุณจะต้อง unbound (ไม่มีขอบเขต) ไม่ใช่รูปวงกลมอย่างนั้นนะครับ คุณจะต้องวาดไปเรื่อย ๆ จนสุดขอบจัีกรวาลคุณก็วาดไม่เสร็จซะทีครับ วาดจนคุณแก่ตาย ก็วาดไม่เสร็จ คือ ถ้าคุณจะวาดรูปเพื่อแสดงถึง infinity คุณจะวาดไม่ได้หรอกครับ จากคุณ : RT - [ 16 ม.ค. 48 22:39:15 A:202.5.83.219 X: TicketID:076578 ]

ความคิดเห็นที่ 23 #21 subset ไม่จำเป็นต้องมีสมาชิกน้อยกว่า superset ครับ อาจจะมีจำนวนเท่ากันก็ได้ครับ เช่น A = {1,2,3} B = {1,2,3} A เป็น subset ของ B และ B เป็น subset ของ A ครับ เรียกว่า subset ไม่แท้มั้ง จากคุณ : RT - [ 16 ม.ค. 48 22:42:21 A:202.5.83.219 X: TicketID:076578 ]

ความคิดเห็นที่ 24 {I} = {I0,Iคู่,Iคี่} Iคู่ เป็นสับเซตของ I แต่ I ไม่เป็นสับเซตของ Iคู่ แบบนี้ถูกรึป่าวคับ จากคุณ : ชนชั้นกลาง - [ 16 ม.ค. 48 22:50:27 ]

ความคิดเห็นที่ 25 ผมว่าอย่าพึ่งเถียงกันดีกว่า มาอ่านบทความที่ผมไปหามาแล้วกัน แต่ผมไม่ขอสรุปนะว่าคำตอบเป็นอย่างไรเพราะผมก็อ่านแล้วไม่เข้าใจทั้งหมด เพียงแต่ได้แนวคิดบางอย่างเพิ่มเท่านั้น นี่ครับ http://www.mathacademy.com/pr/minitext/infinity/index.asp มีสิ่งที่ คุณ Cantor พิสูจน์ ไว้เมื่อไรไม่ทราบได้ แต่ว่าก่อนปี 1930 ละกัน เรื่องจำนวนคู่ กับจำนวนเต็มเค้าไม่ได้พิสูจน์ไว้ แต่ได้พิสูจน์ จำนวนเต็ม กะจำนวนจริงไว้ ลองอ่านดูนะครับ แล้วลองหาวิธีพิสูจน์กันดีมั๊ยครับ ว่าจำนวนเต็ม กะ จำนวนเต็มคู่ อันไหนมากกว่ากัน จากคุณ : heng005 - [ 16 ม.ค. 48 22:50:30 ]

ความคิดเห็นที่ 26 #24 เรื่อง subset, superset ช่างมันเถอะครับ ผมว่ามันไม่เกี่ยวนะ คำถามคือ I กับ I คู่ อันไหน มีมากกว่ากันครับ เป็นเรื่องของจำนวน member ครับ ซึ่ง ทั้ง I และ I คู่ มีจำนวน member infinity ครับ จากคุณ : RT - [ 16 ม.ค. 48 22:54:31 A:202.5.83.219 X: TicketID:076578 ]

ความคิดเห็นที่ 27 อิอิ ชอบรูปของคุณชนชั้นกลางจริงๆ อย่าเพิ่งทะเลาะกันครับ... ไว้เดี๋ยวจะกลับมาเฉลย จากคุณ : ridkun - [ 16 ม.ค. 48 22:58:21 ]

ความคิดเห็นที่ 28 อ่า...ขออภัยนะคับ ผมว่ามันเกี่ยวนะ เพราะว่าผมกำลังจะใช้บอกว่า มัน "มากกว่า" คับ ในคห10 คุณก็บอกไว้นี่นา ว่าให้ใช้ math proof ถ้าจะบอกว่า "มันพิสูจน์ไม่ได้" ผมเองก็อยากได้เหตุผลคับ ถ้าแต่ถ้าบอกว่า อนันต์ เทียบกับ อนันต์ ไม่ได้ แบบนี้ผมว่ามันกำปั้นทุบดินไปหน่อยอ่ะคับ ผมไม่ได้อยากเอาชนะนะคับ แต่ผมอยากรู้เรื่องเหมือนกันว่ามันพิสูจน์ได้รึปล่าว แล้วผมก็คิดว่า วิธีผมน่าจะพิสูจน์ได้นะ จากคุณ : ชนชั้นกลาง - [ 16 ม.ค. 48 23:02:31 ]

ความคิดเห็นที่ 29 เอ่อ ออกตัวไว้ก่อนนะคับ ว่าผมไม่ได้พยายามจะทะเลาะนะ คือมันคงเป็นธรรมดาอ่ะคับ สำหรับการถกเถียง แล้วยิ่งในเนตเนี่ย มันไม่มีอารมณ์ให้เห็นอ่ะคับ จิงๆแล้วผมหน้ายิ้มอยู่นะ ผมอยากบอกว่า มันสนุกดีคับ เวลาถกเถียงกันเรื่องวิชาการ คุณRTก็อย่าโกดผมนะ จากคุณ : ชนชั้นกลาง - [ 16 ม.ค. 48 23:03:49 ]

ความคิดเห็นที่ 30 อ้อ มีคำใบ้ครับ infinity นี่เป็นจำนวนที่แปลกครับ สมมติว่าเรามีโรงแรมที่มีจำนวนห้องเท่ากับ infinity ที่มีคนพักอยู่เต็ม แล้วมีแขกมาเพิ่มจำนวนหนึ่ง เราก็สามารถหาห้องให้แขกกลุ่มนั้นพักได้... ถามว่าทำยังไง ก็ห้องมันเต็ม? ก็ย้ายคนที่อยู่ห้องเบอร์ 1,2,3,4... ไปที่เบอร์ 2,4,6,8... ก็จะเหลือห้องว่างตั้งเยอะแน่ะ เห็นมั้ย... จากคุณ : ridkun - [ 16 ม.ค. 48 23:05:33 ]

ความคิดเห็นที่ 31 กระทู้นี้สิคับ ถึงเรียกว่า พิสูจน์ไม่ได้ http://www.pantip.com/cafe/wahkor/topic/X3234687/X3234687.html (หรือได้หว่า) ลป.(ลืมไป) คุณridkunชอบหาเรื่องให้คนอื่นทะเลาะกันช่ายม๊ายยย จากคุณ : ชนชั้นกลาง - [ 16 ม.ค. 48 23:06:26 ]

ความคิดเห็นที่ 32 #28, #29 subset, superset มันไม่เกี่ยวกับจำนวน member นี่ครับ ก็รู้อยู่แล้วว่า จำนวน member ของ I เป็น infinity I คู่ก็เป็น infinity แล้ว จะไปยุ่งกับเรื่อง subset, superset ทำไำมอีกล่ะครับ เราต้องการหาคำตอบว่า จำนวน member มากกว่ากันหรือเปล่าครับ ผมเลยบอกว่า เรื่อง set มันนอกประเด็นแล้วครับ จากคุณ : RT - [ 16 ม.ค. 48 23:09:05 A:202.5.83.219 X: TicketID:076578 ]

ความคิดเห็นที่ 33 ถ้า 0-10 I = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 มี 11 จำนวน E = 0 2 4 6 8 10 มี 6 จำนวน ถ้า 0-100 จะมี I = 101 จำนวน E = 51 จำนวน ที่หลายความเห็นข้างบนบอกว่าจำเต็มมากกว่าจำนวนเต็มคู่ก็คงจะเพราะการนับแบบนี้ ซึ่งเมื่อจำนวนตัวเลขทั้งหมดเข้าใกล้ infinity มากเท่าไร อัตราส่วนของจำนวน I ต่อ E ก็ยิ่งเข้าใกล้ 2 มากยิ่งขึ้น จากคุณ : freefeel - [ 16 ม.ค. 48 23:09:20 ]

ความคิดเห็นที่ 34 ไม่ได้โกรธหรอกครับ ไม่รู้จะโกรธไปทำบ้าอะไรเหมือนกันครับ จากคุณ : RT - [ 16 ม.ค. 48 23:09:57 A:202.5.83.219 X: TicketID:076578 ]

ความคิดเห็นที่ 35 #33 จำนวนทั้งหมดของ I มี infinity จำนวนทั้งหมดของ E มี infinity ครับ อัตราส่วนเข้าใกล้ 2 ยังไงหว่า? จากคุณ : RT - [ 16 ม.ค. 48 23:12:34 A:202.5.83.219 X: TicketID:076578 ]

ความคิดเห็นที่ 36 {I} = {[Iคู่],[Iคี่]} [Iคู่] = (...,-2,0,2...) จำนวนสมาชิก = Infinity [Iคี่] = (...,-3,-1,1,3,...) จำนวนสมาชิก = Infinity คือถ้าคุณจะถามเป๊ะๆว่า สมาชิกมากกว่าเท่าไหร่? กี่เท่า? ผมก็ตอบไม่ได้หรอกคับ แต่ผมคิดว่ามันมากกว่าแน่นอน มากกว่า = [Iคี่] น่ะคับ ลืมไป ว่า 0 ก็เป็นเลขคู่ เลยขออนุญาตรวมไปกับ เซตของIคู่ด้วยเลยนะคับ จากคุณ : ชนชั้นกลาง - [ 16 ม.ค. 48 23:19:59 ]

ความคิดเห็นที่ 37 ผมเห็นด้วยกะคุณหมอ jfk อ่ะ ถ้าพิสูจน์ ด้วยการสร้างกรอบขึ้นมา แล้วค่อยๆขยายขนาดของกรอบไปเรื่อยๆ จะทำให้ จำนวนสมาชิกของจำนวนเต็ม = 2 เท่าของจำนวนสมาชิกของจำนวนเต็มคู่ ในทุกกรณี เว้นอยู่กรณีเดียวคือ ที่ infinity ซึ่งเป็นจุดที่จำนวนไม่ใช่จำนวน ทำให้ผมว่า จำนวนเต็ม มีมากกว่า จำนวนเต็มคู่ 1-100 -> nI=100, nIE=50 1-106 -> nI=1*106[sup], nIE=5*10[sup]5[sup] 1-10[sup]1,000,000,000,000,000 -> nI=1*101,000,000,000,000,000, nIE=5*10999,999,999,999,999 1-10n->nI=10n, nIE=5*10n-1 หรือ nI=2*nIE *หมายเหตุ* กำหนดให้ nI = จำนวนสมาชิกของจำนวนเต็ม nIE = จำนวนสมาชิกของจำนวนเต็มคู่ จากคุณ : Dr.Yes - [ 16 ม.ค. 48 23:28:03 ]

ความคิดเห็นที่ 38 #36 I จำนวนสมาชิก เป็น infinity I คี่ จำนวนสมาชิก เป็น infinity I คู่ จำนวนสมาชิก เป็น infinity แล้ว จำนวนสมาิชิก I จะมากกว่าของ I คู่ได้อย่างไร ถ้า "มากกว่า" จำนวนสมาชิกก็ไม่ใช่ infinity แ้ล้วครับ เพราะไม่มีจำนวนไหนมากกว่า infinity ครับ พูดอย่างนั้นผิดครับ จากคุณ : RT - [ 16 ม.ค. 48 23:28:31 A:202.5.83.219 X: TicketID:076578 ]

ความคิดเห็นที่ 39 คุณ RT คิดอย่างอื่นไม่เป็นเลยมั้งนอกจาก infinity # 33 กำหนดขอบเขตแล้วว่าไม่ใช่ infinity แค่เข้าใกล้ อาจเป็น 100 ล้าน 1000 ล้านจำนวน คุณก็ยังคิดว่า infinity = infinity อยู่นั่นแหละ ถ้าคุณคิดแบบนี้ก็คงไม่มีการจำกัดความของ limit หรอกครับ เช่น limit (1+2x)/(1+x) เมื่อ x เข้าใกล้ infinity ก็จะกลายเป็น infinity หาร infinity แล้ว = 1 หรือครับ เพราะว่า infinity = infinity ทั้งๆที่คำตอบที่ถูกควรเป็น 2 แก้ไขเมื่อ 16 ม.ค. 48 23:44:08 จากคุณ : freefeel - [ 16 ม.ค. 48 23:41:23 ]

ความคิดเห็นที่ 40 ทำไม infinity ของ I จะมากกว่า infinity ของ Iคู่ ไม่ได้เหรอคับ infinity ที่ผมกล่าวข้างต้น มันเป็น infinity ตัวเดียวกันรึปล่าวคับ? แล้ว infinity ที่คุณพูดถึงใน#38 สามครั้ง มันคือตัวเดียวกันทุกครั้งรึปล่าวคับ จากคุณ : ชนชั้นกลาง - [ 17 ม.ค. 48 00:02:29 ]

ความคิดเห็นที่ 41 ตามหลักวิทยาศาสตร์แล้ว  การจะพิสูจน์ของ 2 สิ่ง  จะต้องตั้งสภาพแวดล้อมต่างๆให้เหมือนกัน ในกรณีนี้ต้องการจะพิสูจน์ว่า  อะไรมีมากกว่ากัน  ดังนั้น  ณ จุด infinity ที่กำหนดไว้ของทั้ง 2 ข้อนี้  จะต้องเหมือนกัน ความคิดผม  ห้ามด่านะ จากคุณ : นางสเตนเลส - [ 17 ม.ค. 48 00:07:17 ]

ความคิดเห็นที่ 42 อืมมม แล้วงี้ ณ จุด infinity ของคุณ41 จะกำหนดสภาพแวดล้อมอย่างไรดีคับ ผมไม่ค่อยเข้าใจเท่าไหร่ จากคุณ : ชนชั้นกลาง - [ 17 ม.ค. 48 00:11:16 ]

ความคิดเห็นที่ 43 ส่วนตัวเข้าใจว่า คงจะมีบทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์สำหรับคำถามอันนี้ และก็คงจะเต็มไปด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ไม่หลายบรรทัด ก็คงจะหลายหน้าเอาการ แต่ถ้าเกิดว่า คิดเอาตามความเป็นจริง ตามโลกของความเป็นจริง ถ้าให้คนหนึ่งคนถือเป็นจำนวนเต็มแล้ว คนบนโลกทั้งหมด ประมาณ หกพันล้านกว่าคนจะเป็นจำนวนเต็ม และให้ผู้หญิงแทนจำนวนเลขคู่ เราจะพบว่า จำนวนของผู้หญิงจะน้อยกว่า จำนวนของคนบนโลกทั้งหมดแน่ ๆ แต่ถ้าเกิดเราเล่นกับตัวเลขที่ใหญ่ขึ้นไปอีกในจักรวาล เช่น ให้ จำนวนอนุภาคทั้งหมดในจักรวาลแทนจำนวนเต็ม จำนวนอนุภาคบวกแทนจำนวนคู่ เราจะพบว่า จำนวนอนุภาคก็ยังมากกว่า จำนวนอนุภาคบวก เป็นต้น แต่ถ้าเกิดเป็น Infinity ... ส่วนตัวมีปัญหาเอามาก ๆ กับตัว Infinity เพราะมันเป็นตัวเลขในจินตนาการ แต่ถ้าเกิดเราเอาจินตนาการนั้น ๆ มาทำให้เป็นเรื่องจริง อันเนื่องจากคนเราสามารถจินตนาการได้มากที่สุดเท่ากับเวลาในชีวิตของเค้า สมมุติให้สูงสุดเท่ากับ หนึ่งร้อยปี ดังนั้นถ้าเกิดใครคนหนึ่ง ต้องการที่จะหาว่า Infinity นั้นมีค่าเท่าไหร่ หรือว่า ตัวเลขที่มีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่จะสามารถมีได้นั้นมีค่าเท่าไหร่ ... ก็ให้เอาเวลาทั้งชีวิตของเค้าทั้งชีวิตจำนวนทุก ๆ วินาที ทุก ๆ ความคิดของเค้านั่งจินตนาการเอา ยกกำลังเอา หรือว่าจินตาการเอาด้วยวิธีการที่พิศดารที่สุด ..เราก็จะได้ตัวเลขตัวนั้นมา "ตัวเลขที่มีค่ามากที่สุด" อย่างไรก็ตาม จำนวนตัวเลขตัวนั้น เมื่อนำมาหารสองแล้ว ก็จะมีค่าน้อยกว่าจำนวนเต็มอยู่ดี สรุปความคิดเห็นส่วนตัวคือ ถ้าใครจะคิด Infinity ควรเป็นค่าที่ไม่มีที่สิ้นสุด คำถามนี้ก็คลุมเคลือ แต่ถ้าเกิดใครไปนิยามเอา Infinity ว่าสามารถหาได้ ด้วยวิธีการบางอย่าง (เป็นต้นว่า เอาชีวิตทั้งชีวิตไปหาค่าที่มากที่สุดค่านั้น หรือใครบางคนอาจจะมีค่าที่พิศดาร จินตนาการได้ลึกล้ำกว่านั้น) เราก็จะได้คำตอบออกมา (ซึ่งในกรณีหลังนี้ จำนวนเต็มมากกว่าจำนวนคู่) คณิตศาสตร์เป็นเรื่องบริสุทธิ์ เป็นเรื่องที่ใคร ๆ รักความจริงแท้ไม่ผันแปร ไม่อิงกับความเชื่อ ... ไม่ต้องเถียงกันด้วยวาทะ แต่อาศัยสมการ เหตุผล.. จากคุณ : Nipol - [ 17 ม.ค. 48 00:34:35 ]

ความคิดเห็นที่ 44 เวนกำ สงสัยไปนอนกันหมดแล้ว งั้นพรุ่งนี้มาดูเฉยก็ได้ จากคุณ : ชนชั้นกลาง - [ 17 ม.ค. 48 00:34:54 ]

ความคิดเห็นที่ 45 ผมไม่รู้ว่าที่ถูกแล้ว อะไรมากอะไรน้อย แต่เท่าที่ผมเคยอ่านและเรียนคณิตศาสตร์ไม่เคยมีทฤษฎีไหนที่ให้คำจำกัดความว่า infinity = infinity ดังนั้นการที่เราบอกว่าสิ่งนั้นเป็น infinity สิ่งนี้ก็เป็น infinity แล้วทั้งสองสิ่งจะมากกว่า น้อยกว่า หรือเท่ากันไม่ได้ เช่น x = n+1, y = n/2 + 1 เมื่อ n เป็นเลขตัวสุดท้ายของจำนวนเต็มที่เรียงจาก 0 เพิ่มขึ้นที่ละหนึ่งไปจนถึง n ถ้า n เข้าใกล้ infinity ผมอยากทราบว่า x จะมากกว่า เท่ากับ หรือน้อยกว่า y ถ้าไม่สนใจว่า x กับ y คืออะไร จากคุณ : freefeel - [ 17 ม.ค. 48 00:45:41 ]

ความคิดเห็นที่ 46 ผมว่ามีเท่ากันครับ เพราะจำนวนเต็มคู่นิยามคร่าวได้ว่า x=2k เมื่อ k มีค่าตั้งแต่ศูนย์ถึงอนันต์ ดังนั้นหมายความว่าเมื่อใดที่นึกจำนวนเต็มใดๆได้จำนวนหนึ่งเราจะหาจำนวนเต็มคู่ได้จำนวนหนึ่งเสมอ ซึ่งตามตรรกะแล้วน่าจะเท่ากันนะครับ ไม่รู้เหมือนกันผมไม่เก่งลอจิกอ่ะครับ เคยลองอ่านหนังสือเกี่ยวกับพอล แอร์ดิชป่าวครับ เค้ามีพูดถึงเรื่องจำนวน แต่แอร์ดิชจะเก่งเรื่องจำนวนเฉพาะมากกว่า แต่เค้าไม่ได้พูดถึงเรื่องจำนวนเต็ม ผมว่าเพราะเหตุว่าจำนวนเต็มเป็นอนันต์ ดังนั้นถ้าคุณหาจุดจบมันไม่ได้ นั่นก็คือมันไม่มีขอบเขตให้คิดมากกว่า แต่ขณะเดียวกันจำนวนเฉพาะมันอาจจะมีหรือไม่มีก็ได้ น่าคิดนะครับ จากคุณ : beinged - [ 17 ม.ค. 48 02:15:20 ]

ความคิดเห็นที่ 47 คุณยึดติดกับคำว่าอนันต์จนเกินไปแล้วล่ะคุณ RT ผมก็คิดเหมือนคุณหมอ jfk นั่นละ ผมถึงเปรียบเทียบให้ฟังว่าถึงแม้มันเป้นอนันต์แต่อัตราส่วนถ้ามีนมีแต่เริ่มถึงแม้มันจะไปถึงอนันต์อัตราส่วนนั้นยังคงอยู่ อัตราส่วนนั้นคือ จำนวนเต็มจะประมาณสองเท่าตลอด อนันต์นั้นคือมามายจนนับไม่ได้ แต่ไม่ได้หมายความว่าเราจะเปรียบเทียบมันไม่ได้ ในเมื่อคุณรู้อยู่แล้วว่าเมื่อคุณนับเลขไป  2 จำนวน จะมีจำนวนเต็มคู่สลับเต็มคีไปตลอด ถึงแม้นับจนถึงอนันต์มันก็จะเป้นแบบนี้ต่อไปไม่รู้จบ มันเป็นสัจพจน์ที่ทำนายได้ ถ้าคุณไม่ยึดติดและงงกับคำว่าอนันต์ จากคุณ : 3N - [ 17 ม.ค. 48 02:27:50 ]

ความคิดเห็นที่ 48 Confirmed that they have the SAME "size". If you recall the difinition below: Definition: Two sets are equal in magnitude (i.e. size) if their elements can be put into one-to-one correspondence with each other. In this case, we can find a 1-1 function by f(x)=2x So I and even I have the same size. จากคุณ : packham - [ 17 ม.ค. 48 03:44:38 ]

ความคิดเห็นที่ 49 infinity มีคุณสมบัติแปลกเอาการอยู่นะครับ ก่อนอื่นเอาง่ายๆก่อน infinity+1 > infinity หรือไม่? จำนวนเลขจำนวนเต็มคู่ มีอยู่ infinity ตัว และ จำนวนเลขจำนวนเต็ม มีอยู่ 2 เท่าของจำนวนเลขเต็มคู่ ดังนั้น จำนวนเลขจำนวนเต็ม มีอยู่เท่ากับ 2*infinity 2*infinity > infinity ใช่หรือไม่? จากคุณ : ช่างไฟ - [ 17 ม.ค. 48 08:19:36 ]

ความคิดเห็นที่ 50 I = {...,-2,-1,0,1,2,...} Ie = {...,-4,-2,0,2,4} Io ={...-3,-1,1,3,...} so.... I = Ie U Io n(I)=n(Ie U Io) =n(Ie)+n(Io)-n(Ie.Io) =n(Ie)+n(Io) ถ้าเอาระบบจำนวนมาทำต่อก็จะไม่นิยาม มีคนบอกว่า n(I) = n n(Ie) = n/2 n(I)/n(Ie) = n/(n/2)= 2/1 > 1 จะได้ว่า n(I)/n(Ie)>1 จบแค่นี้ครับ ถ้าทำต่อมันจะไม่นิยาม ไม่สามารถรับรู้ด้วยนิยาม แต่รับรู้ด้วย saint จากคุณ : เซียนแห่งmath - [ 17 ม.ค. 48 09:59:35 A:192.168.3.32 X:61.90.97.42 TicketID:051546 ]

ความคิดเห็นที่ 51 สำหรับคนที่บอกว่ามากกว่านะครับดูตรรกกะนิยามการเรียงอันดับของจำนวน กรณี1. ถ้า n(I)>n(Ie) แล้ว จะมีค่า a ที่เป็นจำนวนนับทำให้ n(I)=n(Ie)+a แต่n(Ie) ไม่เป็นจำนวนนับ ถ้าn(I)<=n(Ie)แล้ว n(I)<n(Ie) หรือ n(I)=n(Ie) กรณี2ถ้า n(I) < n(Ie)จะมีค่าb ที่เป็นจำนวนนับทำให้ n(I)+b = n(Ie) ไม่มีค่าb กรณี3ถ้า n(I) = n(Ie) แล้ว n(Io) = 0 n(Io)ไม่เท่ากับศูนย์ ไม่กรณีไหนสอดคล้อง ไม่มีการเรียงอันดับ ****************จบ******************* จากคุณ : เซียนแห่งmath - [ 17 ม.ค. 48 10:37:43 A:192.168.3.32 X:61.90.97.42 TicketID:051546 ]

ความคิดเห็นที่ 52 sense คับ ไม่ใช่ saint (ยกเว้นคุณจะปล่อยให้เป็นเรื่องของพระเจ้า) แหะแหะ จากคุณ : ชนชั้นกลาง - [ 17 ม.ค. 48 11:22:09 ]

ความคิดเห็นที่ 53 ถ้ามีมากกว่า Infinity มันจะเป็น Infinity ได้ไงครับ (Infinity ไม่มีใครมากกว่า ถ้า I คู่ มี Infinity ตัว ไม่มีใครมากกว่า I คู่ แม้แต่ Real Number ก็ตาม) ใครกันแน่ที่ยึดติด? ไม่ได้ชวนทะเลาะ ถามให้คิดเฉยๆ จากคุณ : RT - [ 17 ม.ค. 48 12:59:10 A:202.47.247.130 X: TicketID:076578 ]

ความคิดเห็นที่ 54 ถ้ายอมรับนิยามเรื่องของ ขนาด ของเซตที่มีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ใน Set Theory ที่ คุณ Heng005 กับ คุณ peckham ว่าไว้ ผมก็เห็นด้วยว่ามันควรมีขนาดเท่ากัน ความรู้ผมก็งู ๆ ปลา ๆ หรือ อย่างเซตอื่น ๆ ก็มีขนาดเท่ากัน เช่น เซตของจำนวนเฉพาะ , เซตของจำนวนนับ , เซตของจำนวนตรรกยะ แต่ถ้าไม่ยอมรับนิยามตรงนั้นแต่พยายามจะใช้สามัญสำนึกส่วนตัวอธิบาย อันนี้คงถกเถียงกันสนุกไปเลย เรื่องเล่นกับอินฟินิตี้อันนี้ผมเห็นว่า มันก็มีทั้งตัวอย่างที่สามารถรับรู้โดยใช้สามัญสำนึกส่วนตัว ตัวอย่างที่สามารถรับรู้ชัดเจนโดยรูปภาพ และ ตัวอย่างที่ไม่สามารถใช้สามัญสำนึกส่วนตัวเข้าใจได้ง่าย สรุปแล้วตอนนี้มีอยู่ 3 คำตอบ ก. จำนวนเต็มมากกว่า ข. มีเท่ากัน ค. ตอบไม่ได้ รอให้คุณ ridkun มาเฉลยล่ะกันครับ. จะเอาเหตุผลแบบไหนมาอธิบาย Hillbert's Hotel . ? จากคุณ : mrgon - [ 17 ม.ค. 48 13:06:06 ]

ความคิดเห็นที่ 55 Correspondence Principle Two sets are defined to have the same cardinality if and only if they can be placed into 1-1 onto correspondence. I = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . } E= The even, integer numbers. I and E do have the same cardinality! 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, |  |    |  |    |  |   | 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6, ... f(x) = 2x  is 1-1 onto. จากคุณ : zoneteenz - [ 17 ม.ค. 48 13:51:04 ]

ความคิดเห็นที่ 56 มีเท่ากันค่ะ พิสูจน์โดยการสร้างฟังก์ชั่น 1-1, onto จากเซตของจำนวนเต็มไปยังเซตของจำนวนเต็มคู่ จากคุณ : purple sand - [ 17 ม.ค. 48 14:09:27 ]

ความคิดเห็นที่ 57 อยากนอกเรื่องนิดนึงนะคับ เห็นพูดถึงคำว่า สามัญสำนึก กับนิยามของทฤษฎี ขึ้นมา ทั้งทฤษฎีและสามัญสำนึก มันก็มีทั้งความเหมือนและความต่างอยู่ในตัวของมันเอง ทั้งสองสิ่งนี้จะสอดคล้องหรือขัดแย้งกันก็ได้ทั้งนั้น สิ่งที่เหมือนกันที่เราพูดถึงอยู่ในที่นี้ก็คือ เราอยากรู้ความจริงกัน แต่กระบวนการของการค้นหาความจริงระหว่างทฤษฎีและสามัญสำนึกนั้น มันแตกต่างกันสิ้นเชิงคับ อย่างที่รู้กันว่าสามัญสำนึกของคนเรามันไม่ค่อยมีเหตุผลเท่าไหร่(สำหรับคนที่ไม่เชื่อ) เพราะมันเชื่อในความเป็นจริงทันที(ตามที่รู้สึก) แล้วจึงพยายามหาเหตุผลมาประกอบ หากว่าเหตุผลที่มีสนับสนุนมันมีน้ำหนักเพียงพอ สามัญสำนึกนั้นก็เป็นสิ่งที่เชื่อถือได้ แต่หากไม่มีเหตุผลพอ จะสรุปว่าสามัญสำนึกนั้นผิดเลยรึปล่าว? ผมว่าก็ยังไม่ใช่ ในทางด้านทฤษฎี แน่นอนว่ามันเป็นสิ่งที่พิสูจน์ขึ้นมาแล้ว แต่ถามว่ามันเป็นความจริงรึปล่าว ผมว่าก็ยังไม่ใช่ เพราะมันเชื่อได้เพียงแค่ ณ เวลาใดเวลาหนึ่งเท่านั้น มันเป็นเพียงการเข้าใกล้ความจริงไปเรื่อยๆเท่านั้นเอง ทฤษฎีสร้างด้วยคน ก็สามารถเปลี่ยนแปลงได้ด้วยคน เหมือนที่แต่ก่อนบอกว่าโลกแบนนั่นแหละคับ ใครจะไปรู้ว่าโลกนี้มีแค่เลขคี่กับเลขคู่มันอาจมีเลขโค่ขึ้นมาอีกก็ได้ในร้อยปีพันปีข้างหน้า ผมเองก็ไม่ใช่คนที่ร่ำเรียนอะไรมากมาย ไม่ได้เรียนเจาะลึกไปในทฤษฎีต่างๆ (แต่นั่นก็ไม่ได้แปลว่าผมจะไม่เชื่อในทฤษฎีเลย) ที่สำคัญ ผมเชื่อในสามัญสำนึกของผมมากกว่าที่จะเชื่อมั่นในทฤษฎีที่ถูกสร้างขึ้นมา ดังนั้น เมื่อมีทฤษฎีใด ที่ถูกอ้างขึ้นมาโดยขัดกับสามัญสำนึกที่มีอยู่ ผมเชื่อว่าเป็นใครก็ต้องอยากได้คำอธิบายที่มากกว่าจะมาพูดเพียงประโยคเดียวว่า "infinity=infinity คับ" สุดท้าย ไม่ว่าคุณ ridkun จะเฉลยยังไง ผมว่าไม่ค่อยสำคัญหรอกคับ มันคงไม่ได้ชี้ว่า ในกระทู้นี้ใครผิดหรือใครถูก ถ้าคุณเชื่อในสติปัญญาของมนุษย์แล้ว ผมว่าคุณก็คงเชื่อด้วยว่าที่ไอสไตน์เก่งกว่าพวกเราได้ ไม่ใช่เพราะว่าเค้ามีสมองอยู่สองก้อนหรอกนะคับ แต่เป็นเพราะเค้าสามารถคิดอะไรได้ไกลและกว้างกว่าในมิติของการค้นหาความจริง แก้ไขเมื่อ 17 ม.ค. 48 14:34:46 จากคุณ : ชนชั้นกลาง - [ 17 ม.ค. 48 14:26:52 ]

ความคิดเห็นที่ 58 E(0)={0}     I(0)={0,1} n=0 :    |{0}| < |{0,1}| , |E(0)| < |I(0)|             |{2k}| < |{2k,2k+1}| ; k>=0 , k is an integer             E(n+1)={2n} U E(n) , I(n+1)={2n,2n+1} U I(n) ; n>=0 , n is an integer |E(n+1)|<|I(n+1)| ; for all n=>0 , n is an integer แก้ไขเมื่อ 17 ม.ค. 48 15:06:27 แก้ไขเมื่อ 17 ม.ค. 48 15:03:19 จากคุณ : zoneteenz - [ 17 ม.ค. 48 14:59:49 ]

ความคิดเห็นที่ 59 ผมว่าจำนวนเต็มมันก็ต้องมากกว่าจำนวนเต็มคู่อยู่แล้ว ไม่ว่าคุณจะกำหนดขอบเขตเป็นเท่าไหร่   เปรียบเทียบเหมือนกับว่า  ปริมาตรจักรวาลนี้เป็นเลขจำนวนเต็ม แล้วปริมาตรของดวงดาวในจักรวาลเป็นจำนวนเต็มคู่ ช่องว่างในอวกาศเป็นจะนวนเต็มคี่ ทั้ง 3 อย่างเป็น infinity  ไม่สามารถบอกปริมาณที่แท้จริงได้ แต่คุณว่าอันไหนมันใหญ่กว่ากันครับ เด็กอนุบาล  จนถึงปริญญาเอกก็ตอบได้ ในความเห็นผมว่าอย่าติดยึดกับทฤษฏีที่มนุษย์สร้างขึ้นเลย จากคุณ : ช้างพลายลายจุด - [ 17 ม.ค. 48 15:09:24 ]

ความคิดเห็นที่ 60 ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ต่างกันกับทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ครับ. ภายใต้กรอบของสัจพจน์ในทางคณิตศาสตร์ที่วางไว้อย่างดีแล้ว เมื่อพัฒนาถึงที่สุด จะไม่ก่อให้เกิดความขัดแย้งใด ๆ อย่างในทฤษฎีเซตก็มีการปรับเปลี่ยนจนผมคิดว่าน่าจะถึงที่สุดแล้วมั้งครับ. ความจริงในทางคณิตศาสตร์ไม่ขึ้นกับกาลเวลาครับ. เมื่อพิสูจน์แล้วว่าจริงก็จะจริงเช่นนั้นตลอดไป อันนี้หมายถึง ภายใต้กรอบและข้อตกลงตั้งแต่ระบบสัจพจน์เบื้องต้นนะครับ. คำอธิบายในทางคณิตศาสตร์มีชัดเจนทุกขั้นตอนครับ. ส่วนจะเป็นที่เข้าใจและยอมรับสำหรับเราท่านหรือไม่ อันนี้ก็ต้องว่ากันตั้งแต่เริ่ม คือ สนใจที่จะศึกษากันอย่างจริง ๆ จัง ๆ หรือไม่ คือ บางทีเราอาจจะไม่รู้ครับ ว่าเขาได้ศึกษาและวางกรอบจนถึงขึ้นไร้ซึ่งข้อโต้แย้งใด ๆ หมดแล้ว ไม่ว่าเราจะคิดไปในทางไหน ก็เป็นทางที่นักคณิตศาสตร์ในอดีตเคยคิดมาก่อนมาแล้ว และ เห็นปัญหานั้น และ ก็ได้ทั้งแก้ไขล้อมกรอบเรียบร้อยหมดแล้ว อย่างปัญหา paradox ของ Russel เมื่อนานมามาก ๆ แล้วก็มีคุณแตงกวาซึ่งบอกว่าตัวเองมีความรู้เรื่องเซตไม่เกิน ม. ต้น มาถกกับคนที่เรียนคณิตศาสตร์ตรง ๆ กับหลายคนในช่วงนั้น อย่างคุณ Epsilon, อานนท์ กว่าจะคุยกันรู้เรื่องและยอมรับในที่สุดก็เกือบ 300 กระทู้ เรียกว่าเป็นกระทู้ที่มากที่สุดในการถกปัญหาวิชาการเลยก็ได้ สรุปก็คือ สำหรับผมทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ กับ วิทยาศาสตร์เป็นคนละเรื่องกันครับ. ความจริงในทางคณิตศาสตร์ เป็นนามธรรมล่วน ๆ ครับ จับต้องไม่ได้ แต่เข้าใจได้ในกรอบที่วางไว้ ไม่ขอเขียนต่อแล้วนะครับ. เดี๋ยวจะดูเหมือนเป็นวิวาทะกัน (ลืมบอกไปผมเรียนมาทางสายวิศวะแต่ชอบเลขเป็นการส่วนตัวครับ.) จากคุณ : mrgon - [ 17 ม.ค. 48 15:29:12 ]

ความคิดเห็นที่ 61 ผมว่าจำนวนเต็ม มีมากกว่าจำนวนเต็มคู่นะครับ โดยดูผลรวมของมัน ถ้าเอาจำนวนเต็มบวกก่อนนะครับ ให้ I1(ผลรวมของจำนวนเต็มบวก)=  1+2+3+4+...    I2(ผลรวมของจำนวนเต็มคู่ที่เป็นบวก)= 2+4+... I1-I2 = 1+3+5+7+9+... ผลรวมของจำนวนเต็มลบ I(-)1 กับจำนวนเต็มคู่ที่เป็นลบ I(-)2 ก็เป็นทำนองเดียวกัน I(-)1 - I(-)2= (-3)+(-5)+(-7)+(-9)+... จำนวนเต็มคู่มีศูนย์เพิ่มมาอีกตัวหนึ่ง แต่จำนวนเต็มมีจำนวนเต็มคี่ทั้งหมดเพิ่มมากกว่าจำนวนเต็มคู่ครับ จำนวนเต็มเลยมีมากกว่าจำนวนเต็มคู่ครับ ว่าแต่ว่าจำนวนเต็มคู่กับจำนวนเต็มคี่อันไหนมีมากกว่ากันครับ? จากคุณ : Amygdala - [ 17 ม.ค. 48 18:02:10 ]

ความคิดเห็นที่ 62 ผลรวมมันเป็น อินฟินิตี้ ไม่นิยามครับ บอกไม่ได้หรอกว่าอันไหนมากกว่ากัน แม้เราจะพิจารณาเป็นฟังชันก์ ลำดับของมันก็ลู่ออกอยู่ดี มันไม่นิยาม การจะเปรียบเทียบจำนวนสองจำนวนนั้นต้องใช้กฏการเรียงอันดับซึ้งจะเปรียบเทียงได้เฉพาะปริมาณที่เราทราบแน่นอนเท่านั้น คุณ mrgon พูดถูกต้องทุกประการ จากคุณ : เซียนแห่งmath - [ 17 ม.ค. 48 18:55:49 A:192.168.3.32 X:61.90.97.42 TicketID:051546 ]

ความคิดเห็นที่ 63 ไม่ได้กวนนะครับ แต่พยายามทำความเข้าใจตามเนื้อหาข้างบนนะครับดังนั้นถ้าผมสร้างสมการ y=2x โดยที่ x มีค่าเท่ากับ อินฟินิตี้ ดังนั้นที่ ที่ อินฟินีตี้ y=x ใช่หรือเปล่าครับ ผมไม่เข้าใจ แต่ถ้าพิสูจน์ตามข้างบน มันก็น่าจะเป็นอย่างนี้หรือเปล่าครับ จากคุณ : specimen - [ 17 ม.ค. 48 21:40:26 A:61.91.247.12 X: TicketID:068034 ]

ความคิดเห็นที่ 64 โอ้โห เถียงกันมันหยดเลย มาดูนิยามจริงๆกันดีกว่าครับ "จำนวนสมาชิกของเซต" ภาษาคณิตศาสตร์เรียกว่า cardinality ครับ ถ้าเป็นเซตจำกัดเราก็นับว่าเซตมันมีสมาชิกกี่ตัวนี่คือ cadinality ของเซตจำกัดครับ แต่ถ้าเป็นเซตอนันต์จะมีปัญหาเกิดขึ้นเหมือนอย่างที่เถียงกันว่าอย่างไหนมากกว่ากันแน่ในเมื่อเรานับจำนวนสมาชิกได้เป็นจำนวนอนันต์เหมือนกัน แต่โดยความรู้สึกลึกๆเราคิดว่าเซตของจำนวนเต็มน่าจะมีจำนวนสมาชิกมากกว่าอยู่แล้วใช่มะ สมัยก่อนนักคณิตศาสตร์ก็คิดเช่นนั้นครับ จนเมื่อ George Cantor มาบุกเบิกแนวคิดนี้เลยต้องเปลี่ยนแนวคิดเกี่ยวกับเซตอนันต์กันขนานใหญ่ โดยทั่วไปเราแบ่งเซตอนันต์ออกเป็นสองชนิดครับ คือ 1. เซตนับได้ (countable set) หมายถึงเซตจำกัด หรือ เซตอนันต์ซึ่งสามารถสร้างฟังก์ชันชนิดหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึงระหว่างเซตนั้นกับเซตของจำนวนนับ 2. เซตนับไม่ได้ ( uncountable set) ซึ่งก็หมายถึงเซตที่ไม่ใช่เซตนับได้ (แน่นอนว่าต้องเป็นเซตอนันต์) คราวนี้มาดูครับว่าเซตอะไรเป็นเซตนับได้ หรือ นับไม่ได้บ้าง ผมขอยกตัวอย่างเซตของจำนวนแล้วกันนะครับเพราะทุกคนคุ้นเคยกันดี 1. เซตของจำนวนนับ เซตของจำนวนเต็มคู่ เซตของจำนวนเต็มคี่ เซตของจำนวนเต็ม เซตของจำนวนตรรกยะ เป็นเซตนับได้ครับ หรือ โดยทั่วไปเราจะมีทฤษฎีอยู่ว่า สับเซตของเซตนับได้จะเป็นเซตนับได้ด้วย 2. เซตของจำนวนอตรรกยะ เซตของจำนวนจริง เซตของจำนวนเชิงซ้อน เป็นเซตนับไม่ได้ครับ มีวิธีพิสูจน์ด้วยและค่อนข้างยาก ใครสนใจหาอ่านในหนังสือทฤษฎีเซตได้ครับ ดังนั้น ถ้าตอบแบบนักคณิตศาสตร์ ผมตอบว่าสองเซตที่ว่ามี "จำนวนสมาชิก" เท่ากันครับ เพราะเราสามารถสร้างฟังก์ชันชนิดหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึงไปยังเซตของจำนวนนับได้ทั้งคู่ครับ จริงๆวิชานี้เป็นวิชาต้องห้ามสำหรับนักคณิตศาสตร์มั้งครับ เพราะเรียนไปเรียนมาอาจจะบ้าได้ แม้แต่คนบุกเบิกเองอย่าง Cantor ก็บ้าไปเหมือนกัน นักคณิตศาสตร์จึงเรียนวิชานี้เพื่อนำไปใช้เท่านั้นแหละครับ จะไม่อยากเจาะลึกรายละเอียดกันซักเท่าไหร่ และจะไม่เถียงเรื่องนี้กัน ก็อย่างที่เห็นนั่นแหละครับ มันขัดกับสามัญสำนึกของเรามาก ว่าจะไม่เข้ามาแล้วนะแต่อดไม่ได้อิอิ ไปละ จากคุณ : Dream Hunter - [ 17 ม.ค. 48 22:27:29 A:68.49.21.15 X: TicketID:064892 ]

ความคิดเห็นที่ 65 ต่อไปอาจจะมี อินฟินิโต้ ครับ เพราะหลายคนยืนยันว่า มีสิ่งที่มากกว่า อินฟินิตี้ รึอาจจะมี อินฟินิต้า ก็ได้ครับ 555 ลองไปแต่งตำรากันดูนะครับ โชคดีครับ อนันต์ คืออะไรหนอ จะเข้าใจอนันต์ได้อย่างไร ถ้ากำจัดความคิดตัวเองในกรอบที่มีขอบเขตจำกัด #63 ลองไปศึกษาเรื่อง infinity ดู infinity ไม่ใช่จำนวนนะครับ แต่เป็นตัวบ่งบอกว่าเยอะมาก ๆ หาที่สุดไม่ได้ครับ จากคุณ : RT - [ 17 ม.ค. 48 23:01:50 A:202.5.83.151 X: TicketID:076578 ]

ความคิดเห็นที่ 66 ผมมีคำถามอยากถามบ้างครับ คือผมดูวิธีพิสูจน์ ขนาด set ของจำนวนเต็ม กับ จำนวนจริงแล้ว เห็นว่าจำนวนจริงมีขนาดมากกว่า ผมเลยจะเลียนแบบวิธีพิสูจน์นั้นบ้าง แต่เอามาพิสูจน์ระหว่างจำนวนเต็ม กับ จำนวนเต็มคู่ โดยการ สมมติว่า ขนาดเซตจำนวนเต็มคู่ เท่ากับ ขนาดเซตของจำนวนเต็ม ดังนั้นจะสามารถเขียน function 1-1 onto จาก เซตของ จำนวนเต็มคู่ ไปยังจำนวนเต็มได้ ดังนั้นจะได้คู่ลำดับดับนี้ 2 - 1 4 - 2789 6 - 4 . . . โดยจะมีจำนวนเต็มคู่ และจำนวนเต็มครบทุกจำนวนอยู่ในคู่ลำดับนี้แล้ว ถ้าผมจะสร้างจำนวนเต็มใหม่ขึ้นมาหนึ่งจำนวนโดยการ ให้ หลักหน่วย ของเลขตัวใหม่ มีค่าไม่เท่ากับ หลักหน่วยของจำนวนเต็มในคู่อันดับแรก (2-1 ในที่นี้คือ 1) อาจจะเป็น 5 หลักสิบ ของตัวใหม่ มีค่าไม่เท่ากับ หลักสิบของจำนวนเต็มในคู่อันดับที่สอง (ในที่นี้คือ 8) ซึ่งอาจจะเป็น 2 หลักร้อย ของตัวใหม่ มีค่าไม่เท่ากับ หลักร้อยของจำนวนเต็มในคู่อันดับที่สาม (ในที่นี้คือ 0) ซึ่งอาจจะเป็น 4 แล้วทำเช่นนี้เรื่อยไป ผมก็จะได้จำนวนเต็มตัวใหม่ขึ้นมา โดยที่ไม่ซ้ำกับจำนวนเต็มทุกตัวในคู่ลำดับใน function 1-1 ที่ผมได้สร้างขึ้นเมื่อซักครู่ ซึ่งจะ contradict กับสิ่งที่สมมติข้างต้น จะได้ว่า ขนาดของ จำนวนเต็มคู่ กับ จำนวนเต็ม ไม่เท่ากัน อยากทราบว่าผมพิสูจน์ผิดตรงไหนรึเปล่าครับ เพราะตามที่อ่านๆมาเค้าบอกว่าขนาดมันเท่ากันอ่ะ จากคุณ : heng005 - [ 17 ม.ค. 48 23:03:49 ]

ความคิดเห็นที่ 67 "โดยจะมีจำนวนเต็มคู่ และจำนวนเต็มครบทุกจำนวนอยู่ในคู่ลำดับนี้แล้ว" ผิดที่บรรทัดนี้ครับ เพราะ คู่ลำดับจะมีอนันต์ คู่ลำดับครับ จะไม่มีการครบจำนวนครับ ถ้าบอกว่่าครบแล้ว มันก็จะมีอีกครับ เติมเข้าไปอีกบอกว่าครบแล้ว มันก็จะมีอีกครับ ที่พิสูจน์ invalid (ผิด) ครับ จากคุณ : RT - [ 17 ม.ค. 48 23:20:35 A:202.5.83.151 X: TicketID:076578 ]

ความคิดเห็นที่ 68 อิอิ มาเฉลยละครับ ผู้โชคดีได้แก่ RT (มั้งนะ...), heng005 #25 + #66, beinged #46, packham #48, zoneteenz #55, purple sand #56, Dream Hunter #64 สำหรับผู้ที่พูดเรื่อง infinity ต้องเข้าใจว่า infinity เป็น นิยาม ไม่ใช่ จำนวนจริง ดังนั้นต้องระวังด้วย จริงอยู่ 2 x infinity / infinity อาจจะได้ 2 แต่ไม่ได้หมายความว่า 2 x infinity จะมากกว่า infinity นะครับ สำหรับคำตอบ ก็คงตามที่ผมเอ่ยความเห็นของผู้โชคดีไปแล้ว แต่โดยส่วนตัวคิดแบบนี้ละครับ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} ถามว่าจะมองยังไง ให้ A มีสมาชิกเท่ากับ B ได้ชัวร์ๆ ผมเอาสมาชิกแต่ละตัวใน B หาร 2 แล้วค่อยนับครับ จากคุณ : ridkun - [ 18 ม.ค. 48 00:29:22 ]

ความคิดเห็นที่ 69 ขอบคุณ mrgon ที่ช่วยชี้เรื่องความแตกต่างของทฤษฎีคณิตฯและวิทย์ฯ ขอถามต่อหน่อยนะคับ ถ้าคุณบอกว่า n[I]=n[Ie]แล้ว แล้วส่วนที่ผมคิดว่ามันมากกว่า คือ n[Io] มันไปอยู่ไหนเหรอคับ เพราะ n[I]=n[Io]Un[Ie] ใช่รึปล่าวคับ n[Io] มันหายไปไหนอ่ะคับ จากคุณ : ชนชั้นกลาง - [ 18 ม.ค. 48 00:52:46 ]

ความคิดเห็นที่ 70 #69 That formulae only works for FINITE sets krub. จากคุณ : packham - [ 18 ม.ค. 48 01:29:39 ]

ความคิดเห็นที่ 71 ผมพิสูจน์ ให้  คุณ RT  ดูก็ได้แบบนี้ได้ไหม เรานับในส่วนความความจริงต่อส่วนไปเรื่อยๆ ได้ 1,2,3,4,5....... จนถึง อนันต์ เห็นว่า เราเริ่มที่เลข 1 ไงไง คู่ไม่มีทางมากกว่า จำนวนเต็มแน่นอน  ยิ่ง  นับไปเรื่อยๆ มากขึ้นเท่าไร จะเห็นว่า ค่าเข้าใกล้ สองเท่ามากขึ้นเท่านั้น แน่นอน คงไม่ใช่ สองเท่า ถ้าจะตอบให้ ถูกใจน่าจะเป็น 1.999999999999999อนันต์  ที่ อนันต์  ซึ่ง เข้าใกล้ สองนั้นเอง นับเริ่มจากหนึ่ง ใช่ไหมละ หรือ จะนับไปทางติดลบก็พอได้ ก็ได้เหมือนกัน จำนวนคู่ที่ใดๆ   =  1+1+1+1+1+1+1+1+1+1............................ไปเรื่อย จำนวนเต็มที่ใดๆ ในต่ำแหน่ง ที่นับไปเท่าๆ กันจะเท่ากับ 2+2+2+2+2+2+2+..................  จนถึง อนันต์ แยกตัวประกอบแบบธรรมดา เลขเต็ม จะได้ ค่าเท่ากัน 2 X ( 1+1+1+1+.................... จนถึงอนันต์) เห็นไหมว่า I เป็นสองเท่า ของ จำนวนคู่  ที่ อนันต์ ปล. จริงๆ มันคงจะใกล้ 2 นะ แต่ไงไง ก็ไม่ใช่สอง จริงมะ อืมมมมมมมมมมม พอไหวไหม คุณ RT ยิ้มครับ ผมว่า จริงๆ แล้วไงไง เราตัองคำนึงหลักความจริงด้วย คณิตศาสตร์ สร้างขึ้นมา เพื่อพิสูจน์ความจริงในโลกนิครับ จากคุณ : ช้างยิ้ม - [ 18 ม.ค. 48 01:44:52 ]

ความคิดเห็นที่ 72 #69 เขียนถึงผมโดยตรง ขอต่ออีกนิดเดียวครับ. คำตอบใน #70 ผมก็ว่าโอเคแล้วนะครับ. คือ ผมไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญด้านอินฟินิตี้ ยังไม่เคยขบคิดถึงปัญหาในทุกรอบด้าน ไม่กล้าตอบหรือเขียนอะไรลงไปในลักษณะที่มันฟันธง 100% น่ะครับ. เรื่องเกี่ยวกับอินฟินิตี้มันมีปัญหามากมายแน่นอน มีหนังสือหลายเล่มที่เขียนเกี่ยวกับอินฟินิตี้ เช่น play to infinity (ถ้าจำไม่ผิด) เป็นต้น. ผมยังไม่มีโอกาสได้ศึกษา คือคณิตศาสตร์นี่ยิ่งศึกษามากเท่าไรจะยิ่งเห็นปัญหาและแนวคิดที่นักคณิตศาสตร์มากมายในอดีตศึกษามาก่อน และจะยิ่งรู้สึกว่าเรานั้นยังเขลาอีกมาก พูดง่าย ๆ ยิ่งศึกษามากจะยิ่งอยากหุบปากมากขึ้นเท่านั้นน่ะครับ. คือถ้าเป็นคนปกติทั่วไปแล้ว จะแทบไม่รู้เลยว่าเรื่องนี้ชาวบ้านเขาคิดกันไปไกลกันถึงระดับไหนแล้ว คณิตศาสตร์มันเป็นศาสตร์ที่ลึกและกว้างมาก อย่างหนังสือที่เราอ่าน ๆ ที่เขาพิมพ์มานี่มันก็เป็นงานที่ว่าเรียกเก่าและคงที่ในระดับหนึ่งแล้ว ถึงพิมพ์กันออกมาได้ แต่ความรู้จริง ๆ ที่มันออกมาใหม่ ๆ ทุกวัน ๆ อย่าง เช่น อัลกอรึทึมใหม่ ๆ ที่รวดเร็วในการแตกเศษส่วนย่อย เป็นต้น.ซึ่งพวกนี้มันจะอยู่ในงานวิจัยที่บรรดานักคณิตศาสตร์ส่งเข้ามากันทุกวัน ตามศึกษากันทุกเรื่องคงไม่หวาดไม่ไหว นี่เป็นเหตุหนึ่งที่ว่าทำไมจึงต้องเลือกกันไปเลยว่าจะศึกษาให้ลึกลงในด้านไหน อย่างนักคณิตศาสตร์ที่ผมยอมรับว่ามีชื่อเสียงและมีผลงานสุดยอดมากคนหนึ่ง ประโยคแรกที่คุยกันทางเมล์ออกตัวก่อนเลยว่า เขาไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญด้านนี้ แล้วคนธรรมดาอย่างผมไหนเลยจะกล้าแสดงตัวว่าเป็นผู้เชี่ยวชาญในเรื่องนั้นจริง ถ้าตัวเองไม่ได้เคยศึกษาเรื่องเหล่านั้นในระดับลึกมาก ๆ มาก่อน ตอนนี้ผมก็มีหนังสือคณิตศาสร์ที่เก็บไว้แล้วกว่าสองพันเล่ม ต้องค่อย ๆ เก็บสะสมความรู้และขบคิดไปทีละเรื่องที่เราสนใจชาตินี้จะไปได้แค่ไหนก็ต้องลองดู จากคุณ : mrgon - [ 18 ม.ค. 48 02:35:01 ]

ความคิดเห็นที่ 73 #71 ลองศึกษาเรื่อง infinite set ดูครับ ที่คุณพูดเป็นจริงแน่นอนสำหรับ finite set แต่ไม่ใช่สำหรับ infinite set ครับ จากคุณ : RT - [ 18 ม.ค. 48 09:02:43 A:202.47.247.130 X: TicketID:076578 ]

ความคิดเห็นที่ 74 ความจริงแล้ว 2 * inf ก็เท่ากับ inf แหละครับ เพราะไม่มีค่าที่มากกว่า inf ครับ ถ้ามี ค่านั้นมันจะเป็น inf ซะเอง มันจะ recursive นะครับ ถ้าคุณบอกว่า A > inf A มันก็ต้องเป็น inf แทนค่้าจะได้ inf > inf ซึ่ง ขัดแย้งครับ ดังนั้นจะได้ว่า ไม่มี A ที่มากกว่า inf ครับ พอเข้าใจมั้ยครับ จากคุณ : RT - [ 18 ม.ค. 48 09:04:40 A:202.47.247.130 X: TicketID:076578 ]

ความคิดเห็นที่ 75 ก่อนจะเริ่มความคิดเห็นอันนี้ต้องขอออกตัวก่อนว่า การอ่านกระทู้นี้แล้วทำให้รู้สึกตงิดๆ จั้กกระเดียมในใจครับ คำอธิบายของคุณ RT และคุณ ridkun ที่เฉลยออกมา ก็เป็นที่เข้าใจได้ทางคณิตศาสตร์ แต่ ขอบอกตรงๆ จากเรื่องอินฟินิตี้ ทำให้ผมรู้สึกเหมือน "มีพระเจ้าในคณิตศาสตร์?" มันรู้สึกขัดกับคอมมอนเซ้นส์จริงๆครับ เหมือนกับ ถ้าตั้งสภาวะอุดมคติ แล้วมีหุ่นยนต์สองขาหนึ่งตัว ทำหน้าที่ืคือ ย่ำเท้าอยู่กับที่ โดยเริ่มจากขาขวาก่อน แล้วถ้าถามว่า จำนวนครั้งที่เท้าของหุ่นยนต์สัมผัสพื้น กับจำนวนครึ้งที่เท้าซ้ายของหุ่นยนต์สัมผัสพื้น จำนวนไหนมากกว่ากัน? (สภาวะอุดมคติในที่นี้คือ พลังงานไม่มีการหมด ไม่มีการสึกหรอของทั้งเครื่องจักร และพื้น และอื่นๆ คือให้มันย่ำไปได้เรื่อยๆ) ถ้าผมตอบ (ซึ่งก็เปรียบแล้วเหมือนกับคำตอบที่ตอบไป) จำนวนครั้งที่เท้าของหุ่นสัมผัสพื้น (=ซ้าย+ขวา) ก็ต้องมากกว่าจำนวนครั้งที่เท้าซ้ายของหุ่นอย่างเดียวสัมผัสพื้นแน่ๆ ต่อให้ย่ำไปอีกนานเท่าใดก็ตาม จะพันล้านปี แสนล้านปี ล้านๆปี ไม่มีที่ขณะใด ที่จำนวนครั้งของการที่เท้าซ้ายสัมผัสพื้นจะมากไปกว่าจำนวนครั้งที่เท้าสองข้างรวมกันสัมผัสพื้นได้ แก้ไขเมื่อ 18 ม.ค. 48 10:24:41 จากคุณ : Dr.Yes - [ 18 ม.ค. 48 10:23:00 ]

ความคิดเห็นที่ 76 ที่คุณพูดใช้ได้กับ finite set ไงครับ ถ้า common sense ใช้ได้กับทุกเรื่อง เราก็คงไม่ต้องเรียนหนังสือครับ จากคุณ : RT - [ 18 ม.ค. 48 10:52:54 A:202.47.247.130 X: TicketID:076578 ]

ความคิดเห็นที่ 77 อย่าลืมว่า เราไม่ได้พูดถึงจำนวน member ล้านตัวหรือพันล้าน แสนล้านตัว แต่เราพูดถึงจำนวน member ทั้งหมด ซึ่งมีอนันต์หรือ infinity ครับ ถ้าบอกว่า มากกว่า มันก็ contradiction อย่างที่ show ให้ดูแล้ว A > inf แค่ตรงนี้ มันก็ผิดแล้วครับ เพราะไม่มีจำนวนไหนมากกว่า inf ครับ จากคุณ : RT - [ 18 ม.ค. 48 10:55:21 A:202.47.247.130 X: TicketID:076578 ]

ความคิดเห็นที่ 78 ผมพิสูจน์ผิดตรงไหนครับ ช่วยดูให้หน่อยครับ กำหนด ช่วง M=[-m,m] ใดๆ จำนวนเต็มทั้งหมดในเซต M จะมีค่าเท่ากับ n(IM) = 2*m+1 ตัว จำนวนเต็มคู่ทั้งหมดในเซต M จะมีค่าเท่ากับ n(IMe) = 2*floor(m/2)+1 ตัว ดังนั้น ผลต่างของจำนวนสมาชิกของทั้งสองเซต คือ DM = n(IM) - n(IMe) DM = 2*{m-floor(m/2)} = 2*ceil(m/2) ตัว เราจะขยายเซต M ไปเป็นเซตของจำนวนจริงโดย กำนดให้ R = limm->ฅ M = (-ฅ,ฅ) ดังนั้น ผลต่างของจำนวนเต็มทั้งหมด กับจำนวนเต็มคู่ จะเท่ากับ n(I) - n(Ie) = limm->ฅ DM limm->ฅ DM = limm->ฅ 2*ceil(m/2) = ฅ > 0 นั่นคือ n(I) - n(Ie) > 0 หรือ n(I) > n(Ie) ### Note: floor(x) คือ ฟังก์ชั่นการปัดเศษลง เช่น floor(2.9) = 2 ceil(x) คือ ฟังก์ชั่นการปัดเศษขึ้น เช่น ceil(2.1) = 3 นั่นคือ x-floor(x/2) = ceil(x/2) หรือ x-ceil(x/2) = floor(x/2) จากคุณ : J-a-y - [ 18 ม.ค. 48 10:56:38 ]

ความคิดเห็นที่ 79 คุณ RT  ผมว่า คณิตศาสตร์ นี้ เรากำหนด เพื่อความจริง ใดๆๆ หนึ่งในโลก การเพิ่มขึ้นของเลขคู่ และ เลขจำนวนเต็มมีลำดับชัดเจน คุณพูดถึง ที่ 2 อินฟินิ เท่า กับ อิฟินิ  แต่ มันในกรณี อะไร บ้าง ถ้าคำนึงถึงหลักความจริง อย่างลืมว่า คณิตศาสตร์ เรียนมา เพื่อ ศึกษาความจริง คำว่า อิฟินิ มีลำดับ ที่ ชัดเจน เป็นลักษณะ อนุกรม คุณมีความเห็น ว่า อย่างไร อืมมมมมมมม เพราะ  อิฟินิ ใช้คำว่า ไม่นิยาม เมื่อมันนิยามไม่ได้ ไม่ใช่หรือ ไม่นิยาม เพราะ ถ้าทำในคณิตศาตร์ มันไม่มีเหตุการณ์ จึงไม่สามารถนิยามได้ เพราะ ความจริง มีได้ หลายประการณ์ แต่ ถ้า มีคำถาม เพื่อหา คณิตศาสตร์มา พิสูจน์ ค่า อิฟินิ ตัวนี้ มีนิยาม และ มีลำดับ ที่ชัดเจน คุณเข้าใจโจทย์ก่อนว่า โจทย์นี้มีนิยาม ไม่ใช่ตัวเลขลอยลอยครับ ยิ้มครับ จากคุณ : ช้างยิ้ม - [ 18 ม.ค. 48 10:57:44 ]

ความคิดเห็นที่ 80 #78 คุณ Jay กำลังเล่นอยู่กับ indeterminate form ในรูป infinity - infinity อยู่ครับ จากคุณ : Dream Hunter - [ 18 ม.ค. 48 11:09:51 A:68.49.21.15 X: TicketID:064892 ]

ความคิดเห็นที่ 81 ขอถามอีกนิดนะคับ ที่บอกว่ากรณีที่ผมยกไว้ที่#69 จะใช้ได้สำหรับ finite set เท่านั้น ก็แปลว่า ประโยค n[I]=n[Io]Un[Ie] มันไม่เป็นความจริงอย่างนั้นด้วยรึปล่าวคับ? คือผมกำลังงงว่า ถ้า n[I]=n[Io]Un[Ie] ใช้ได้สำหรับ finite set เท่านั้น มันจะแปลว่า infinity ไม่สามารถเปรียบเทียบกับ infinity ได้เลย อย่างนั้นเหรอคับ แล้วถ้ามันไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ ขอคำอธิบายหน่อยได้ไม๊คับ มี math proof ไม๊คับ จากคุณ : ชนชั้นกลาง - [ 18 ม.ค. 48 12:15:07 ]

ความคิดเห็นที่ 82 #80 indeterminate form ในรูป infinity - infinity มันก็ไม่ได้สรุปหนิครับว่าไม่มีคำตอบ เราต้องจัดรูปก่อนแล้วค่อยสรุปอีกทีไม่ใช่เหรอครับว่ามีคำตอบหรือไม่ (หรือว่าผมเข้าใจผิด ) ในที่นี้ผมจัดรูปได้ เหลือ 2*ceil(m/2) แล้วค่อยมาสรุปหนิครับ จากคุณ : J-a-y - [ 18 ม.ค. 48 13:15:02 ]

ความคิดเห็นที่ 83 อินฟินิต ไม่ใช่จำนวน ไม่สามารถบอกลบ คูณหาร เปรียบเทียบกันได้ เราไม่สามารถบอกได้ว่าจำนวนเต็มมากกว่า น้อยกว่าหรือ เท่ากันจำนวนเต็มคู่ แต่สามารถบอกได้ว่าจำนวนเต็มคู่เป็นสับเซตของจำนวนนับ(ตรงนี้น่าจะเป็นความหมายที่ว่าจำนวนเต็มเป็นเซตใหญ่ครอบคลุมจำนวนเต็มคู่) คณิตศาสตร์มันน่าจะกระจ่างกันอยู่แล้ว อาจเพราะปัญหาเรื่องinfinityทำให้ไม่สามารถจะใช้เครื่องหมายสัญลักษณ์ทางจำนวน บอกได้ แต่สามารถอธิบายในเรื่องเซตได้มากกว่า ปัญหาน่าจะมาจากการใช้คำหรือภาษามากกว่า การพูดด้วยภาษาคณิตศาสตร์ คำตอบคงเป็น จำนวนเต็มคู่เป็นสับเซตของจำนวนเต็ม มากกว่าที่จะบอกว่า จำนวนเต็มมีมากกว่าจำนวนเต็มคู่ จากคุณ : เซียนแห่งmath - [ 18 ม.ค. 48 13:51:18 A:192.168.3.32 X:61.90.97.202 TicketID:051546 ]

ความคิดเห็นที่ 84 นั่นคือ n(I) - n(Ie) > 0 หรือ n(I) > n(Ie) ### มันผิดตรงที่เอา infinite บวกทั้งสองข้างของอสมการนี้แหละคับ indeterminate form จากคุณ : เซียนแห่งmath - [ 18 ม.ค. 48 13:59:30 A:192.168.3.32 X:61.90.97.202 TicketID:051546 ]

ความคิดเห็นที่ 85 เค้ากำหนดคำว่า infinity มาเพื่อประโยชน์อะไรกันครับ ใช้ประโยชน์อะไรได้ หรือว่าเอาไว้ตอบคำตอบที่นับเองไม่ได้เฉยๆ รอเวลาที่มีคนนับได้ :) จากคุณ : TonMai2K - [ 18 ม.ค. 48 16:07:24 ]

ความคิดเห็นที่ 86 ------------------------------------------------------- อ่า ทุกคน เชื่อผมเถอะคับ อาจารย์ในภาคผมถามกี่คนๆ ก็ตอบเหมือนกันอะครับ คือเราไม่รูว่า อนันต์มันมีค่าเท่าไร เมื่อไม่รู้ว่ามีเท่าไร เราก็ไม่รู้ว่าอนันต์ตัวไหนมันมากกว่ากัน กรรมวิธีพิสูจน์ที่ไม่เป็นเชิงตัวเลขอย่างที่เห็นหลายคนพยายามทำคือ ตามข้อ  11 น่ะครับ เราใช้การเหนี่ยวนำเชิงคณิตศาสตร์กับ infinity ไม่ได้ครับ คือว่า infinity มันไม่มี อินฟีมัม และ ซุปพรีมัมครับ เชื่อผมเถอะคับผมเรียนเมเจอร์แมท น่ะๆ ----------------------------------------------------------- จากคุณ : เชื่อเถอะ (Real of Reality) - [ 18 ม.ค. 48 22:46:05 ]

ความคิดเห็นที่ 87 #81 "n[I]=n[Io]Un[Ie]" หมายถึง n[I]=n[Io] + n[Ie] รึเปล่าครับ ก็คงได้ แต่จะเป็น inf = inf + inf น่ะครับ อย่าลืมว่า inf มากที่สุดครับ คือ เหมือนกับมันมีหลาย layer น่ะครับ n[I] ก็มากที่สุด ซึ่งบรรจุ n[Io] กับ n[Ie] ซึ่ง n[Io] กับ n[Ie] มันก็มากที่สุดอีก คือเป็น layer ข้างในซ้อนอยู่ เราไม่อาจจะหาที่สิ้นสุดได้ครับ จะบอกว่า n[I] > n[Ie] มันก็ไม่ใช่ครับ เพราะ n[Ie] อยู่ใน n[I] ก็จริง แต่มันไร้ที่สิ้นสุดครับ จากคุณ : RT - [ 18 ม.ค. 48 23:11:18 A:202.5.83.50 X: TicketID:076578 ]

ความคิดเห็นที่ 88 ความจริงแล้วโลกของคณิตศาสตร์ค่อนข้างจะแปลกกว่าที่ทุกคนคิดน่ะครับ เราไม่ได้คำนึงถึงเลยว่า ประโยขน์ของมันคืออะไร นักคณิตศาสตร์จะมีโลกส่วนตัวที่ปราศจาก ความเชื่อใดๆที่ไม่ได้รับการพิสูจน์โดยสิ้นเชิงครับ คณิตศาสตร์จะเริ่มต้นด้วย ถ้า p เป็นจริงแล้วเราจะพยายามพิสูจน์ให้ได้ว่า q เป็นจริงด้วย แต่เราไม่รู้หรอกครับว่าจริงๆแล้ว p เป็นจริงหรือไม่ เรารุ้แค่ว่า "เมื่อใดก็ตามที่ p เป็น จริงแล้ว q เป็นจริงด้วยเสมอ" นี่คือ คณิตศาสตร์ครับ เราจะไม่พูดในสิ่งที่ เหตุและผลไปไม่ถึง เมื่อไม่รู้เราก็เลยทำให้ p เป็น จริงสะเลย ด้วยการกำหนดมันขึ้นมาเรียกว่า สัจพจน์มูลฐาน เรื่องของอินฟินิติ้ก็เหมือนกันครับ อินฟินิติ้ ไม่ใช่จำนวนเชิงซ้อนน่ะครับ ไม่มีสมบัติความบริบูรณ์ ไม่เป็นสนามอันดับ รู้หรือไม่ครับว่าแม้แค่ สัญลักษณ์ + * < ต่างๆที่คุณใช้อยู่ก็มิได้สร้างขึ้นมาลอยๆ แต่เกิดการการพิสูจน์ จริงๆแล้ว จำนวนใดๆที่มีสิทธิพอที่จะใช้ + * < เรากำนหดให้จำนวนเหล่านั้นต้องมีสมบัติความบริบูรณ์ครับ การแสดงว่าเซตใดๆที่คุณสมบัติความบริบูรณ์และเป็นสนามอันดับหรือไม่นั่นก็ต้องมีการพิสูจน์อีกแหละครับ คือมันไม่ได้นึกๆเอามาน่ะครับ แรกเริ่มเดิมที่แล้วเรามีแค่จำนวนนับ แล้วเราก็ใช้สัจพจน์ของเปอาโน ขยายจำนวนนับ ให้กลายเป็น จำนวนเต็ม ขยายจำนวนเต็มให้เป็นจำนวนตรรกยะ ขยายจำนวนตรรกยะให้เป็น อตรรกยะ ขยายจำนวนอตรรกยะให้เป็นจำนวนจริง ขยายจำนวนจริงใหเป็นจำนวนเชิงซ้อนครับ จะเห็นว่า เซตที่กล่าวมาได้มาจากการพิสูจน์ จึงมีสมบัติความบริบูรณืและความเป็นสนามอันดับครบถ้วน แต่ infinity ไม่ใช่ครับ infinity เป็นนิยาม นิยามง่ายๆดังนี้คือ สำหรับทุกๆ x ที่เป็นสมาชิกของจำนวนจริงแล้ว infinity จะมากกว่า x เสมอ เห็นไมครับเราพูดว่า ถ้า .... แล้ว ..... เราไม่ได้นิยามเลยว่า infinity ไหนมากกว่ากัน เพราะมันเป็นสภาพที่นอกเหนือเหตุและผลแบบสามัญจะไปถึงครับ คณิตศาสตร์สวยงามและปราศจากข้อโต้แย้งครับ เพราะอะไร? เพราะว่ามันเป็นนามธรรมแบบ ถ้า... แล้ว... ไงครับ ถ้า p แล้ว q  ไม่ได้หมายความว่า ถ้า q แล้ว p นี่ครับ ในเมื่อ p จริง ก็ปราศจากเหตุผลใดๆเลยที่ q จะไม่จริง มันก็เหมือนศิลปะ ที่มีเครื่องมือพื้นฐานเพีนงสีไม่กี่สี พู่กัน และนิ้วมือ คณิตศาสตร์ก็มีนิยาม อนิยาม สัจพจน์ ทฤษฎีบท เลมม่า คณิตศาสตร์สวยงามจริงๆครับ ถึงโลกนี้สูญสลายไป คณิตศาสตร์ก็ยังคงความเป็นจริงอยู่ ตราบใดที่ความเป็นจริงที่เรารับรู้ไม่ผิดเพี้ยนไปครับ จากคุณ : เชื่อผมเถอะ (Real of Reality) - [ 18 ม.ค. 48 23:19:45 ]

ความคิดเห็นที่ 89 วิธีพิสูจน์ที่เป็นคณิตศาสตร์เลยจริงๆก็คงออกแนวๆนี้มั้งครับ เราเริ่มพิจารณาที่เซตของจำนวนเต็ม เซตของจำนวนเต็มเป็นเซตอนันต์แบบนับได้ "เซตของจำนวนเต็มเป็นเซตอนันต์" อย่าพูดลอยๆครับเรารู้ได้อย่างไรว่า เซตของจำนวนเต็มเป็นเซตอนันต์ต้องพิสูจน์ครับ แล้ว"เซตอนันต์"คืออะไร ก็คือเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด เราก็เลยมาพิสูจน์ว่าจำนวนเต็มไม่เป็นเซตจำกัดแทน แล้วพิสูจน์ยังไงเพื่อไม่ให้ขุดไปถึงรากเหง้าผมของยกยอดทีเลมม่าที่มีการพิสูจน์ไว้เรียบร้อบแล้วน่ะครับ lemma 1 "ถ้า A เป็นเซตจำกัด แล้ว A จะไม่สมนัย 1 - 1 กับสับเซตแท้ของตัวเอง" พิสูจน์ ให้ Z เป็นเซตของจำนวนเต็ม ให้ f เป็นสับเซตของ Z x { Z - {1}} กำหนดโดย (n,y) เป็นสมาชิกของ f <=> y= n+1 จะได้ว่า f เป็น func แบบสมนัย 1 - 1 บน Z นี่แสดงว่า Z สมนัย 1 - 1 กับ สับเซตแท้คือ Z - {1} ดังนั้น Z ไม่เป็นเซตจำกัด สรุปว่า Z เป็นเซตอนันต์ ต่อไปเรานิยามเซตของจำนวนเต็มคู่ขึ้นมาโดยให้ g(x) = 2x เราก็พิสูจน์ได้ว่าเซตของ g(x) ก็เป็น เซตอนันต์ด้วย จากนั้นเราจะสมมติให้จำนวนสมาชิกของ Z > จำนวนสมาชิกของ g(x) เราจะต้องพิสูจน์ให้ได้ว่า Z เป็นเซตจำกัด แต่ปรากฏว่าที่เราพิสูจน์ข้างต้น Z เป็นเซตอนันต์ดังนั้นข้อความนี้ไม่จริง เราสมมติให้จำนวนสมาชิกของ g(x) > จำนวนสมาชิกของ Z ในทำนองเดียวกันพิสูจน์ได้ว่าข้อความนี้ไม่จริง สรุปว่าข้อความ Z > g(x) หรือ Z < g(x) เป็นเท็จ ทั้งคู่ ... พิสูจน์ไม่ได้ ปล. อาจารย์เข้ามาอ่านคงตัดคะแนนผมแน่ แต่ผมว่าคนปกติคงอ่านรู้เรื่องกว่าในตำราเยอะ ปล. ในไม่ปกติอยากทราบของจริงไม่มั่วนิ่ว หาอ่านได้จากตำราการวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์ และ ระบบจำนวนจริง จากคุณ : บ้าไปแล้ว (Real of Reality) - [ 18 ม.ค. 48 23:51:35 ]

ความคิดเห็นที่ 90 อย่าลืม สิ่งที่สำคัญ คณิตศาสตร์ หรือ ตำรา ไม่ใช่ สิ่งที่ยืดถึงจริง สูตร สามารถเปลี่ยนแปลงได้ ทฤษฎีสามารถ เปลี่ยนแปลงได้ การที่เราอ้างตำรา แล้ว เราจำต้องเชื่อ เสมอนั้น เปรียบเสมือนการปิดกันการพัฒนา อิฟิฯ ไม่นิยาม แต่ ถ้าในบ้าง Case เรานิยามมันขึ้นมาได้ เพราะมันเป็น อิฟินิ แบบที่มี ระบบระเบียบ ชัดเจน แบบนี้ ถือว่า นิยามได้ หรือไม่ แน่ใจหรือว่า ทุกอิฟินิฯ ไม่สามารถ นิยามได้ อืมมมมมมมมมม คำว่า นิยามไม่ได้ หมายถึงอะไร ยิ้มครับ จากคุณ : ช้างยิ้ม - [ 19 ม.ค. 48 09:40:29 ]

ความคิดเห็นที่ 91 อะไรที่เราสร้างมันขึ้นมาได้เราเรียกมันว่า นิยามครับ "คณิตศาสตร์ หรือ ตำรา ไม่ใช่ สิ่งที่ยืดถึงจริง" คณิตศาสตร์ไม่เหมือนวิทยาศาสตร์อื่นๆครับ ถ้าใครพูดว่า คณิตศาสตร์ ไม่ใช่สิ่งยึดถือที่แท้จริง ไม่ใช่ความเป็นจริง แบบนี้ถือว่าเข้าไม่ถึงคณิตศาสตร์ครับ คณิตศาสตร์เป็นภาษาของธรรมชาติ สิ่งใดก็ตามที่คณิตศาสตร์ได้ว่าไว้ จะเป็นจริงเสมอไปครับ ไอนสไตน์ยังกล่าวไว้ว่า "สมการสัจจะทรงคงนิรันดร์" คือว่า ถ้า p แล้ว q คณิตศาสตร์ได้พิสูจน์แล้วว่า มันถูกต้อง เพราะฉะนั้นถ้า p เป็นจริง q ก็ต้องจริงครับ และประโยชน์นี้ก็เป็นจริง แต่ ถ้า p ไม่จริง ทั้งประโยคก็เป็นจริงอยู่ดีครับ ถ้า...แล้ว... เป็นเท็จกรณีเดียว สังเกตครับ ทฤษฏีทางคณิตศาสตร์ ไม่มีการล้มล้าง ไม่มีคำว่า"ความเชื่อ" ไม่มีสมมติฐาน มีแต่ถ้าสมมติว่า p แล้วมัน q ครับ อธิบายยากจริงๆครับ เหอะๆ จากคุณ : Real of Reality - [ 19 ม.ค. 48 19:26:15 ]

ความคิดเห็นที่ 92 อืมมม ผมว่า คำว่า infinity มันก็มาจากความเชื่อเหมือนกันอ่ะนะ คือ ไม่มีใครรู้ไงว่าเริ่มนับที่หนึ่งแล้วจะไปจบที่เท่าไหร่ เราก็เลยเชื่อว่ามันเป็น infinity น่ะคับ ได้ความรู้เยอะดีคับ ก็ยอมรับว่าผมเองก็ไม่ได้รู้เรื่องทฤษฎีอะไรมาก พยายามจะพิสูจน์อะไรตามความเชื่อของตัวเอง ยอมรับว่าตอนนี้คำตอบมันก็คงเป็นแบบที่คุณridkunเฉลยล่ะคับ แต่บอกตรงๆว่า ผมก็ยังไม่เชื่ออยู่ดี หวังว่าซักวันคงมีคนพิสูจน์ออกมาได้ล่ะคับ ว่าใน infinity มันก็มีมากน้อยต่างกัน ผมเชื่อว่าท้ายที่สุดทฤษฎีทั้งหลายที่ขัดกับสามัญสำนึกจะหายไปคับ เวลานึง เราก็หมกมุ่นครุ่นคิดกับตำราแนวความคิดทฤษฎี แต่เวลาผ่านไปๆ เมื่อเรามองย้อนดูตัวเอง เราก็อาจเห็นความจริงซ่อนอยู่ก็ได้ ผมเชื่อเช่นนั้น แล้วสูงสุดจะคืนสู่สามัญ เห็นด้วยกับคุณช้างยิ้มอย่างหนึ่งนะคับ คือการศึกษาเนี่ยไม่ควรจะมีอะไรมาปิดกั้นความคิด การไม่รู้นี่แหละที่เป็นประตูไปสู่ปัญญา รู้แล้วแต่ก็ยังต้องยอมรับความเห็นที่แตกต่างได้ด้วย ถึงจะเป็นการก้าวไปสู่ความรู้ที่แท้จริงนะคับ ขอบคุณที่เสียเวลามาชี้แจงกันนะคับ แหะแหะ แก้ไขเมื่อ 20 ม.ค. 48 05:11:23 จากคุณ : ชนชั้นกลาง - [ 20 ม.ค. 48 05:09:09 ]

ความคิดเห็นที่ 93 #92 ไม่ต้องพิสูจน์ครับ เพราะนิยามของ inf คือ ไม่มีค่าไหนที่มากกว่าไงครับ มันชัดเจนอยู่แล้ว จะพิสูจน์ว่า มีอะไรที่มากกว่า inf มัีนก็ัขัดกับนิยาม ก็ผิดอยู่แล้วครับ ยกเว้นว่าจะมีการเปลี่ยนนิยามครับ จากคุณ : RT - [ 20 ม.ค. 48 09:16:49 A:202.47.247.146 X: TicketID:076578 ]